Аксиома: различия между версиями

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
imported>RB-MoD
imported>Zangala
 
imported>RB-MoD
отмена правки 151200165 участника 178.121.24.17 (обс.)
 
Строка 1: Строка 1:
{{wikipedia}}
'''Аксио́ма''' ({{lang-grc|[[wikt:ἀξίωμα|ἀξίωμα]]}} «утверждение, положение», от [[wikt:άξιοω|άξιοω]] — считаю достойным, настаиваю, требую), или '''постула́т'''<ref>{{ВТ-ЭСГ|Постулат}}</ref><ref>{{ВТ-МЭСБЕ|Постулат}}</ref> (от {{lang-lat|[[wikt:postulatum|postulatum]]}} — ''букв.'' требуемое<ref>Словарь иностранных слов. — {{М}}: «[[Русский язык (издательство)|Русский язык]]», 1989. — 624 с. ISBN 5-200-00408-8</ref>) — исходное положение какой-либо [[Теория|теории]], принимаемое в рамках данной теории [[истина|истинным]] без требования [[доказательство|доказательства]] и используемое при доказательстве других её положений, которые, в свою очередь, называются [[теорема]]ми<ref name="fil">{{книга|заглавие=Философия: Энциклопедический словарь. — {{М}}: Гардарики|часть=Аксиома|год=2004|автор=Под редакцией А.А. Ивина|язык=ru}}</ref>.
= {{-ru-}} =
{{Лексема в Викиданных|L85132}}


=== Морфологические и синтаксические свойства ===
== Назначение ==
{{сущ ru f ina 1a
{{нет сносок|В этом разделе|дата=2021-04-24}}
|основа=аксио́м
Необходимость в принятии аксиом без доказательств следует из [[Индуктивное умозаключение|индуктивного]] соображения: любое доказательство вынуждено опираться на какие-либо утверждения, и, если для каждого из них требовать своих доказательств, цепочка получится бесконечной. Чтобы не уходить в бесконечность, нужно где-то эту цепочку разорвать — то есть какие-то утверждения принять без доказательств, как исходные. Именно такие, принятые в качестве исходных, утверждения и называются аксиомами<ref name="kline">''Клайн Морис''. «Математика. Утрата определённости.» — М.: Мир, 1984.</ref>.
|слоги={{по-слогам|ак|си|о́|ма}}
}}


{{морфо-ru|аксиом|+а|и=т}}
В современной [[наука|науке]] вопрос об истинности аксиом, лежащих в основе какой-либо теории, решается либо в рамках других научных теорий, либо посредством интерпретации данной теории<ref name=autogenerated1>Философский энциклопедический словарь. — М.: Советская энциклопедия. Гл. редакция: Л. Ф. Ильичёв, П. Н. Федосеев, С. М. Ковалёв, В. Г. Панов. 1983.</ref>.
<!-- Аксиомы являются своего рода «точками отсчёта» для построения теорий в любой науке, при этом сами они не доказываются, а выводятся непосредственно из эмпирического наблюдения ([[Опытное знание|опыта]]) или обосновываются в более глубокой теории. -->


=== Произношение ===
'''Аксиоматиза́ция''' (или — [[формализация]]) теории — явное указание конечного или [[Счётное множество|счётного]], [[Перечислимое множество|рекурсивно перечислимого]] (как, например, в [[Аксиомы Пеано|аксиоматике Пеано]]) набора аксиом и правил вывода. После того как даны названия изучаемым объектам и их основным отношениям, а также аксиомы, которым эти отношения должны подчиняться, всё дальнейшее изложение должно основываться исключительно на этих аксиомах и не опираться на обычное конкретное значение этих объектов и их отношений.
{{transcription-ru|аксио́ма|Ru-аксиома.ogg}}


=== Семантические свойства ===
Выбор аксиом, которые составляют основу конкретной теории, не является единственным. Примеры различных, но равносильных наборов аксиом можно встретить в [[Математическая логика|математической логике]] и [[Евклидова геометрия|евклидовой геометрии]].


==== Значение ====
Набор аксиом называется [[Непротиворечивость|непротиворечивым]], если исходя из аксиом данного набора, пользуясь правилами логики, нельзя прийти к противоречию, то есть доказать одновременно и некое утверждение, и его [[отрицание]].
# {{матем.|ru}}, {{книжн.|ru}} заведомо истинное [[утверждение]], принимаемое без доказательств {{пример|}}
#
#


==== Синонимы ====
Австрийский математик [[Курт Гёдель]] доказал «[[Теорема Гёделя о неполноте|теоремы о неполноте]]», согласно которым всякая система математических аксиом ([[формальная система]]), в которой можно определить натуральные числа, сложение и умножение, неполна. Это значит, что найдётся бесконечное количество математических утверждений (функций, выражений), ни истинность, ни ложность которых не сможет быть доказана на основании данной системы аксиом. Также, по теореме о неполноте, среди этих невыводимых утверждений будет утверждение о непротиворечивости этой системы.
# частичн.: [[постулат]], [[истина]], [[трюизм]]
#


