Диаметр

Диа́метр (фр. diamètre из лат. diametrus из Шаблон:Lang-grc — поперечник<ref>Шаблон:Фасмер</ref>) — отрезок, соединяющий две точки на окружности и проходящий через центр окружности, а также длина этого отрезка. Диаметр равен двум радиусам.

Обобщённо диаметром фигуры (множества) называется максимальное расстояние между точками этой фигуры (множества), или точная верхняя грань всевозможных расстояний, если максимальное не существует.

Диаметр геометрических фигур

Файл:Radius and diameter.png

Радиус (r) и диаметр (d) окружности

Диаметр — это хорда (отрезок, соединяющий две точки) на окружности (сфере, поверхности шара), проходящая через центр этой окружности (сферы). Также диаметром называют длину этого отрезка. Диаметр окружности является хордой, проходящей через её центр; такая хорда имеет наибольшую длину. По величине диаметр равен двум радиусам.

Символ диаметра

Файл:Technical Drawing Hole 01.svg

Символ ⌀ на чертеже

В инженерной графике и технических спецификациях диаметр принято обозначать символом Boundy diameter symbol.png<ref> Шаблон:Книга — С. 90.</ref>. Символ диаметра представлен в Юникоде (Шаблон:Unichar)<ref>Шаблон:Cite web</ref> и, хотя он отсутствует в стандартных раскладках клавиатуры, может быть введён с клавиатуры:

• в HTML как ⌀ или ⌀
• в LaTeX для его отображения предназначена команда \diameter из пакета wasysym
• в Microsoft Word символ можно получить, введя Шаблон:Key press и нажав Шаблон:Key press
• в Windows с помощью Alt-кода Шаблон:Key press+Шаблон:Key press (в английской раскладке)
• в системах, использующих X Window System (Unix/Linux/ChromeOS и др.), с помощью комбинации Шаблон:Keypress Шаблон:Key pressШаблон:Key press или с использованием клавиши Compose, нажав поочерёдно Шаблон:Key pressШаблон:Key pressШаблон:Key press<ref>Шаблон:Cite web</ref>.

Также, символ можно найти и скопировать в приложениях и инструментах типа «таблица символов», например:

• в Windows — Шаблон:Нп5
• в программах из пакета Microsoft Office — меню «Вставка» → «Символ…»
• в macOS — Character Palette/Viewer (вызывается комбинацией Шаблон:Key press)
• в GNOME — Таблица символов GNOME (ранее — gucharmap).

Во многих случаях символ диаметра может не отображаться, так как его редко включают в шрифты (он присутствует, например, в Arial Unicode MS (поставляется с Microsoft Office, при установке именуется «Универсальный шрифт»), DejaVu (свободный), Code2000 (условно-бесплатный) и некоторых других), в связи с чем вместо него часто используются другие символы со схожим начертанием. К примеру, в САПР AutoCAD вместо символа диаметра используется символ пустого множества (Шаблон:Unichar), вводящийся сочетанием %%c (буква c — латинская) или \U+2205 в текстовой строке. Взаимозаменяемость этих символов отражена и в стандартах консорциума W3C<ref>Шаблон:Cite web</ref>. Также, для замены часто используется буква Ø датско-норвежского алфавита.

Сопряжённые диаметры эллипса и гиперболы

Сопряжённые диаметры эллипса

Файл:Conjugate Diameters.svg

Пара сопряжённых диаметров эллипса. Если в точках касания диаметра с эллипсом провести прямую, параллельную сопряжённому диаметру, то прямая будет касательной к эллипсу и четыре таких касательных ко всем четырём концам пары сопряжённых диаметров эллипса образуют описанный около эллипса параллелограмм

• Диаметром эллипса называют произвольную хорду, проходящую через его центр. Сопряжёнными диаметрами эллипса называют пару его диаметров, обладающих следующим свойством: середины хорд, параллельных первому диаметру, лежат на втором диаметре. В этом случае и середины хорд, параллельных второму диаметру, лежат на первом диаметре.

На рисунке представлена пара сопряжённых диаметров (красный и синий). Если в точках пересечения диаметра с эллипсом провести прямую, параллельную сопряжённому диаметру, то прямая будет касательной к эллипсу, и четыре таких касательных ко всем четырём концам пары сопряжённых диаметров эллипса образуют описанный около эллипса параллелограмм (зелёные линии на рисунке).

• Расстояния <math>r_1</math> и <math>r_2</math> от каждого из фокусов до данной точки на эллипсе называются фокальными радиусами в этой точке.
• Радиус эллипса в данной точке (расстояние от его центра до данной точки) вычисляется по формуле <math>r=\frac{ab}{\sqrt{b^2 \cos^2\varphi + a^2 \sin^2\varphi}} = \frac{b}{\sqrt{1 - e^2 \cos^2\varphi}}</math>, где <math>\varphi</math> — угол между радиус-вектором данной точки и осью абсцисс.

