Дуальное число

Дуальное число (гиперкомплексное число параболического типа) — гиперкомплексное число вида <math>a+\varepsilon b</math>, где <math>a</math> и <math>b</math> — вещественные числа, а <math>\varepsilon</math> — абстрактный элемент, квадрат которого равен нулю, но сам он нулю не равен. Любое дуальное число однозначно определяется такой парой чисел <math>a</math> и <math>b</math>. Множество всех дуальных чисел образует двумерную коммутативную ассоциативную алгебру с единицей относительно мультипликативной операции над полем вещественных чисел <math>\mathbb{R}</math>. В отличие от поля обычных комплексных чисел, эта алгебра содержит делители нуля, причём все они имеют вид <math>a\varepsilon</math>. Плоскость всех дуальных чисел представляет собой «альтернативную комплексную плоскость». Аналогичным образом строятся алгебры комплексных и двойных чисел.

Иногда дуальные числа называют двойными числами<ref>Шаблон:Книга</ref>, хотя обычно под двойными числами понимается иная система гиперкомплексных чисел.

Определения

Алгебраически дуальное число задаётся как пара вещественных чисел вида <math>(a,\;b)</math>, для которых определены операции умножения и сложения по правилам:

<math>\ (a_1,\;b_1)+(a_2,\;b_2) = (a_1+a_2,\;b_1+b_2)</math>

<math>\ (a_1,\;b_1) (a_2,\;b_2) = (a_1 a_2,\;a_1 b_2 + a_2 b_1)</math>

Числа вида <math>(a,\;0)</math> отождествляются при этом с вещественными числами, а число <math>(0,\;1)</math> обозначается <math>\varepsilon</math>, после чего определяющие тождества примут вид:

<math>\varepsilon^2=0,\quad(a,\;b)=a+b\varepsilon</math>

<math>(a_1+\varepsilon b_1)+(a_2+\varepsilon b_2)=(a_1+a_2)+\varepsilon (b_1+b_2),</math>

<math>(a_1+\varepsilon b_1)(a_2+\varepsilon b_2)=(a_1a_2)+\varepsilon (a_1b_2+a_2b_1).</math>

В терминах структур это означает, что кольцо дуальных чисел есть факторкольцо <math>\R[x]/(x^2)</math> кольца вещественных многочленов по идеалу, порождённому многочленом <math>x^2</math>.

Дуальные числа можно представить как матрицы из вещественных чисел, при этом сложению дуальных чисел соответствует сложение матриц, а умножению чисел — умножение матриц. Положим <math>\varepsilon=\begin{pmatrix}0 & 1 \\0 & 0 \end{pmatrix}</math>. Тогда произвольное дуальное число примет вид

<math>a + b\varepsilon = \begin{pmatrix}a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}</math>.

Для экспоненты с дуальным показателем верно следующее равенство:

<math>\mathrm{e}^{\varepsilon x}=1+\varepsilon x</math>,

что позволяет представить любое дуальное число в показательной форме и найти его логарифм по вещественному основанию. Она может быть доказана разложением экспоненты в ряд Тейлора:

<math>\mathrm{e}^{\varepsilon x}=1+\varepsilon x+ \frac{(\varepsilon x)^2}{2!} + \frac{(\varepsilon x)^3}{3!} + \cdots</math>

При этом все члены выше первого порядка равны нулю. Как следствие:

<math>\sinh \varepsilon x = \sin \varepsilon x = \varepsilon x</math>

<math>\cosh \varepsilon x = \cos \varepsilon x = 1</math>

Операции

Арифметические операции над дуальными числами вводятся следующим образом:

• сложение: <math>(a+b\varepsilon)+(c+d\varepsilon)=(a+c)+(b+d)\varepsilon</math>,
• вычитание: <math>(a+b\varepsilon)-(c+d\varepsilon)=(a-c)+(b-d)\varepsilon</math>,
• умножение: <math>(a+b\varepsilon) (c+d\varepsilon)=(ac)+(bc+ad)\varepsilon</math>,
• деление: <math>\frac{a+b\varepsilon}{c+d\varepsilon} = \frac{a}{c} + \frac{bc-ad}{c^2} \varepsilon</math>.

Корень <math>n</math>-й степени из числа вида <math>a+\varepsilon b</math> определяется как

<math>\sqrt[n]{a} + \frac{\varepsilon b}{n \sqrt[n]{a^{n-1}}}</math>.

Дифференцирование

Дуальные числа тесно связаны с дифференцированием функций. Область определения аналитической функции <math>f(x)</math> можно естественным образом продолжить до кольца дуальных чисел, при этом имеет место соотношение:

<math>f(x+y\varepsilon) = f(x) + y\varepsilon f'(x)</math>.

Таким образом, производя вычисления не над вещественными, а над дуальными числами, можно автоматически получать значение производной функции в точке. Особенно удобно рассматривать таким образом композиции функций.

Существует аналогия между дуальными числами и числами нестандартного анализа: мнимая единица <math>\varepsilon</math> кольца дуальных чисел подобна бесконечно малому числу нестандартного анализа — любая степень (выше первой) <math>\varepsilon</math> в точности равна 0, в то время как любая степень бесконечно малого числа приблизительно равна 0 (является бесконечно малой более высокого порядка). Таким образом, если <math>\delta</math> — бесконечно малое число, то с точностью до <math>o(\delta)</math> кольцо гипервещественных чисел вида <math>\R+\R\delta</math> изоморфно кольцу дуальных чисел.

Литература

• И. М. Яглом Комплексные числа и их применение в геометрии. М.:Физматлит, 1963. 192 с.
• V. V. Kisil (2007) Inventing the Wheel, the Parabolic One arXiv:0707.4024Шаблон:Ref