==== Антонимы ====
== История ==
# частичн.: [[ложь]]
{{нет сносок|В этом разделе|дата=2021-04-24}}
#
Впервые термин «аксиома» встречается у [[Аристотель|Аристотеля]] ([[384 год до н. э.|384]]—[[322 год до н. э.|322 до н. э.]]) и переходит в [[Математика|математику]] от [[философ]]ов [[Древняя Греция|Древней Греции]]. [[Евклид]] различает понятия «постулат» и «аксиома», не объясняя их различия. Со времён [[Аниций Манлий Торкват Северин Боэций|Боэция]] постулаты переводят как требования (petitio), аксиомы — как общие понятия. Первоначально слово «аксиома» имело значение «истина, очевидная сама по себе». В разных манускриптах «Начал» Евклида разбиение утверждений на аксиомы и постулаты различно, не совпадает их порядок. Вероятно, переписчики придерживались разных воззрений на различие этих понятий.
#


==== Гиперонимы ====
Отношение к аксиомам как к неким неизменным самоочевидным истинам сохранялось долгое время. Например, в [[словарь Даля|словаре Даля]] аксиома — это «очевидность, ясная по себе и бесспорная [[истина]], не требующая [[Доказательство (логика)|доказательств]]».
# [[утверждение]]
#
#


==== Гипонимы ====
Толчком к изменению восприятия аксиом послужили работы русского математика [[Лобачевский, Николай Иванович|Николая Лобачевского]] о [[Неевклидова геометрия|неевклидовой геометрии]], впервые опубликованные в конце 1820-х годов. Ещё будучи студентом, он пытался доказать [[пятый постулат]] Евклида, но позднее отказался от этого. Лобачевский сделал вывод о том, что пятый постулат является лишь произвольным ограничением, которое можно заменить другим ограничением. Если бы пятый постулат Евклида был доказуем, то Лобачевский столкнулся бы с противоречиями. Однако, хотя новая версия пятого постулата и не была наглядно-очевидной, она полностью выполняла роль аксиомы, позволяя построить новую непротиворечивую систему геометрии.
#
#
#


=== Родственные слова ===
Сначала идеи Лобачевского не были признаны (например, о них отрицательно отзывался академик [[Остроградский, Михаил Васильевич|Остроградский]]). Позднее, когда Лобачевский опубликовал работы на других языках, он был замечен [[Гаусс, Карл Фридрих|Гауссом]], который тоже имел некоторые наработки в области неевклидовой геометрии. Он косвенно высказал восхищение этой работой. Настоящее признание [[геометрия Лобачевского]] получила лишь через 10 — 12 лет после смерти автора, когда была доказана её непротиворечивость в случае непротиворечивости геометрии Евклида. Это привело к революции в математическом мире. [[Гильберт, Давид|Гильберт]] развернул масштабный проект по аксиоматизации всей математики для доказательства её непротиворечивости. Его планам не суждено было сбыться из-за последовавших [[теорема Гёделя о неполноте|теорем Гёделя о неполноте]]. Однако это послужило толчком к формализации математики. Например, появились [[Аксиомы Пеано|аксиомы натуральных чисел и их арифметики]], работы [[Кантор, Георг|Кантора]] по созданию [[Теория множеств|теории множеств]]. Это позволило математикам создавать строго истинные доказательства для теорем.
{{родств-блок
|имена-собственные=
|существительные=аксиоматика, аксиоматизация, аксиоматизируемость, аксиоматичность
|прилагательные=аксиоматический, аксиомный, аксиоматичный
|глаголы=аксиоматизировать, аксиоматизироваться
|наречия=
}}


=== Этимология ===
Сейчас аксиомы обосновываются не сами по себе, а в качестве необходимых базовых элементов теории — аксиомы могут быть достаточно произвольными, они не обязаны быть очевидными. Единственным неизменным требованием к аксиоматическим системам является их внутренняя непротиворечивость. Критерии формирования набора аксиом в рамках конкретной теории часто являются прагматическими: краткость формулировки, удобство манипулирования, минимизация числа исходных понятий и тому подобное. Такой подход не гарантирует истинность принятых аксиом<ref name="fil" />. В соответствии с [[Критерий Поппера|критерием Поппера]], единственный отрицательный пример опровергает теорию и, как следствие, доказывает ложность системы аксиом, при этом множество подтверждающих примеров лишь увеличивает ''вероятность'' истинности системы аксиом.
От {{этимология:аксиома|да}}


=== Фразеологизмы и устойчивые сочетания ===
== Примеры ==
* [[аксиома измерения отрезков и углов]].
* [[аксиома откладывания отрезков, углов, треугольников]]
* [[аксиома параллельности]]
* [[аксиома принадлежности точек и прямых]]
* [[аксиома пустого множества]]
* [[аксиома расположения точек на прямой и плоскости]]


