Радиан

Файл:Radian-common.svg

Некоторые важные углы, измеренные в радианах. Все многоугольники, изображённые на диаграммах, — правильные

Радиа́н (русское обозначение: рад, международное: rad; от лат. radius — луч, радиус) — центральный угол, соответствующий дуге окружности, длина которой равна радиусу<ref>Шаблон:Книга</ref> этой окружности. Единица измерения плоских углов в Международной системе единиц (СИ), а также в системах единиц СГС и МКГСС<ref>Шаблон:Книга</ref>.

Радианная мера — угловая мера, в которой за единицу принимается угол в 1 радиан. То есть, радианная мера любого угла — это отношение этого угла к радиануШаблон:Sfn. Из определения следует, что величина полного угла равна Шаблон:Math радиан (см. рис. справа).

Определить радианную меру можно и так: радианная мера угла — отношение длины дуги окружности, находящейся между сторонами угла, к радиусу этой окружности, когда центр окружности совпадает с вершиной угла. В геометрии для определения радианной меры угла используют единичную окружность с центром в вершине угла; тогда радианная мера угла равна длине дуги единичной окружности между сторонами углаШаблон:Sfn<ref>Шаблон:Cite web</ref>.

Поскольку длина дуги окружности пропорциональна её угловой мере и радиусу, длина дуги окружности радиуса Шаблон:Math и угловой величины Шаблон:Math, измеренной в радианах, равна Шаблон:Math.

Так как величина угла, выраженная в радианах, равна отношению длины дуги окружности (м) к длине её радиуса (м), угол в радианном измерении — величина безразмерная.

Радиан в Международной системе единиц (СИ)

В качестве единицы измерения плоских углов в Международной системе единиц (СИ) радиан был принят XI Генеральной конференцией по мерам и весам в 1960 году одновременно с принятием системы СИ в целом<ref>Шаблон:Cite web</ref>. В настоящее время в системе СИ радиан квалифицируется как когерентная<ref>Производная единица измерения называется когерентной, если она выражается в виде произведения степеней основных единиц измерения с коэффициентом пропорциональности, равным единице.</ref> безразмерная производная единица СИ, имеющая специальные наименование и обозначение. Русское обозначение — рад, международное — rad<ref>Шаблон:Cite web</ref>.

Безразмерность плоского угла означает, что единицей его измерения является число один. Однако, применительно к плоскому углу единице «один» было присвоено специальное наименование «радиан» для того, чтобы в каждом конкретном случае облегчить понимание того, какая именно величина имеется в виду<ref>Шаблон:Cite web</ref>.

Кратные и дольные единицы

Десятичные кратные и дольные единицы радиана образуются с помощью стандартных приставок СИ, однако используются редко. Так, в миллирадианах, микрорадианах и нанорадианах измеряется угловое разрешение в астрономии. В кратных единицах (килорадианах и т. д.) измеряется набег угловой фазы. Сокращённое обозначение (рад, rad) основной и производных единиц не следует путать с устаревшей единицей измерения поглощённой дозы ионизирующего излучения — рад.

Кратные				Дольные
величина	название	обозначение		величина	название	обозначение
101 рад	10−1 рад
102 рад	10−2 рад
103 рад	10−3 рад
106 рад	10−6 рад
109 рад	10−9 рад
1012 рад	10−12 рад
1015 рад	10−15 рад
1018 рад	10−18 рад
1021 рад	10−21 рад
1024 рад	10−24 рад
1027 рад	10−27 рад
1030 рад	10−30 рад Шаблон:Кратные и дольные единицы/Единица {{ #ifexpr: 3 > 3 or 6 < 30 or 3 > 3 or 9 < 30 | Шаблон:Кратные и дольные единицы/Легенда | Шаблон:Кратные и дольные единицы/Легенда }}

Связь радиана с другими единицами

Угол в 1 радиан.

Пропорциональное соотношение радиана с другими единицами измерения углов описывается формулой:

• 1 радиан = 1/(Шаблон:Math) оборотов = 180/Шаблон:Math градусов = 200/Шаблон:Math градов.

Очевидно, развернутый угол равен <math>180^\circ,</math> или <math>\frac{\pi \cdot r}{r}= \pi</math> радианам. Отсюда вытекает тривиальная формула пересчёта из градусов, минут и секунд в радианы и наоборот.

Шаблон:Math[°] = Шаблон:Math[рад] × (360° / (Шаблон:Math)) или Шаблон:Math[рад] × (180° / Шаблон:Math),

Шаблон:Math[рад] = Шаблон:Math[°] : (180° / Шаблон:Math) = Шаблон:Math[°] × (Шаблон:Math / 180°),

где Шаблон:Math[рад] — угол в радианах, Шаблон:Math[°] — угол в градусах.

