Дифференциальная алгебра

Дифференциальная алгебра — теория, в которой дифференциальные уравнения изучаются посредством общеалгебраических структур — колец, полей и алгебр над полем — снабжаемых дифференцированием — унарной операцией, удовлетворяющей правилу произведения. Естественный пример дифференциального поля — поле рациональных функций одной комплексной переменной <math>C(t)</math>, операции дифференцирования соответствует дифференцирование по <math>t</math>.

Разработана Джозефом Риттом (1950) и его учеником Шаблон:Нп5<ref name=DA>Ritt, Joseph Fels (1950). Differential Algebra. New York: AMS Colloquium Publications (volume 33).</ref><ref>Шаблон:Citation</ref>, в связи с чем фигурирует также как теория Ритта — Колчина (для того чтобы отличать от дифференциальной алгебры в широком смысле — изучения феномена дифференцирования средствами общей алгебры, например, такими как алгебры Ли, Шаблон:Iw, кэлеровы дифференциалы, Шаблон:Iw).

Определения

Шаблон:ЯкорьДифференциальное кольцо — кольцо <math>R</math>, снабжённое одним или несколькими эндоморфизмами (дифференцированиями):

<math>\partial\colon R \to R</math>,

удовлетворяющими правилу произведения:

<math>\partial (r_1 r_2)=(\partial r_1) r_2 + r_1 (\partial r_2)</math>

для любых <math>r_1, r_2 \in R</math>. (В некоммутативном кольце правило <math>d(xy) = x dy + y dx</math> может не выполняться.) В безындексной форме записи: если <math>M\colon R \times R \to R</math> — умножение в кольце, то правило произведения примет вид:

<math>\partial \circ M =

M \circ (\partial \otimes \operatorname{id}) + M \circ (\operatorname{id} \otimes \partial)</math> где <math>f\otimes g</math> — отображение пары <math>(x,y)</math> в пару <math>(f(x),g(y))</math>.

Шаблон:ЯкорьДифференциальное поле — это поле <math>K</math>, снабжённое дифференцированием, которое должно подчиняться правилу Лейбница в форме:

<math>\partial(uv) = u \,\partial v + v\, \partial u</math>

(так как умножение в поле коммутативно) и также должно быть дистрибутивно относительно сложения:

<math>\partial (u + v) = \partial u + \partial v</math>

Шаблон:ЯкорьПолем констант дифференциального поля <math>K</math> называется <math> k = \{u \in K | \partial(u) = 0\}</math>.

Шаблон:ЯкорьДифференциальной алгеброй над полем <math>K</math> называется <math>K</math>-алгебра <math>A</math>, в которой дифференцирования коммутируют с полем, то есть для любых <math>k \in K</math> и <math>x \in A</math>:

<math>\ \partial (kx) = k \partial x</math>.

В безындексной форме записи: если <math>\eta \colon K\to A</math> — морфизм колец, определяющий умножение на скаляры в алгебре, то:

<math>\partial \circ M \circ (\eta \times \operatorname{Id}) =

M \circ (\eta \times \partial)</math>

Как и в остальных случаях, дифференцирование должно удовлетворять правилу Лейбница относительно умножения в алгебре и быть линейным относительно сложения. То есть для любых <math>a,b \in K</math> и <math>x,y \in A</math>:

<math>\partial (xy) = (\partial x) y + x(\partial y)</math>

и

<math>\partial (ax+by) = a\,\partial x + b\,\partial y</math>.

Дифференцирование алгебры Ли <math>L</math> — линейное отображение <math>\delta \colon L \to L</math>, удовлетворяющее правилу Лейбница:

<math>\ \delta([a,b]) = [a,\delta(b)] + [\delta(a),b]</math>.

Для любого <math>a \in L</math> оператор <math>\operatorname{ad}(a)</math> — дифференцирование на <math>L</math>, что следует из тождества Якоби. Любое такое дифференцирование называется внутренним.