=== Перевод ===
=== Примеры аксиом ===
{{перев-блок|
{{Кол|2}}
|abq=<!--Абазинский-->
# [[Аксиома выбора]]
|ab=<!-- Абхазский-->
# [[Аксиома параллельности Евклида]]
|av=<!-- Аварский -->
# [[Аксиома Архимеда]]
|ave=<!--Авестийский -->
# [[Аксиома объёмности]]
|aja=<!--Аджа-->
# [[Аксиома регулярности]]
|ady=<!--Адыгейский-->
# [[Аксиомы Пеано|Аксиома полной индукции]]
|az=[[aksiom]]
# [[Аксиомы отделимости|Аксиома Колмогорова]]
|ay=<!-- Аймарский-->
# [[Аксиома множества подмножеств]]
|ain=
{{Конец кол}}
|ain.kana=<!-- Айнский (кана) -->
=== Примеры систем аксиом ===
|ain.lat=<!--Айнский (лат)-->
{{Кол|2}}
|sq=[[aksiomë]]
# [[Аксиоматика теории множеств]]
|gsw=[[Axiom]]
# [[Аксиоматика вещественных чисел]]
|ale=<!--Алеутский-->
# [[Аксиоматика Евклида]]
|alt=<!--Алтайский-->
# [[Аксиоматика Гильберта]]
|am=<!-- Амхарский-->
# [[Аксиоматика Тарского (геометрия)|Аксиоматика Тарского]]
|en=[[axiom]]
{{Конец кол}}
|ar=<!-- Арабский -->
== См. также ==
|an=[[axioma]]
{{Навигация | Викисловарь  = аксиома}}{{Викисловарь|постулат}}
|arc.jud=<!--Арамейский (иуд.) -->
{{Кол|2}}
|arc.syr=<!--Арамейский (сир.) -->
* [[Догмат]]
|arn=<!--Арауканский -->
* [[Здравый смысл]]
|hy=[[աքսիոմ]]
* [[Концепция]]
|asm=<!--Ассамский-->
* [[Логика]]
|ast=[[axoma]]
* [[Гипотеза]]
|af=
* [[Формализм (математика)]]
|bar=<!--Баварский-->
* [[Теорема Гёделя о неполноте]]
|bm=<!-- Бамбара-->
* [[Система отсчёта]]
|eu=[[axioma]]
* [[Факт]]
|ba=[[аксиома#|аксиома]]
* [[Теорема]]
|be=[[аксіёма]] {{f}}
* [[Теория множеств]]
|bn=<!-- Бенгальский -->
* [[Теория категорий]]
|bg=[[аксиома#|аксиома]] {{f}}
{{Конец кол}}
|bs=
|br=
|bua=<!--Бурятский-->
|cy=[[gwireb]]
|wa=<!-- Валлонский-->
|war=[[aksyoma]]  
|hu=[[axióma]]
|vep=
|hsb=[[aksiom]] {{m}}
|vot=<!--Водский-->
|vo=<!-- Волапюк-->
|wo=<!-- Волоф -->
|vro=
|vi=
|haw=<!--Гавайский-->
|gag=<!--Гагаузский-->
|ht=<!-- Гаитянский-->
|gl=[[axioma]]
|ze=<!-- Генуэзский-->
|kl=<!-- Гренландский-->
|el=[[αξίωμα]] {{n}}
|ka= {{t|ka|აქსიომა}}
|gn=<!-- Гуарани-->
|gu=<!-- Гуджарати-->
|gd=[[aicseam]]
|dar=<!--Даргинский-->
|prs=<!--Дари-->
|da=[[aksiom]]
|dv=<!-- Дивехи-->
|ang=<!--Древнеанглийский-->
|grc=[[ἀξίωμα]] {{n}}
|sgs=<!--Жемайтский-->
|zza=<!--Зазаки-->
|zu=<!-- Зулу-->
|he=[[אקסיומה]]
|yi=[[אַקסיאָם]] {{f}}
|io=[[axiomo]]
|inh=<!--Ингушский-->
|id=[[aksioma]]  
|ia=[[axioma]]  
|iu=<!-- Инуктитут-->
|ik=<!-- Инупиак-->
|ga=[[aicsím]] {{f}}
|is=
|es=[[axioma]]
|it=[[assioma]]
|yo=<!-- Йоруба-->
|kbd=<!--Кабардино-черкесский -->
|kk=[[аксиома#|аксиома]]
|xal=<!--Калмыцкий-->
|kn=<!-- Каннада-->
|kaa=<!--Каракалпакский -->
|krc=<!--Карачаево-балкарский -->
|krl=
|ca=[[axioma]]
|csb=<!--Кашубский-->
|qu=<!-- Кечуа -->
|ky=[[аксиома#|аксиома]]
|zh=[[公理]] [gōnglǐ]
|zh-tw=
|zh-cn=
|kom=[[аксиома#|аксиома]]
|koi=<!--Коми-пермяцкий -->
|kok=<!--Конкани-->
|ko=
|kw=<!-- Корнский -->
|co=
|xh=<!-- Коса-->
|crh=<!--Крымскотатарский-->
|kum=<!--Кумыкский-->
|ku=<!-- Курдский -->
|ckb=<!--Курдский (сорани) -->
|km=<!-- Кхмерский-->
|lad=<!--Ладино-->
|lbe=[[аксиома#|аксиома]]
|lo=<!-- Лаосский -->
|la=[[axioma]]
|lv=[[aksioma]]
|lez=[[аксиома#|аксиома]]
|li=<!-- Лимбургский -->
|ln=<!-- Лингала-->
|lt=[[aksioma]]
|lmo=<!--Ломбардский -->
|lb=<!-- Люксембургский -->
|mk=[[аксиом]] {{m}}, [[аксиома#|аксиома]] {{f}}
|mg=<!-- Малагасийский-->
|ms=[[aksioma]]
|ml=<!-- Малаялам -->
|mt=<!-- Мальтийский -->
|mi=<!-- Маори -->
|chm=[[аксиома#|аксиома]], [[аксиомо]]
|mdf=
|mo=<!-- Молдавский-->
|mn=[[аксиом]]
|gv=
|nv=<!-- Навахо-->
|gld=<!--Нанайский-->
|nah=
|na=<!-- Науру -->
|nio=<!--Нганасанский-->
|agh=<!--Нгелима-->
|nap=<!--Неаполитано-калабрийский-->
|new=<!--Неварский-->
|de=[[Axiom]] {{n}} -s, -e
|yrk=<!--Ненецкий -->
|nl=[[axioma]]
|dsb=<!--Нижнелужицкий-->
|no=[[aksiom]]
|oc=[[axiòma]] {{m}}
|os=[[аксиомӕ]]
|pi=<!-- Пали -->
|pa=<!-- Панджаби -->
|pap=<!--Папьяменту-->
|fa=<!-- Персидский-->
|pl=[[aksjomat]]
|pt=[[axioma]]
|ps=<!-- Пушту -->
|pms=<!--Пьемонтский -->
|rap=<!--Рапануйский -->
|rm=<!-- Ретороманский-->
|ro=[[axiomă]]
|rue=[[аксіома]] {{f}}
|sjd=<!--Саамский (кильдинский)-->
|sa=<!-- Санскрит -->
|sc=<!-- Сардинский-->
|ceb=<!-- Себуано-->
|se=<!-- Северносаамский-->
|frr=[[aksiom]]  
|sr=[[аксиома#|аксиома]]
|sr-l=[[aksioma]]
|si=<!-- Сингальский -->
|sd=<!-- Синдхи-->
|scn=[[assioma]]  
|sk=[[axióma]]
|sl=[[aksiom]]
|slovio-c=<!-- Словио (кир.)-->
|slovio-l=<!-- Словио (лат.)-->
|so=<!-- Сомалийский -->
|sw=<!-- Суахили-->
|su=[[aksioma]]  
|tab=<!--Табасаранский-->
|tl=<!-- Тагальский-->
|tg=[[аксиома#|аксиома]]
|ty=<!-- Таитянский-->
|th=[[สัจพจน์]]
|ta=<!-- Тамильский-->
|tt=[[аксиома#|аксиома]]
|tt.lat=<!--Татарский (лат.)-->
|ttt=<!--Татский-->
|te=<!-- Телугу-->
|bo=<!-- Тибетский-->
|tir=<!--Тигринья -->
|art=
|tpi=<!--Ток-писин-->
|kim=
|tn=<!-- Тсвана-->
|tyv=<!--Тувинский-->
|tr=[[belit]]; [[aksiyom]]
|tk=
|udm=<!--Удмуртский-->
|uz=[[aksioma]]  
|ug=<!-- Уйгурский-->
|uk=[[аксіома]] {{f}}
|ur=<!-- Урду-->
|fo=
|fi=[[aksiooma]], [[aksiomi]]
|fr=[[axiome]]
|fy=<!-- Фризский -->
|fur=<!--Фриульский-->
|kjh=<!--Хакасский-->
|ha=<!-- Хауса -->
|hi=<!-- Хинди -->
|hr=[[aksiom]]
|chu.cyr=<!--Церковнославянский (кир.)-->
|chu.glag=<!-- Церковнославянский (глаг.)-->
|rom=<!--Цыганский-->
|ce=<!-- Чеченский-->
|cs=[[axiom]]
|cv=[[аксиома#|аксиома]]
|ckt=<!-- Чукотский-->
|sv=[[axiom]]
|cjs=<!--Шорский-->
|sco=<!--Шотландский -->
|ewe=<!--Эве-->
|evn=<!--Эвенкийский-->
|myv=<!--Эрзянский-->
|eo=[[aksiomo]]
|et=[[aksioom]]
|jv=<!-- Яванский -->
|sah=[[аксиома#|аксиома]]
|ja=[[公理]] ([[こうり]], kōri)
}}