1 рад (или <math>\rho^\circ</math>) = <math>\frac{360^\circ}{2\pi} \approx 57{,}295779513^\circ \approx 57^\circ17'44{,}806</math>(мнемоническое правило запоминания в градусах-минутах-секундах: "Число радиана и порядок шутя пишу наизусть", где число букв в каждом слове равно соответствующей цифре в записи значения радиана, до десятой доли угловой секунды)

<math>\rho'</math> (или 1 рад в минутах) = <math>\frac{360^\circ \cdot 60'}{2\pi} \approx 3437{,}747'</math>

<math>\rho</math> (или 1 рад в секундах) = <math>\frac{360^\circ \cdot 60' \cdot 60}{2\pi} \approx 206264{,}8.</math>

Номограмма для перевода радианы/градусы.

В метрической системе угловых мер прямой угол делится на 100 градов и каждый град на 100 сантиградов, который, в свою очередь, делится на сотые доли сантиграда, так что
<math>\rho_{\prime\prime}</math> (или 1 рад в сотых долях «сантиграда») = <math>\frac{400 \cdot 100 \cdot 100}{2\pi} \approx 636620.</math>
Употреблять его практически не приходится, так как метрическая система угловых мер пока не получила широкого распространения.

Чтобы легче запомнить, как переводят радианы в градусы и обратно, заметим:
Переводя радианы в градусы (или в минуты, или в секунды), мы из отвлеченного числа (<math>\mathrm{rad}</math>) делаем именованное (<math>\rho^\circ, \rho', \rho</math>) и поэтому должны множить на <math>\rho^\circ ~ (</math>или <math>\rho', \rho)</math>;
Переводя градусы в радианы, мы, наоборот, уничтожаем наименование: получаем отвлечённое число; значит, здесь надо делить на <math>\rho^\circ ~ (</math>или <math>\rho', \rho),</math> либо же умножать на перевёрнутую дробь <math>\frac{1}{\rho^\circ} ~ (\frac{1}{\rho'}, \frac{1}{\rho}).</math>

Пример 1. Перевести в радианы <math>5^\circ43'46.</math>

<math>\boldsymbol{\alpha} [\mathrm{rad}] \eqcirc 5^\circ = \frac{5^\circ}{\displaystyle{\rho^\circ}} ~\mathrm{rad} = 0{,}0872_6</math><ref name="Лишки">Лишние цифры [после четвёртого знака после запятой] в выражениях минут и секунд зачастую отбрасываются ввиду того, что следующая цифра в выражении градусов неизвестна, и, следовательно, писать цифры дальше четвёртой [обозначены нижним индексом] — напрасный труд.</ref>

<math>43' = \frac{43'}{\rho'} ~\mathrm{rad} = 0{,}0125_{08}</math><ref name="Лишки" />

<math>46 = \frac{46}{\rho} ~\mathrm{rad} = 0{,}0002_{23}</math><ref name="Лишки" />

<math>\sum \approx 0{,}0999_9 ~\mathrm{rad}</math><ref name="Лишки" /> <math>= 0{,}1 ~\mathrm{rad}</math>

Альтернативный способ предусматривает перевод минут и секунд в десятичные (сотые и десятитысячные) доли градуса,
и однократного деления на <math>\rho^\circ :</math> (как правило, этот способ более точен)

<math>46 = \frac{46}{60} = 0{,}\boldsymbol{77}'</math>

<math>43{,}\boldsymbol{77}' = \frac{43{,}77'}{60'} = 0{,}\boldsymbol{7295}^\circ</math>

<math>\sum = 5{,}\boldsymbol{7295}^\circ</math>

<math>5{,}7295^\circ = \frac{5{,}7295^\circ}{\rho^\circ} ~\mathrm{rad} = \frac{5{,}7295^\circ}{\displaystyle{57{,}295^\circ}} = 0{,}1 ~\mathrm{rad}</math>

Пример 2. Перевести в градусы 1 радиан.

<math>a [^\circ] \eqcirc 1 \cdot \frac{360^\circ}{2\pi} = 1 \cdot 57{,}29578^\circ = 57{,}\boldsymbol{29578}^\circ</math>