Сопряжённые диаметры гиперболы

Файл:Hyperb.png

Диаметры гиперболы

• Диаметром гиперболы, как и всякого конического сечения, является прямая, проходящая через середины параллельных хорд. Каждому направлению параллельных хорд соответствует свой сопряжённый диаметр. Все диаметры гиперболы проходят через её центр. Диаметр, соответствующий хордам, параллельным мнимой оси, есть действительная ось; диаметр соответствующий хордам, параллельным действительной оси, есть мнимая ось.
• Угловой коэффициент <math>k</math> параллельных хорд и угловой коэффициент <math>k_1</math> соответствующего диаметра связан соотношением

<math>k \cdot k_1 = \varepsilon^2 - 1 = \frac{b^2}{a^2}</math>

Файл:Orthogonality and rotation.svg

Для произвольного угла φ показаны диаметры и сопряжённые им диаметры для окружностей и равнобочных гипербол.

• Если диаметр гипербол a делит пополам хорды, параллельные диаметру b, то диаметр b делит пополам хорды, параллельные диаметру a. Такие диаметры называются взаимно сопряжёнными.
• Главными диаметрами гипербол называются взаимно сопряжённые и взаимно перпендикулярные диаметры. У гиперболы есть только одна пара главных диаметров — действительная и мнимая оси.
• В случае гипербол с асимптотами, образующими прямой угол, её сопряжённые гиперболы получатся при её зеркальном отражении относительно одной из асимптот. При таком зеркальном отражении её диаметр перейдет в сопряжённый диаметр, который будет просто диаметром сопряжённой гиперболы (см. рис.). Также. как наблюдается перпендикулярность сопряжённых диаметров на окружности (на рис. слева), аналогичная ортогональность наблюдается для сопряжённых диаметров гиперболы со взаимно перпендикулярными асимптотами (на рис. справа).

Диаметр кубики

Диаметр кубики — прямая, на которой лежат середины хорд кубики, параллельных одной из её асимптотШаблон:Sfn.

Кубика может иметь один диаметр, три диаметра или не иметь ни одногоШаблон:Sfn. В последнем случае середины хорд кубики, параллельных одной из её асимптот, лежат на гиперболеШаблон:Sfn.

• Кубики с диаметрами и без
• Кубика без диаметров
  Кубика без диаметров
• Кубика c одним диаметром
  Кубика c одним диаметром
• Кубика c тремя диаметрами
  Кубика c тремя диаметрами

Вариации и обобщения

Понятие диаметра допускает естественные обобщения на некоторые другие геометрические и математические объекты. Если во множестве некоторых объектов определена метрика пространства, то для подмножества этих объектов может быть введено понятие диаметра множества.

Диаметром множества <math>M</math>, лежащего в метрическом пространстве с метрикой <math>\rho</math>, называется величина <math>(\sup_{x,y \in M}\rho(x, y))</math>.

Под диаметром метрического пространства понимается точная верхняя грань расстояний между парой любых его точек.

• В частности:
  • Под диаметром конического сечения понимается прямая проходящая через середины двух параллельных хорд.
  • Диаметр графа — это максимальное из расстояний между парами его вершин. Расстояние между вершинами определяется как наименьшее число рёбер, которые необходимо пройти, чтобы добраться из одной вершины в другую. Иначе говоря, это расстояние измеренное в количестве рёбер между двумя вершинами графа, максимально удалёнными друг от друга.
  • Максимальное расстояние Хэмминга между двумя словами равной в символах длины <math>n</math> равно <math>n</math>, другими словами диаметр множества слов в метрике Хэмминга равен <math>n</math>.
  • Диаметр геометрической фигуры — максимальное расстояние между точками этой фигуры.

Например, диаметр n-размерного гиперкуба со стороной s равен

<math> d = s\cdot \sqrt{n}</math>.

Некоторые окружности, построенные в треугольнике на одном отрезке, как на диаметре

• Окружность Фурмана построена на одном отрезке, как на диаметре
• Окружность Брокара построена на одном отрезке, как на диаметре

См. также

Шаблон:Родственный проект{{#if:||}}{{#if: диаметр || {{#ifeq: Диаметр | диаметр | | }} }}

• Радиус
• Пи
• При делении фигур на части меньшего диаметра возникла гипотеза Борсука, опровергнутая в 1993 году
• Изодиаметрическое неравенство
• Угловой диаметр астрономических объектов.
• Диаметр циркуляции
• Гидравлический диаметр

Литература

• Шаблон:ВТ-ЭСБЕ
• Шаблон:H