<!-- Служебное: -->
== Примечания ==
{{improve|ru|пример|семантика}}
{{примечания}}
{{Категория|язык=ru|||}}
{{длина слова|7|ru}}


= {{-ba-}} =
== Литература ==
* {{ВТ-ЭСГ|Постулат}}
* {{ВТ-МЭСБЕ|Постулат}}
* {{ВТ-НЭС|Относительность (принцип)}}
* {{ВТ-БСЭ1|Клаузиуса постулат}}
* ''Гильберт Д.'' Основания геометрии. {{М}}-{{Л}}, 1948
* Начала Евклида. Книги I—VI. М.-Л., 1950


=== Морфологические и синтаксические свойства ===
== Ссылки ==
{{сущ ba |слоги={{по-слогам|аксиома}}|основа=|основа1=}}
{{Внешние ссылки}}


{{морфо|прист1=|корень1=|суфф1=|оконч=}}
[[Категория:Основания математики]]
 
=== Произношение ===
{{transcriptions|||}}
 
=== Семантические свойства ===
{{илл|lang=ba|}}
==== Значение ====
# {{матем.|ba}} [[аксиома#Русский|аксиома]] {{пример||перевод=|автор=|титул=|дата=|перев=|дата издания=|источник=}}
#
 
==== Синонимы ====
#
#
 
==== Антонимы ====
#
#
 
==== Гиперонимы ====
#
#
 
==== Гипонимы ====
#
#
 
=== Родственные слова ===
{{родств-блок
|умласк=
|имена-собственные=
|существительные=
|прилагательные=
|числительные=
|глаголы=
|наречия=
|полн=
}}
 
=== Этимология ===
Из {{этимология:|ba}}
 
=== Фразеологизмы и устойчивые сочетания ===
*
 
=== Библиография ===
*
 
{{unfinished|ba|p=1|m=1|e=1}}
 
{{Категория|язык=ba|Аксиомы||}}
{{длина слова|7|lang=ba}}
 
 
= {{-bg-}} =
 
=== Морфологические и синтаксические свойства ===
{{сущ bg f 41|слоги={{по-слогам|ак|си|о́|ма}}|аксиом|}}
 