<math>0{,}\boldsymbol{29578}^\circ \cdot 60' = 17{,}\boldsymbol{7468}'</math>

<math>0{,}\boldsymbol{7468}' \cdot 60 = 44{,}807 \approx 45</math>

Итого <math>\approx 57^\circ 17'45.</math>

Таблица градусов, радиан и град

Таблица угловШаблон:Sfn

Угол, в долях от полного	Градусы	Радианы	Грады	Синус	Косинус	Тангенс
<math>0</math>	<math>0^\circ</math>	<math>0</math>	<math>0^\mathrm{g}</math>	<math>0</math>	<math>1</math>	<math>0</math>
<math>\frac{1}{24}</math>	<math>15^\circ</math>	<math>\frac{\pi}{12}</math>	<math>16\frac{2}{3}^\mathrm{g}</math>	<math>\frac{\sqrt{2}}{4}(\sqrt{3}-1)</math>	<math>\frac{\sqrt{2}}{4}(\sqrt{3}+1)</math>	<math>2-\sqrt{3}</math>
<math>\frac{1}{12}</math>	<math>30^\circ</math>	<math>\frac{\pi}{6}</math>	<math>33\frac{1}{3}^\mathrm{g}</math>	<math>\frac{1}{2}</math>	<math>\frac{\sqrt{3}}{2}</math>	<math>\frac{\sqrt{3}}{3}</math>
<math>\frac{1}{8}</math>	<math>45^\circ</math>	<math>\frac{\pi}{4}</math>	<math>50^\mathrm{g}</math>	<math>\frac{\sqrt{2}}{2}</math>	<math>\frac{\sqrt{2}}{2}</math>	<math>1</math>
<math>\frac{1}{6}</math>	<math>60^\circ</math>	<math>\frac{\pi}{3}</math>	<math>66\frac{2}{3}^\mathrm{g}</math>	<math>\frac{\sqrt{3}}{2}</math>	<math>\frac{1}{2}</math>	<math>\sqrt{3}</math>
<math>\frac{5}{24}</math>	<math>75^\circ</math>	<math>\frac{5\pi}{12}</math>	<math>88\frac{1}{3}^\mathrm{g}</math>	<math>\frac{\sqrt{2}}{4}(\sqrt{3}+1)</math>	<math>\frac{\sqrt{2}}{4}(\sqrt{3}-1)</math>	<math>2+\sqrt{3}</math>
<math>\frac{1}{4}</math>	<math>90^\circ</math>	<math>\frac{\pi}{2}</math>	<math>100^\mathrm{g}</math>	<math>1</math>	<math>0</math>	не определён
<math>\frac{7}{24}</math>	<math>105^\circ</math>	<math>\frac{7\pi}{12}</math>	<math>116\frac{2}{3}^\mathrm{g}</math>	<math>\frac{\sqrt{2}}{4}(\sqrt{3}+1)</math>	<math>-\frac{\sqrt{2}}{4}(\sqrt{3}-1)</math>	<math>-2-\sqrt{3}</math>
<math>\frac{1}{3}</math>	<math>120^\circ</math>	<math>\frac{2\pi}{3}</math>	<math>133\frac{1}{3}^\mathrm{g}</math>	<math>\frac{\sqrt{3}}{2}</math>	<math>-\frac{1}{2}</math>	<math>-\sqrt{3}</math>
<math>\frac{3}{8}</math>	<math>135^\circ</math>	<math>\frac{3\pi}{4}</math>	<math>150^\mathrm{g}</math>	<math>\frac{\sqrt{2}}{2}</math>	<math>-\frac{\sqrt{2}}{2}</math>	<math>-1</math>
<math>\frac{5}{12}</math>	<math>150^\circ</math>	<math>\frac{5\pi}{6}</math>	<math>166\frac{2}{3}^\mathrm{g}</math>	<math>\frac{1}{2}</math>	<math>-\frac{\sqrt{3}}{2}</math>	<math>-\frac{\sqrt{3}}{3}</math>
<math>\frac{11}{24}</math>	<math>165^\circ</math>	<math>\frac{11\pi}{12}</math>	<math>183\frac{1}{3}^\mathrm{g}</math>	<math>\frac{\sqrt{2}}{4}(\sqrt{3}-1)</math>	<math>-\frac{\sqrt{2}}{4}(\sqrt{3}+1)</math>	<math>-2+\sqrt{3}</math>
<math>\frac{1}{2}</math>	<math>180^\circ</math>	<math>\pi</math>	<math>200^\mathrm{g}</math>	<math>0</math>	<math>-1</math>	<math>0</math>
<math>\frac{7}{12}</math>	<math>210^\circ</math>	<math>\frac{7\pi}{6}</math>	<math>233\frac{1}{3}^\mathrm{g}</math>	<math>-\frac{1}{2}</math>	<math>-\frac{\sqrt{3}}{2}</math>	<math>\frac{\sqrt{3}}{3}</math>
<math>\dfrac{5}{8}</math>	<math>225^\circ</math>	<math>\dfrac{5\pi}{4}</math>	<math>250^\mathrm{g}</math>	<math>-\dfrac{\sqrt{2}}{2}</math>	<math>-\dfrac{\sqrt{2}}{2}</math>	<math>1</math>
<math>\frac{2}{3}</math>	<math>240^\circ</math>	<math>\frac{4\pi}{3}</math>	<math>266\frac{2}{3}^\mathrm{g}</math>	<math>-\frac{\sqrt{3}}{2}</math>	<math>-\frac{1}{2}</math>	<math>\sqrt{3}</math>
<math>\frac{3}{4}</math>	<math>270^\circ</math>	<math>\frac{3\pi}{2}</math>	<math>300^\mathrm{g}</math>	<math>-1</math>	<math>0</math>	не определён
<math>\frac{5}{6}</math>	<math>300^\circ</math>	<math>\frac{5\pi}{3}</math>	<math>333\frac{1}{3}^\mathrm{g}</math>	<math>-\frac{\sqrt{3}}{2}</math>	<math>\frac{1}{2}</math>	<math>-\sqrt{3}</math>
<math>\frac{7}{8}</math>	<math>315^\circ</math>	<math>\frac{7\pi}{4}</math>	<math>350^\mathrm{g}</math>	<math>-\frac{\sqrt{2}}{2}</math>	<math>\frac{\sqrt{2}}{2}</math>	<math>-1</math>
<math>\frac{11}{12}</math>	<math>330^\circ</math>	<math>\frac{11\pi}{6}</math>	<math>366\frac{2}{3}^\mathrm{g}</math>	<math>-\frac{1}{2}</math>	<math>\frac{\sqrt{3}}{2}</math>	<math>-\frac{\sqrt{3}}{3}</math>
<math>1</math>	<math>360^\circ</math>	<math>2\pi</math>	<math>400^\mathrm{g}</math>	<math>0</math>	<math>1</math>	<math>0</math>

