Асимптотическая кривая

Асимптотическая кривая (асимптотическая линия) — кривая <math>\gamma = \gamma(t)</math> на гладкой регулярной поверхности <math>F</math> в евклидовом пространстве, в каждой точке касающаяся асимптотического направления поверхности <math>F</math>, т. е. такого направления, в котором нормальное сечение поверхности имеет нулевую кривизну. Так как нормальные сечения с нулевой кривизной существуют не во всех точках поверхности, то и асимптотические линии, вообще говоря, заполняют не всю поверхность. Асимптотическая кривая определяется дифференциальным уравнением

<math>\mathrm{I\!I}_{\gamma(t)}(\dot\gamma(t), \dot\gamma(t)) = 0,</math>

где <math>\mathrm{I\!I}</math> — вторая фундаментальная форма поверхности <math>F</math>.

Три типа точек поверхности

Точки, в которых гауссова кривизна <math>K<0</math>, называются гиперболическими (примером поверхности, целиком состоящей из гиперболических точек, служит однополостный гиперболоид или гиперболический параболоид); точки, в которых гауссова кривизна <math>K>0</math>, называются эллиптическими (примером поверхности, целиком состоящей из эллиптических точек, служит эллипсоид или двуполостный гиперболоид); точки, в которых гауссова кривизна <math>K=0</math>, но средняя кривизна <math>K \neq 0</math>, называются параболическими (примером поверхности, целиком состоящей из параболических точек, служит цилиндр). Параболические точки, как правило, образуют кривую, разделяющую поверхность на эллиптическую и гиперболическую области.

В области эллиптических точек асимптотических линий нет. В области гиперболических точек имеется ровно два семейства асимптотических линий, составляющие так называемую асимптотическую сеть: через каждую гиперболическую точку проходит по одной линии каждого семейства, они пересекаются под ненулевым углом. В параболических точках асимптотические линии имеют, как правило, особенность типа точки возврата (касп) и представляют собой полукубические параболы, лежащие (за исключением самой точки возврата) в гиперболической области, примыкающей к параболической линии.

Свойства

• Соприкасающаяся плоскость асимптотической кривой <math>\gamma</math> (там, где она существует) совпадает с касательной плоскостью к <math>F</math> в той же точке.
• (Теорема Бельтрами — Эннепера) Квадрат кручения асимптотической кривой (там, где оно определено) равен модулю гауссовой кривизны поверхности <math>F</math>.
• Прямолинейный отрезок на поверхности <math>F</math> всегда является асимптотической кривой. В частности, асимптотическими кривыми являются прямолинейные образующие поверхности.
• На поверхностях постоянной отрицательной кривизны асимптотическая сеть является чебышёвской сетью, причем площадь четырёхугольника, образованного асимптотическими кривыми, пропорциональна избытку суммы его внутренних углов над <math>2\pi</math> (формула Хаццидакиса).
• На минимальной поверхности асимптотическая сеть является ортогональной сетью.
• При проективном преобразовании <math>\pi</math> пространства асимптотические кривые поверхности <math>F</math> переходят в асимптотические кривые преобразованной поверхности <math>\pi(F)</math>.

Уравнение для графика функции

Пусть в евклидовом пространстве с координатами <math>x, y, z</math> и метрикой <math>ds^2 = dx^2 + dy^2 + dz^2</math> поверхность задана в виде графика функции <math>z = f(x, y)</math>. Тогда в координатах <math>x, y</math> асимптотические линии поверхности задаются дифференциальным уравнением <math>

f_{yy}\,dy^2 + 2f_{xy}\,dx \,dy + f_{xx}\,dx^2 = 0.