Примеры

Если <math>A</math> — алгебра с единицей, то <math>\partial(1)=0</math>, так как <math>\partial(1) = \partial(1\times 1) = \partial(1) + \partial(1)</math>. Например, в дифференциальных полях характеристики 0 рациональные элементы образуют подполе в поле констант.

Любое поле можно рассматривать как поле констант.

В поле <math>\mathbb{Q}(t)</math> существует естественная структура дифференциального поля, определяемая равенством <math>\partial(t)=1</math>: из аксиом поля и дифференцирования следует, что это будет дифференцирование по <math>t</math>. Например, из коммутативности умножения и правила Лейбница следует, что:

<math>\partial(u^2) = u \partial(u) + \partial(u) u = 2 u \partial(u)</math>.

В дифференциальном поле <math>\mathbb{Q}(t)</math> нет решения дифференциального уравнения <math>\partial(u) = u </math>, но можно расширить его до поля, содержащего функцию <math>e^t</math>, имеющего решение этого уравнения.

Дифференциальное поле, имеющее решение для любой системы дифференциальных уравнений, называется дифференциально замкнутым полем. Такие поля существуют, хотя они и не возникают естественным образом в алгебре или геометрии. Любое дифференциальное поле (ограниченной мощности) вкладывается в большее дифференциально замкнутое поле. Дифференциальные поля изучаются в дифференциальной теории Галуа.

Естественные примеры дифференцирований — частные производные, производные Ли, производная Пиншерле и коммутатор относительно заданного элемента алгебры. Все эти примеры тесно связаны общей идеей дифференцирования.

Кольцо псевдодифференциальных операторов

Дифференциальные кольца и дифференциальные алгебры часто изучаются с помощью кольца псевдодифференциальных операторов над ними:

<math>R((\xi^{-1})) = \left\{ \sum_{n<\infty} r_n \xi^n | r_n \in R \right\}</math>.

Умножение в этом кольце определяется как:

<math>(r\xi^m)(s\xi^n) =

\sum_{k=0}^m r (\partial^k s) {m \choose k} \xi^{m+n-k}</math>,

где <math>{m \choose k}</math> — биномиальный коэффициент. Имеет место тождество:

<math>\xi^{-1} r = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n (\partial^n r) \xi^{-1-n}</math>

следующее из:

<math>{-1 \choose n} = (-1)^n</math> и <math>r \xi^{-1} = \sum_{n=0}^\infty \xi^{-1-n} (\partial^n r)</math>.

Градуированное дифференцирование

Для градуированной алгебры <math>A</math> однородное линейное отображение <math>D</math> (<math>d = \left| D \right|</math>) называется однородной производной, если <math>D(ab)=D(a)b+\epsilon^{|a||D|}aD(b)</math> (<math>\epsilon = \pm1</math>) при действии на однородные элементы <math>A</math>. Градуированная производная — сумма однородных производных с одинаковым <math>\epsilon</math>. Если <math>\epsilon = 1</math>, определение совпадает с обычным дифференцированием.

Если <math>\epsilon = -1</math>, то <math>D(ab)=D(a)b+(-1)^{|a|}aD(b)</math>, для нечётных <math>\left| D \right|</math>. Такие эндоморфизмы называются антипроизводными.

Примеры антипроизводных — внешняя и внутренняя производная дифференциальных форм.

Градуированные производные супералгебр (то есть <math> \Z_2 </math>-градуированных алгебр) часто называются суперпроизводными.

Литература

• Buium Differential Algebra and Diophantine Geometry, — Hermann (1994).
• И. Капланский Дифференциальная алгебра, — Hermann (1957).
• Е. Колчин Дифференциальная алгебра и алгебраические группы, — 1973.
• Д. Маркер Теория моделей для дифференциальных полей, Теория моделей полей, Lecture notes in Logic 5, D. Marker, M. Messmer and A. Pillay, Springer Verlang (1996).
• А. Магид Лекции по дифференциальной теории Галуа, — Американское мат. общество, 1994.
• Домашняя страница Давида Маркера содержит несколько статей о дифференциальных полях.