Радианная мера в математическом анализе

При рассмотрении тригонометрических функций в математическом анализе всегда считается, что аргумент выражен в радианах, что упрощает запись; при этом само обозначение рад (rad) часто опускается.

При малых углах синус и тангенс угла, выраженного в радианах, приблизительно равны самому углу (в радианах), что удобно при приближённых вычислениях. При углах менее <math>0{,}1 ~ \mathrm{rad} ~ ( 5^\circ43'{,}77 )</math>, приближение можно считать верным до третьего знака после запятой. Если угол меньше <math>0{,}01 ~ \mathrm{rad} ~ ( 0^\circ34'{,}38 )</math>, — то до шестого знака после запятой<ref> Шаблон:Nbsp<math> \sin 5^\circ43'{,}77 = 0{,}0998 \approx 0{,}100 </math>

<math> \operatorname{tg} 5^\circ43'{,}77 = 0{,}1003 \approx 0{,}100 </math> (точность нарушается в четвертом знаке после запятой)

<math> \sin 0^\circ34'{,}38 = 0{,}0099998 \approx 0{,}010000 </math>

<math> \operatorname{tg} 0^\circ34'{,}38 = 0{,}0100003 \approx 0{,}010000 </math> (точность не выдерживается в седьмом знаке после запятой)
Именно поэтому промежутки шкал(ы) на счётной линейке имеют пределы <math>5^\circ43'{,}77 ~ ( \approx 5^\circ43'46 )</math> и <math>0^\circ34'{,}38 ~ ( \approx 0^\circ34'23 )</math>; ниже этого значения (до 0) разграфки нет, так как углы (в радианах) совпадают со значениями синусов/тангенсов в пределах точности линейки (Шаблон:Книга)</ref>:

<math>\sin\alpha \approx \operatorname{tg}\,\alpha \approx \alpha.</math>

История

Первое использование радиана вместо углового градуса обычно приписывают Роджеру Котсу (XVIII век), который считал эту единицу измерения угла наиболее естественной<ref>Шаблон:Cite web</ref>. Однако идея измерять длину дуги радиусом окружности использовалась и другими математиками. Например, Аль-Каши использовал единицу измерения, названную им «часть диаметра», которая равнялась 1/60 радиана. Также им использовались и более мелкие производные единицы<ref>Шаблон:Книга</ref>.

Термин «радиан» впервые появился в печати 5 июня 1873 года в экзаменационных билетах, составленных Джеймсом Томсоном из Университета Квинса в Белфасте. Томсон использовал термин не позднее 1871 года, в то время как Томас Мьюр из Сент-Эндрюсского университета в 1869 году колебался в выборе между терминами «рад», «радиал» и «радиан». В 1874 году Мьюр, после консультаций с Джеймсом Томсоном, решил использовать термин «радиан»<ref>Шаблон:Книга</ref><ref>Шаблон:СтатьяШаблон:СтатьяШаблон:Статья</ref><ref>Шаблон:Cite web</ref>.

См. также

• Град, минута, секунда
• Градус, минута, секунда
• Оборот (единица измерения)
• Парсек
• Стерадиан
• Тысячная (угол)

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга