Брахистохрона
Брахистохро́на (от греч. βράχιστος «кратчайший» + χρόνος «время») — кривая скорейшего спуска. Задача о её нахождении была поставлена в июне 1696 года Иоганном Бернулли следующим образом: Шаблон:Рамка Среди плоских кривых, соединяющих две данные точки <math>A</math> и <math>B</math>, лежащих в одной вертикальной плоскости (<math>B</math> ниже <math>A</math>), найти ту, двигаясь по которой под действием только силы тяжести, сонаправленной отрицательной полуоси <math>OY</math>, материальная точка из <math>A</math> достигнет <math>B</math> за кратчайшее время.
Решением задачи о брахистохроне является дуга циклоиды с горизонтальным основанием, точка возврата которой находится в точке <math>A</math>, или иными словами, имеющая вертикальную касательную в точке <math>A</math>.
Примечательно, что время спуска до нижней точки не зависит от расположения начальной точки на дуге циклоиды.
Решение задачи о брахистохроне
На статью Иоганна Бернулли откликнулись Исаак Ньютон, Якоб Бернулли, Г. В. Лейбниц, Г. Ф. Лопиталь, Э. В. Чирнхаус. Все они, как и сам Иоганн Бернулли, решили задачу разными способами. Метод решения, полученного 26 января 1697 года Исааком Ньютоном, лёг в основу важнейшей области естествознания — вариационного исчисления.
Пусть имеются две произвольные точки, расположенные на разных ординатах. Далее пусть произвольная материальная точка M скатывается от точки A к точке B под действием только силы тяжести (силы трения отсутствуют). Найдём такую траекторию, при которой время скатывания будет минимально.
Направим ось ординат вниз и сопоставим начальной точке нулевое значение ординаты. Запишем закон сохранения энергии для материальной точки M:
- <math>\frac{m v^2}{2} = mgy,</math>
где
- <math>m</math> — масса тела,
- <math>g</math> — ускорение свободного падения,
- <math>y</math> — ордината,
- <math>v</math> — скорость движения тела.
Получаем:
- <math>v = \sqrt{2gy},</math>
откуда можно найти значение проекции скорости на ось <math>x</math>:
- <math>v_x = \frac{v}{\sqrt{1 + (y')^2}} = \frac{\sqrt{2gy}}{\sqrt{1 + (y')^2}}.</math>
Поскольку время на спуск равняется <math>\int_a^b \frac{1}{v_x} \,dx </math>, то задача сводится к минимизации значения интеграла
- <math>\frac{1}{\sqrt{2g}} \int_a^b \sqrt{\frac{1 + (y')^2}{y}} \,dx.</math>