Многоугольник

{{#if: | }}

Различные типы многоугольников.

Многоуго́льник — геометрическая фигура, обычно определяемая как часть плоскости, ограниченная замкнутой ломаной. Если граничная ломаная не имеет точек самопересечения, многоугольник называется простым<ref name=ME>Шаблон:Книга</ref>. Например, треугольники и квадраты — простые многоугольники, а пентаграмма — нет.

Точки перелома ломаной называются вершинами многоугольника, а её звенья — сторонами многоугольника. Число сторон многоугольника совпадает с числом его вершин<ref name=ZAY383/>.

Правильный тринадцатиугольник — многоугольник, у которого 13 равных сторон, углов и 13 вершин.

Варианты определений

Существуют три различных варианта определения многоугольника; последнее определение является наиболее распространённым<ref name=ME/>.

• Плоская замкнутая ломаная — наиболее общий случай;
• Плоская замкнутая ломаная без самопересечений, любые два соседних звена которой не лежат на одной прямой;
• Часть плоскости, ограниченная замкнутой ломаной без самопересечений — плоский многоугольник; в этом случае сама ломаная называется контуром многоугольника.

Существуют также несколько вариантов обобщения данного определения, допускающие бесконечное число звеньев ломаных, несколько несвязных граничных ломаных, ломаные в пространстве, произвольные отрезки непрерывных кривых вместо отрезков прямых и др.<ref name=ME/>

Связанные определения

• Вершины многоугольника называются соседними, если они являются концами одной из его сторон.
• Стороны многоугольника называются смежными, если они прилегают к одной вершине.
• Общая длина всех сторон многоугольника называется его периметром.
• Диагоналями называются отрезки, соединяющие несоседние вершины многоугольника.
• Углом (или внутренним углом) плоского многоугольника при данной вершине называется угол между двумя сторонами, сходящимися в этой вершине. Угол может превосходить <math>180^\circ</math> в том случае, если многоугольник невыпуклый. Число углов простого многоугольника совпадает с числом его сторон или вершин.
• Внешним углом выпуклого многоугольника при данной вершине называется угол, смежный внутреннему углу многоугольника при этой вершине. В случае невыпуклого многоугольника внешний угол — разность между <math>180^\circ</math> и внутренним углом, он может принимать значения от <math>-180^\circ</math> до <math>180^\circ</math>.
• Перпендикуляр, опущенный из центра вписанной окружности правильного многоугольника на одну из сторон, называется апофемой.

Виды многоугольников и их свойства

• Многоугольник с тремя вершинами называется треугольником, с четырьмя — четырёхугольником, с пятью — пятиугольником и так далее. Многоугольник с <math>n</math> вершинами называется <math>n</math>-угольником.

Многоугольник, вписанный в окружность.

Многоугольник, описанный около окружности.

• Выпуклый многоугольник — это многоугольник, который лежит по одну сторону от любой прямой, содержащей его сторону (то есть продолжения сторон многоугольника не пересекают других его сторон). Существуют и другие эквивалентные определения выпуклого многоугольника. Выпуклый многоугольник всегда простой, то есть не имеет точек самопересечения.
• Выпуклый многоугольник называется правильным, если у него равны все стороны и все углы, например равносторонний треугольник, квадрат и правильный пятиугольник. Символ Шлефли правильного <math>n</math>-угольника равен <math>\{n\}</math>.
• Многоугольник, у которого равны все стороны и все углы, но который имеет самопересечения, называется правильным звёздчатым многоугольником, например, пентаграмма и октаграмма.
• Многоугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины лежат на одной окружности. Сама окружность при этом называется описанной, а её центр лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам многоугольника. Любой треугольник является вписанным в некоторую окружность.
• Многоугольник называется описанным около окружности, если все его стороны касаются некоторой окружности. Сама окружность при этом называется вписанной, а её центр лежит на пересечении биссектрис углов многоугольника. Любой треугольник является описанным около некоторой окружности.
• Выпуклый четырёхугольник называется внеописанным около окружности, если продолжения всех его сторон (но не сами стороны) касаются некоторой окружности.<ref>Картаслов.ру</ref> Окружность при этом называется вневписанной. Вневписанная окружность существует также и у произвольного треугольника.

Общие свойства

Неравенство треугольника

Неравенство треугольника влечёт, что любая сторона многоугольника меньше суммы остальных его сторон.

Теорема о сумме углов многоугольника

Сумма внутренних углов простого плоского <math>n</math>-угольника равнаШаблон:Sfn <math>180^\circ(n-2)</math>. Сумма внешних углов не зависит от числа сторон и всегда равна <math>360^\circ.</math>

Число диагоналей

• Число диагоналей всякого <math>n</math>-угольника равно <math>\tfrac{n(n-3)}2</math>.

Площадь

Пусть <math>\{(X_i,Y_i)\}, i=1,2,...,n </math> — последовательность координат соседних друг другу вершин <math>n</math>-угольника без самопересечений . Тогда его площадь вычисляется по формуле Гаусса:

<math> S = \frac{1}{2}\left|\sum\limits_{i=1}^n (X_i+X_{i+1})(Y_i-Y_{i+1})\right|</math>, где <math>(X_{n+1},Y_{n+1})=(X_1,Y_1)</math>.

Если даны длины сторон многоугольника и азимутальные углы сторон, то площадь многоугольника может быть найдена по формуле Саррона <ref>Хренов Л. С. Вычисление площадей многоугольников по способу Саррона Шаблон:Wayback // Математическое просвещение. 1936. Выпуск 6. С. 12—15</ref>.

Площадь правильного <math>n</math>-угольника вычисляется по одной из формулШаблон:Sfn:

• половина произведения периметра <math>n</math>-угольника на апофему:

• <math>S = \frac{n}{4}\ a^2 \mathop{\mathrm{}}\, \operatorname{ctg} \frac{\pi}{n}</math>.

• <math>S = \frac12 n R^2\sin\frac{360^\circ}{n};</math>

• <math>S = nr^2 \mathop{\mathrm{tg}}\, \frac{\pi}{n}</math>

где <math>a</math> — длина стороны многоугольника, <math>R</math> — радиус описанной окружности, <math>r</math> — радиус вписанной окружности.

Квадрируемость фигур

С помощью множества многоугольников определяется квадрируемость и площадь произвольной фигуры на плоскости. Фигура <math>F</math> называется квадрируемой, если для любого <math>\varepsilon>0</math> существует пара многоугольников <math>P</math> и <math>Q</math>, таких, что <math>P\subset F\subset Q</math> и <math>S(Q)-S(P)<\varepsilon</math>, где <math>S(P)</math> обозначает площадь <math>P</math>.

Вариации и обобщения

• Многогранник — обобщение многоугольника в размерности три, замкнутая поверхность, составленная из многоугольников, или тело, ей ограниченное.

См. также

• Список многоугольников

Литература

Шаблон:Родственный проект{{#if:||}}{{#if: многоугольник || {{#ifeq: Многоугольник | многоугольник | | }} }} Шаблон:Навигация

• Шаблон:Книга

Ссылки

• Шаблон:H