{{морфо||аксиом||а}}
 
=== Произношение ===
{{transcription||}}
 
=== Семантические свойства ===
 
==== Значение ====
# {{as ru}} {{пример||перевод=}}
#
 
==== Синонимы ====
#
#
 
==== Антонимы ====
#
#
 
==== Гиперонимы ====
#
#
 
==== Гипонимы ====
#
#
 
=== Родственные слова ===
{{родств-блок
|умласк=
|имена-собственные=
|существительные=
|прилагательные=
|глаголы=
|наречия=
}}
 
=== Этимология ===
Происходит от {{этимология:аксиома|bg}}
 
=== Фразеологизмы и устойчивые сочетания ===
*
 
<!-- Служебное: -->
{{improve|bg|транскрипция/мн|пример|синонимы|гиперонимы}}
{{Категория|язык=bg|Аксиомы|}}
{{длина слова|7|bg}}
 
= {{-kk-}} =
 
=== Морфологические и синтаксические свойства ===
{{сущ kk |слоги={{по-слогам|аксиома}}|основа=|основа1=}}
 
{{морфо|прист1=|корень1=|суфф1=|оконч=}}
 
=== Произношение ===
{{transcriptions|||}}
 
=== Семантические свойства ===
{{илл|lang=kk|}}
==== Значение ====
# {{матем.|kk}} [[аксиома#Русский|аксиома]] {{пример||перевод=|автор=|титул=|дата=|перев=|дата издания=|источник=}}
#
 
==== Синонимы ====
#
#
 
==== Антонимы ====
#
#
 
==== Гиперонимы ====
#
#
 
==== Гипонимы ====
#
#
 
=== Родственные слова ===
{{родств-блок
|умласк=
|имена-собственные=
|существительные=
|прилагательные=
|числительные=
|глаголы=
|наречия=
|полн=
}}
 
=== Этимология ===
Из {{этимология:|kk}}
 
=== Фразеологизмы и устойчивые сочетания ===
*
 
=== Библиография ===
*
 
{{unfinished|kk|p=1|m=1|e=1}}
 
{{Категория|язык=kk|Аксиомы||}}
{{длина слова|7|lang=kk}}
 
 
= {{-ky-}} =
 
=== Морфологические и синтаксические свойства ===
{{сущ ky |слоги={{по-слогам|аксиома}}|основа=|основа1=}}
 
{{морфо|прист1=|корень1=|суфф1=|оконч=}}
 
=== Произношение ===
{{transcriptions|||}}
 
=== Семантические свойства ===
{{илл|lang=ky|}}
==== Значение ====
# {{матем.|ky}} [[аксиома#Русский|аксиома]] {{пример||перевод=|автор=|титул=|дата=|перев=|дата издания=|источник=}}
#
 
==== Синонимы ====
#
#
 
==== Антонимы ====
#
#
 
==== Гиперонимы ====
#
#
 
==== Гипонимы ====
#
#
 
=== Родственные слова ===
{{родств-блок
|умласк=
|имена-собственные=
|существительные=
|прилагательные=
|числительные=
|глаголы=
|наречия=
|полн=
}}
 
=== Этимология ===
Из {{этимология:|ky}}
 
=== Фразеологизмы и устойчивые сочетания ===
*
 
=== Библиография ===
*
 
{{unfinished|ky|p=1|m=1|e=1}}
 
{{Категория|язык=ky|Аксиомы||}}
{{длина слова|7|lang=ky}}
 
 
= {{-kom-}} =
 
=== Морфологические и синтаксические свойства ===
{{сущ kom |слоги={{по-слогам|аксиома}}|основа=|основа1=}}
 
{{морфо|прист1=|корень1=|суфф1=|оконч=}}
 
=== Произношение ===
{{transcriptions|||}}
 
=== Семантические свойства ===
{{илл|lang=kom|}}
==== Значение ====
# {{матем.|kom}} [[аксиома#Русский|аксиома]] {{пример||перевод=|автор=|титул=|дата=|перев=|дата издания=|источник=}}
#
 
==== Синонимы ====
#
#
 
==== Антонимы ====
#
#
 
==== Гиперонимы ====
#
#
 
==== Гипонимы ====
#
#
 
=== Родственные слова ===
{{родств-блок
|умласк=
|имена-собственные=
|существительные=
|прилагательные=
|числительные=
|глаголы=
|наречия=
|полн=
}}
 
=== Этимология ===
Из {{этимология:|kom}}
 
=== Фразеологизмы и устойчивые сочетания ===
*
 
=== Библиография ===
*
 
{{unfinished|kom|p=1|m=1|e=1}}
 
{{Категория|язык=kom|Аксиомы||}}
{{длина слова|7|lang=kom}}
 
 
= {{-lbe-}} =
 
=== Морфологические и синтаксические свойства ===
{{сущ lbe |слоги={{по-слогам|аксиома}}|основа=|основа1=}}
 
{{морфо|прист1=|корень1=|суфф1=|оконч=}}
 
=== Произношение ===
{{transcriptions|||}}
 
=== Семантические свойства ===
{{илл|lang=lbe|}}
==== Значение ====
# {{матем.|lbe}} [[аксиома#Русский|аксиома]] {{пример||перевод=|автор=|титул=|дата=|перев=|дата издания=|источник=}}
#
 
