Асимптота
Аси́мптота, или асимпто́та<ref>Двойное ударение указано в Советском энциклопедическом словаре. В словарях XIX и первой половины XX века (например, в кн.: Шаблон:Книга) указывался единственный вариант ударения «Асимпто́та». В Большой Российской энциклопедии и в последнем издании Русского орфографического словаря Лопатина указан иной и также единственный вариант: Аси́мптота.</ref> (от Шаблон:Lang-grc — несовпадающая, не касающаяся) кривой с бесконечной ветвью, — прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точки кривой до этой прямой стремится к нулю при удалении точки вдоль ветви в бесконечность<ref>Шаблон:МатЭнц</ref>. Термин впервые появился у Аполлония Пергского, хотя асимптоты гиперболы исследовал ещё Архимед<ref name="mes">Шаблон:МЭС</ref>.
Виды асимптот графиков
Вертикальная
Прямая вида <math>x = a</math> является вертикальной асимптотой при выполнении хотя бы одного из равенств:
- <math>\lim_{x \to a^-}f(x)= \pm\infty </math>
- <math>\lim_{x \to a^+}f(x)=\pm\infty </math>.
Вертикальных асимптот может быть любое количество.
Прямая не может быть вертикальной асимптотой, если функция непрерывна в точке <math>a</math>. Поэтому вертикальные асимптоты следует искать в точках разрыва функции.
Горизонтальная и наклонная
Наклонная асимптота — прямая вида <math>y=kx+b</math>, если выполняется хотя бы одно из равенств:
- <math>\lim_{x \to +\infty}(f(x)-kx)=b</math>
- <math>\lim_{x \to -\infty}(f(x)-kx)=b</math>.
При этом, если выполняется первое условие, то говорят, что эта прямая является асимптотой при <math>x \to + \infty</math>, а если второе, то асимптотой при <math>x \to - \infty</math><ref>Шаблон:Книга</ref>.
Если <math>k=0</math>, то асимптота также называется горизонтальной.
Замечание 1: Число наклонных асимптот у функции не может быть больше двух: одна при <math>x \to + \infty</math> и одна при <math>x \to - \infty</math>; но асимптота может быть и одна или их вовсе может не быть.
Замечание 2: Некоторые источники включают требование, чтобы кривая не пересекала эту прямую в окрестности бесконечности<ref name=Talman>«Asymptotes» by Louis A. Talman</ref>.
Замечание 3: В некоторых случаях, таких как алгебраическая геометрия, асимптота определена, как прямая, которая является «касательной» к кривой на бесконечности<ref name=Talman />.
Обыкновенная и оскулирующая
Обыкновенная асимптота имеет с кривой на бесконечности касание первого порядка, оскулирующая асимптота — касание второго порядка. Эти асимптоты кубик отличаются друг от друга следующими свойствамиШаблон:Sfn:
- обыкновенная прямолинейная асимптота пересекает кубику на конечном расстоянии в одной и только одной точке;
- оскулирующая прямолинейная асимптота не пересекает кубику на конечном расстоянии.
Нахождение асимптот
Порядок нахождения асимптот
- Нахождение точек разрыва, выбор точек, в которых есть вертикальная асимптота (прямой проверкой, что предел в этой точке есть <math>\pm \infty</math>).
- Проверка, не являются ли конечными пределы <math>\lim_{x \to +\infty}f(x)=b</math> и<math>\lim_{x \to -\infty}f(x)=b</math>. Если да, то существует горизонтальная асимптота <math>y=b</math> при <math>+\infin</math> и <math>-\infin</math> соответственно.
- Нахождение двух пределов <math>\lim_{x \to \pm \infty}\frac{f(x)}{x}=k</math>
- Нахождение двух пределов <math>\lim_{x \to \pm \infty}(f(x)-kx)=b</math>.
Если хотя бы один из пределов в пунктах 3 или 4 не существует (или равен <math>\pm\infty</math>), то наклонной асимптоты при <math>x \to + \infty</math> (или <math>x \to - \infty</math>) не существует.
Наклонная асимптота — выделение целой части
Также наклонную асимптоту можно найти, выделив целую часть. Например:
Дана функция <math>f(x)=\frac{2x^3+5x^2+1}{x^2+1}</math>.
Разделив нацело числитель на знаменатель, получим: <math>f(x)=2x+5+ \frac{-2x-4}{x^2+1}=2x+5+(-2) \cdot \frac{x+2}{x^2+1}</math>.
При <math>x \to \pm\infty</math>, <math>\frac{x+2}{x^2+1} \to 0</math>,
и <math>y=2x+5</math> является искомым уравнением наклонной асимптоты, причем с обеих сторон.
Свойства
- Среди невырожденных конических сечений асимптоты имеют только гиперболы. Асимптоты гиперболы как конического сечения параллельны образующим конуса, лежащим в плоскости, проходящей через вершину конуса параллельно секущей плоскости<ref>Шаблон:Книга</ref>. Максимальный угол между асимптотами гиперболы для данного конуса равен углу раствора конуса и достигается при секущей плоскости, параллельной оси конуса.