</math> Введя обозначение <math>p = dy/dx</math>, его можно переписать в виде <math>f_{yy} p^2 + 2f_{xy} p + f_{xx} = 0.</math> Дискриминант <math>\Delta = f_{xy}^2 - f_{xx} f_{yy}</math> стоящего в левой части квадратного трёхчлена (относительно переменной <math>p</math>) совпадает с гессианом функции <math>f(x, y)</math>, взятым с обратным знаком, и уравнение <math>\Delta = 0</math> задаёт на плоскости <math>(x, y)</math> кривую, состоящую из параболических точек поверхности (при условии, что один из коэффициентов <math>f_{xx}</math> или <math>f_{yy}</math> отличен от нуля), которая также является дискриминантной кривой данного дифференциального уравнения, не разрешённого относительно производной. В типичном случае почти во всех параболических точках это уравнение имеет нормальную форму Чибрарио, исключение составляют лишь точки, лежащие на дискриминантной кривой дискретно, в них нормальная форма уравнения более сложна. Ещё более сложную нормальную форму уравнение асимптотических линий имеет в точках, где все три коэффициента <math>f_{xx}</math>, <math>f_{xy}</math>, <math>f_{yy}</math> обращаются в нуль одновременно, — это так называемые плоские омбилики, в которых <math>H = K = 0</math>, т. е. все нормальные сечения поверхности имеют нулевую кривизну.

Примеры

• Все точки однополостного гиперболоида <math>x^2 + y^2 - z^2 = 1</math> относятся к гиперболическому типу. Уравнение асимптотических линий в данном случае принимает вид <math>(x^2 - 1)p^2 - 2xyp + y^2 - 1 = 0</math>, где <math>p = dy/dx</math>. Как легко проверить, общее решение этого уравнения задаётся формулой <math>y = ax + b</math>, где параметры <math>a</math> и <math>b</math> подчинены соотношению <math>b^2 - a^2 = 1</math>. Тем самым мы получаем два семейства (соответствующих разным знакам <math>\pm</math> в формуле <math>b = \pm \sqrt{a^2 + 1}</math>) асимптотических линий однополостного гиперболоида, совпадающих с семействами его прямолинейных образующих.
• Асимтотические линии конуса <math>x^2 + y^2 - z^2 = 0</math> также совпадают с его прямолинейными образующими. Так как все точки конуса параболические, то мы имеем ровно одно семейство асимптотических линий.
• В случае поверхности, заданной уравнением <math>z = y^2 + x^2y + ax^4</math> имеем <math>\Delta = (1 - 6a)x^2 - y</math>. Линия параболических точек (<math>y = (1 - 6a)x^2</math>) делит поверхность на эллиптическую (<math>y > (1 - 6a)x^2</math>) и гиперболическую (<math>y < (1 - 6a)x^2</math>) области. В последней расположены два семейства асимптотических линий. Во всех параболических точках, за исключением начала координат (<math>x = y = 0</math>) уравнение асимптотических линий имеет нормальную форму Чибрарио, следовательно, асимптотические линии в окрестности этих точек имеют вид полукубических парабол. В начале координат сеть асимптотических линий имеет более сложную особенность, характер которой зависит от параметра <math>a</math>, см. статью.
• Асимптотическими кривыми на торе, заданном параметрически в виде <math display="block">

\begin{cases}

x(\phi,\psi) = (R + r \cos \phi) \cos \psi, \\
y(\phi,\psi) = (R + r \cos \phi) \sin \psi, \\
z(\phi,\psi) = r \sin \phi,

\end{cases} \qquad \phi, \psi \in [0,2\pi), </math> являются два параллели <math>z = \pm r</math>, разделяющие гиперболические и эллиптические области и целиком состоящие из параболических точек, и бесконечное число кривых специального вида, осциллирующих между этими двумя параллелями.

• Асимптотической кривой является ребро возврата на псевдосфере.

Литература

• Рашевский П. К. Курс дифференциальной геометрии, — Любое издание.
• Фиников С. П. Курс дифференциальной геометрии, — Любое издание.
• Фиников С. П. Теория поверхностей, — Любое издание.
• Мищенко А. С., Фоменко А. Т. Курс дифференциальной геометрии и топологии, — Любое издание.
• Шаблон:Книга