==== Синонимы ====
#
#
 
==== Антонимы ====
#
#
 
==== Гиперонимы ====
#
#
 
==== Гипонимы ====
#
#
 
=== Родственные слова ===
{{родств-блок
|умласк=
|имена-собственные=
|существительные=
|прилагательные=
|числительные=
|глаголы=
|наречия=
|полн=
}}
 
=== Этимология ===
Из {{этимология:|lbe}}
 
=== Фразеологизмы и устойчивые сочетания ===
*
 
=== Библиография ===
*
 
{{unfinished|lbe|p=1|m=1|e=1}}
 
{{Категория|язык=lbe|Аксиомы||}}
{{длина слова|7|lang=lbe}}
 
 
= {{-lez-}} =
 
=== Морфологические и синтаксические свойства ===
{{сущ lez |слоги={{по-слогам|аксиома}}|основа=|основа1=}}
 
{{морфо|прист1=|корень1=|суфф1=|оконч=}}
 
=== Произношение ===
{{transcriptions|||}}
 
=== Семантические свойства ===
{{илл|lang=lez|}}
==== Значение ====
# {{матем.|lez}} [[аксиома#Русский|аксиома]] {{пример||перевод=|автор=|титул=|дата=|перев=|дата издания=|источник=}}
#
 
==== Синонимы ====
#
#
 
==== Антонимы ====
#
#
 
==== Гиперонимы ====
#
#
 
==== Гипонимы ====
#
#
 
=== Родственные слова ===
{{родств-блок
|умласк=
|имена-собственные=
|существительные=
|прилагательные=
|числительные=
|глаголы=
|наречия=
|полн=
}}
 
=== Этимология ===
Из {{этимология:|lez}}
 
=== Фразеологизмы и устойчивые сочетания ===
*
 
=== Библиография ===
*
 
{{unfinished|lez|p=1|m=1|e=1}}
 
{{Категория|язык=lez|Аксиомы||}}
{{длина слова|7|lang=lez}}
 
 
= {{-mk-}} =
 
=== Морфологические и синтаксические свойства ===
{{сущ mk f|слоги={{по-слогам|ак|си|о́|ма}}|аксиом|}}
 
{{морфо||аксиом||а}}
 
=== Произношение ===
{{transcription||}}
 
=== Семантические свойства ===
 
==== Значение ====
# {{as ru}} {{пример||перевод=}}
#
 
==== Синонимы ====
# [[аксиом]]
#
 
==== Антонимы ====
#
#
 
==== Гиперонимы ====
#
#
 
==== Гипонимы ====
#
#
 
=== Родственные слова ===
{{родств-блок
|умласк=
|имена-собственные=
|существительные=
|прилагательные=
|глаголы=
|наречия=
}}
 
=== Этимология ===
Происходит от {{этимология:аксиома|mk}}
 
=== Фразеологизмы и устойчивые сочетания ===
*
 
<!-- Служебное: -->
{{improve|mk|транскрипция/мн|пример|гиперонимы}}
{{Категория|язык=mk|Аксиомы|}}
{{длина слова|7|mk}}
 
= {{-sr-}} =
 
=== Морфологические и синтаксические свойства ===
{{сущ sr f|слоги={{по-слогам|ак|си|о́|ма}}|аксиом|alt=aksioma}}
 
{{морфо||аксиом||а}}
 
=== Произношение ===
{{transcription||}}
 
=== Семантические свойства ===
 
==== Значение ====
# {{as ru}} {{пример||перевод=}}
#
 
==== Синонимы ====
#
#
 
==== Антонимы ====
#
#
 
==== Гиперонимы ====
#
#
 
==== Гипонимы ====
#
#
 
=== Родственные слова ===
{{родств-блок
|умласк=
|имена-собственные=
|существительные=
|прилагательные=
|глаголы=
|наречия=
}}
 
=== Этимология ===
Происходит от {{этимология:аксиома|sr}}
 
=== Фразеологизмы и устойчивые сочетания ===
*
 
<!-- Служебное: -->
{{improve|sr|транскрипция/мн|пример|синонимы|гиперонимы}}
{{Категория|язык=sr|Аксиомы|}}
{{длина слова|7|sr}}
 
= {{-tg-}} =
 
=== Морфологические и синтаксические свойства ===
{{сущ tg |слоги={{по-слогам|аксиома}}|основа=|основа1=}}
 
{{морфо|прист1=|корень1=|суфф1=|оконч=}}
 
=== Произношение ===
{{transcriptions|||}}
 
=== Семантические свойства ===
{{илл|lang=tg|}}
==== Значение ====
# {{матем.|tg}} [[аксиома#Русский|аксиома]] {{пример||перевод=|автор=|титул=|дата=|перев=|дата издания=|источник=}}
#
 
==== Синонимы ====
#
#
 
==== Антонимы ====
#
#
 
==== Гиперонимы ====
#
#
 
==== Гипонимы ====
#
#
 
=== Родственные слова ===
{{родств-блок
|умласк=
|имена-собственные=
|существительные=
|прилагательные=
|числительные=
|глаголы=
|наречия=
|полн=
}}
 
=== Этимология ===
Из {{этимология:|tg}}
 
=== Фразеологизмы и устойчивые сочетания ===
*
 
=== Библиография ===
*
 
{{unfinished|tg|p=1|m=1|e=1}}
 
{{Категория|язык=tg|Аксиомы||}}
{{длина слова|7|lang=tg}}
 
 
= {{-tt-}} =
 
=== Морфологические и синтаксические свойства ===
{{сущ tt |слоги={{по-слогам|аксиома}}|основа=|основа1=}}
 
{{морфо|прист1=|корень1=|суфф1=|оконч=}}
 
=== Произношение ===
{{transcriptions|||}}
 
=== Семантические свойства ===
{{илл|lang=tt|}}
==== Значение ====
# {{матем.|tt}} [[аксиома#Русский|аксиома]] {{пример||перевод=|автор=|титул=|дата=|перев=|дата издания=|источник=}}
#
 
==== Синонимы ====
#
#
 
==== Антонимы ====
#
#
 
==== Гиперонимы ====
#
#
 
==== Гипонимы ====
#
#
 
=== Родственные слова ===
{{родств-блок
|умласк=
|имена-собственные=
|существительные=
|прилагательные=
|числительные=
|глаголы=
|наречия=
|полн=
}}
 
=== Этимология ===
Из {{этимология:|tt}}
 
=== Фразеологизмы и устойчивые сочетания ===
*
 
=== Библиография ===
*
 
{{unfinished|tt|p=1|m=1|e=1}}
 
{{Категория|язык=tt|Аксиомы||}}
{{длина слова|7|lang=tt}}
 
 
= {{-cv-}} =
 
=== Морфологические и синтаксические свойства ===
{{сущ cv |слоги={{по-слогам|аксиома}}|основа=|основа1=}}
 
{{морфо|прист1=|корень1=|суфф1=|оконч=}}
 
=== Произношение ===
{{transcriptions|||}}
 
=== Семантические свойства ===
{{илл|lang=cv|}}
==== Значение ====
# {{матем.|cv}} [[аксиома#Русский|аксиома]] {{пример||перевод=|автор=|титул=|дата=|перев=|дата издания=|источник=}}
#
 
==== Синонимы ====
#
#
 
==== Антонимы ====
#
#
 
==== Гиперонимы ====
#
#
 
==== Гипонимы ====
#
#
 
=== Родственные слова ===
{{родств-блок
|умласк=
|имена-собственные=
|существительные=
|прилагательные=
|числительные=
|глаголы=
|наречия=
|полн=
}}
 
=== Этимология ===
Из {{этимология:|cv}}
 
=== Фразеологизмы и устойчивые сочетания ===
*
 
=== Библиография ===
*
 
{{unfinished|cv|p=1|m=1|e=1}}
 
{{Категория|язык=cv|Аксиомы||}}
{{длина слова|7|lang=cv}}
 
 
= {{-sah-}} =
 
=== Морфологические и синтаксические свойства ===
{{сущ sah |слоги={{по-слогам|аксиома}}|основа=|основа1=}}
 
{{морфо|прист1=|корень1=|суфф1=|оконч=}}
 
=== Произношение ===
{{transcriptions|||}}
 
=== Семантические свойства ===
{{илл|lang=sah|}}
==== Значение ====
# {{матем.|sah}} [[аксиома#Русский|аксиома]] {{пример||перевод=|автор=|титул=|дата=|перев=|дата издания=|источник=}}
#
 
==== Синонимы ====
#
#
 
==== Антонимы ====
#
#
 
==== Гиперонимы ====
#
#
 
==== Гипонимы ====
#
#
 
=== Родственные слова ===
{{родств-блок
|умласк=
|имена-собственные=
|существительные=
|прилагательные=
|числительные=
|глаголы=
|наречия=
|полн=
}}
 
=== Этимология ===
Из {{этимология:|sah}}
 
=== Фразеологизмы и устойчивые сочетания ===
*
 
=== Библиография ===
*
 
{{unfinished|sah|p=1|m=1|e=1}}
 
{{Категория|язык=sah|Аксиомы||}}
{{длина слова|7|lang=sah}}
 
 
{{multilang|}}

Текущая версия от 23:44, 16 января 2026

Аксио́ма (Шаблон:Lang-grc «утверждение, положение», от άξιοω — считаю достойным, настаиваю, требую), или постула́т<ref>Шаблон:ВТ-ЭСГ</ref><ref>Шаблон:ВТ-МЭСБЕ</ref> (от Шаблон:Lang-lat — букв. требуемое<ref>Словарь иностранных слов. — Шаблон:М: «Русский язык», 1989. — 624 с. ISBN 5-200-00408-8</ref>) — исходное положение какой-либо теории, принимаемое в рамках данной теории истинным без требования доказательства и используемое при доказательстве других её положений, которые, в свою очередь, называются теоремами<ref name="fil">Шаблон:Книга</ref>.

Назначение

Шаблон:Нет сносок Необходимость в принятии аксиом без доказательств следует из индуктивного соображения: любое доказательство вынуждено опираться на какие-либо утверждения, и, если для каждого из них требовать своих доказательств, цепочка получится бесконечной. Чтобы не уходить в бесконечность, нужно где-то эту цепочку разорвать — то есть какие-то утверждения принять без доказательств, как исходные. Именно такие, принятые в качестве исходных, утверждения и называются аксиомами<ref name="kline">Клайн Морис. «Математика. Утрата определённости.» — М.: Мир, 1984.</ref>.

В современной науке вопрос об истинности аксиом, лежащих в основе какой-либо теории, решается либо в рамках других научных теорий, либо посредством интерпретации данной теории<ref name=autogenerated1>Философский энциклопедический словарь. — М.: Советская энциклопедия. Гл. редакция: Л. Ф. Ильичёв, П. Н. Федосеев, С. М. Ковалёв, В. Г. Панов. 1983.</ref>.

Аксиоматиза́ция (или — формализация) теории — явное указание конечного или счётного, рекурсивно перечислимого (как, например, в аксиоматике Пеано) набора аксиом и правил вывода. После того как даны названия изучаемым объектам и их основным отношениям, а также аксиомы, которым эти отношения должны подчиняться, всё дальнейшее изложение должно основываться исключительно на этих аксиомах и не опираться на обычное конкретное значение этих объектов и их отношений.

Выбор аксиом, которые составляют основу конкретной теории, не является единственным. Примеры различных, но равносильных наборов аксиом можно встретить в математической логике и евклидовой геометрии.

Набор аксиом называется непротиворечивым, если исходя из аксиом данного набора, пользуясь правилами логики, нельзя прийти к противоречию, то есть доказать одновременно и некое утверждение, и его отрицание.

Австрийский математик Курт Гёдель доказал «теоремы о неполноте», согласно которым всякая система математических аксиом (формальная система), в которой можно определить натуральные числа, сложение и умножение, неполна. Это значит, что найдётся бесконечное количество математических утверждений (функций, выражений), ни истинность, ни ложность которых не сможет быть доказана на основании данной системы аксиом. Также, по теореме о неполноте, среди этих невыводимых утверждений будет утверждение о непротиворечивости этой системы.

История

Шаблон:Нет сносок Впервые термин «аксиома» встречается у Аристотеля (384—322 до н. э.) и переходит в математику от философов Древней Греции. Евклид различает понятия «постулат» и «аксиома», не объясняя их различия. Со времён Боэция постулаты переводят как требования (petitio), аксиомы — как общие понятия. Первоначально слово «аксиома» имело значение «истина, очевидная сама по себе». В разных манускриптах «Начал» Евклида разбиение утверждений на аксиомы и постулаты различно, не совпадает их порядок. Вероятно, переписчики придерживались разных воззрений на различие этих понятий.

Отношение к аксиомам как к неким неизменным самоочевидным истинам сохранялось долгое время. Например, в словаре Даля аксиома — это «очевидность, ясная по себе и бесспорная истина, не требующая доказательств».

Толчком к изменению восприятия аксиом послужили работы русского математика Николая Лобачевского о неевклидовой геометрии, впервые опубликованные в конце 1820-х годов. Ещё будучи студентом, он пытался доказать пятый постулат Евклида, но позднее отказался от этого. Лобачевский сделал вывод о том, что пятый постулат является лишь произвольным ограничением, которое можно заменить другим ограничением. Если бы пятый постулат Евклида был доказуем, то Лобачевский столкнулся бы с противоречиями. Однако, хотя новая версия пятого постулата и не была наглядно-очевидной, она полностью выполняла роль аксиомы, позволяя построить новую непротиворечивую систему геометрии.

Сначала идеи Лобачевского не были признаны (например, о них отрицательно отзывался академик Остроградский). Позднее, когда Лобачевский опубликовал работы на других языках, он был замечен Гауссом, который тоже имел некоторые наработки в области неевклидовой геометрии. Он косвенно высказал восхищение этой работой. Настоящее признание геометрия Лобачевского получила лишь через 10 — 12 лет после смерти автора, когда была доказана её непротиворечивость в случае непротиворечивости геометрии Евклида. Это привело к революции в математическом мире. Гильберт развернул масштабный проект по аксиоматизации всей математики для доказательства её непротиворечивости. Его планам не суждено было сбыться из-за последовавших теорем Гёделя о неполноте. Однако это послужило толчком к формализации математики. Например, появились аксиомы натуральных чисел и их арифметики, работы Кантора по созданию теории множеств. Это позволило математикам создавать строго истинные доказательства для теорем.

Сейчас аксиомы обосновываются не сами по себе, а в качестве необходимых базовых элементов теории — аксиомы могут быть достаточно произвольными, они не обязаны быть очевидными. Единственным неизменным требованием к аксиоматическим системам является их внутренняя непротиворечивость. Критерии формирования набора аксиом в рамках конкретной теории часто являются прагматическими: краткость формулировки, удобство манипулирования, минимизация числа исходных понятий и тому подобное. Такой подход не гарантирует истинность принятых аксиом<ref name="fil" />. В соответствии с критерием Поппера, единственный отрицательный пример опровергает теорию и, как следствие, доказывает ложность системы аксиом, при этом множество подтверждающих примеров лишь увеличивает вероятность истинности системы аксиом.

Примеры

Примеры аксиом

Шаблон:Кол

  1. Аксиома выбора
  2. Аксиома параллельности Евклида
  3. Аксиома Архимеда
  4. Аксиома объёмности
  5. Аксиома регулярности
  6. Аксиома полной индукции
  7. Аксиома Колмогорова
  8. Аксиома множества подмножеств

Шаблон:Конец кол

Примеры систем аксиом

Шаблон:Кол

  1. Аксиоматика теории множеств
  2. Аксиоматика вещественных чисел
  3. Аксиоматика Евклида
  4. Аксиоматика Гильберта
  5. Аксиоматика Тарского

Шаблон:Конец кол

См. также

Шаблон:НавигацияШаблон:Родственный проект{{#if:||}}{{#if: постулат || {{#ifeq: Аксиома | аксиома | | }} }} Шаблон:Кол

Шаблон:Конец кол

Примечания

Шаблон:Примечания

Литература

Ссылки

Шаблон:Внешние ссылки

Источник — https://camokathomelab.servebeer.com/mediawiki/index.php?title=Аксиома&oldid=5436