Просмотр кода страницы Полуплоскость

{{Обзорная статья|Области комплексной плоскости}}
[[Файл:Upper half-plane 2.svg|thumb|200px|Верхняя полуплоскость]]

'''Полупло́скость''' — [[множество]] всех [[Точка (геометрия)|точек]] [[Плоскость|плоскости]], которые находятся '''''по одну сторону''''' от некоторой [[Прямая|прямой]] на этой плоскости<ref name=БСЭ/><ref name=МЭ/><ref name=МЭС/><ref name=Курант254-5/><ref name=Рохлин13-4/><ref name=Киселёв172/>, то есть по ту же сторону, что и некоторая заданная точка вне прямой<ref name=Рохлин13-4/>. Эта прямая '''''определяет полуплоскость'''''<ref name=Курант254-5/><ref name=Гусятников7/> и является её [[Граница (топология)|границей]]<ref name=Рохлин13-4/><ref name=БСЭ/><ref name=МЭ/><ref name=МЭС/>, а '''''полуплоскость исходит''''' из своей границы<ref name=Киселёв182/>, или просто '''''полуплоскость от границы'''''<ref name=Понарин91/>.

В некоторых источниках граница полуплоскости ей принадлежит, то есть полуплоскость замкнута<ref name=Рохлин13-4/><ref name=Gray164/><ref name=Гусев388/>. В некоторых школьных материалах открытость или замкнутость полуплоскости может быть несущественной<ref name=Киселёв/>.

'''''Замкнутая полуплоскость''''' — полуплоскость со своей границей<ref name=БСЭ/><ref name=МЭ/><ref name=МЭС/>.

Полуплоскость есть [[Выпуклая область|выпуклая]] [[неограниченная область]] как одновременно [[открытое множество]]<ref name=Рохлин16/> и неограниченное [[выпуклое множество]]<ref name=Болтянский182/>.

Другое название замкнутой полуплоскости — [[Выпуклый односторонник|односторонник]], это простейший плоский [[выпуклый многосторонник]]<ref name=Болтянский209/>.

Для двумерной [[Геометрия Лобачевского|гиперболической геометрии]] (геометрии Лобачевского) построена [[Модель Пуанкаре в верхней полуплоскости|модель Пуанкаре]] с '''''[[Метрика Пуанкаре|метрикой Пуанкаре]] верхней полуплоскости'''''<ref name=Gray876/>.

Полуплоскость, обобщение [[Луч (геометрия)|полупрямой]] и частный случай [[Полупространство|полупространства]], обладает по сравнение с ними следующей особенностью: полуплоскость может быть комплексной<ref name=БСЭ/><ref name=МЭ/><ref name=МЭС/>.

На комплексной плоскости верхняя полуплоскость имеет следующее важное свойство. Для любой точки границы [[Единичный круг|единичного круга]] найдётся такое аналитическое отображение круга на верхнюю полуплоскость, что все преобразования с неподвижной этой точкой переходят в [[Линейное преобразование|линейные преобразования]] верхней полуплоскости<ref name=Пятецкий-Шапиро9/>.

Полуплоскость также есть частный случай [[Трубчатая область|трубчатой области]]<ref name=Шабат19/>.

== Определение полуплоскости ==
[[Файл:Demi-plans 2.svg|thumb|300px|Точки <math>A</math> и <math>M</math> лежат в одной полуплоскости, точки <math>A</math> и <math>B</math> — в разных полуплоскостях с общей границей <math>L</math>]]

'''Полуплоскость''' <math>H</math> — [[множество]] всех [[Точка (геометрия)|точек]] <math>M</math> [[Плоскость|плоскости]], которые находятся по ту же сторону от некоторой прямой <math>L</math> на этой плоскости, что и некоторая заданная точка <math>A</math> вне прямой, то есть '''полуплоскость''' <math>H</math> — это точка <math>A</math> и множество всех точек <math>M</math> таких, что [[отрезок]] <math>AM</math> не имеет общих точек с прямой <math>L</math><ref name=Розенфельд36/>. Прямая <math>L</math> '''''определяет''''' полуплоскость <math>H</math><ref name=Курант254-5/><ref name=Гусятников7/> и является её [[Граница (топология)|границей]]<ref name=Рохлин13-4/><ref name=БСЭ/><ref name=МЭ/><ref name=МЭС/>.

'''''Замкнутая полуплоскость''''' <math>\bar H</math> — полуплоскость со своей границей <math>\partial H</math>, <math>\bar H = H \cup \partial H</math><ref name=БСЭ/><ref name=МЭ/><ref name=МЭС/>.

'''Теорема 1.''' ''Две точки <math>A \notin L</math> и <math>M \notin L</math> на одной плоскости лежат в одной и той же полуплоскости, которая определяется прямой <math>L</math>, тогда и только тогда, когда <math>L</math> не пересекается с отрезком <math>AM</math><ref name=Гусятников7/>.''

'''Теорема 2.''' ''Произвольная прямая <math>L</math> на плоскости <math>P</math> делит эту плоскость на две полуплоскости <math>H_1</math> и <math>H_2</math><ref name=Гусятников7/><ref name=Розенфельд36/><ref name=Gray164/>. Более формально: на плоскости <math>P</math> вне прямой <math>L \subset P</math> существуют точки <math>A</math> и <math>B,</math> <math>A,\, B \notin L</math>, такие, что разные полуплоскости <math>H_1 \subset P</math> и <math>H_2 \subset P</math>, которым принадлежат эти точки, <math>A \in H_1</math>, <math>B \in H_2</math>, заполняют с прямой <math>L</math> всю плоскость и имеют своими границами <math>L</math>, то есть <math>H_1 \cup H_2 \cup L= P</math> и <math>\partial H_1 = \partial H_2 = L</math><ref name=Розенфельд36/><ref name=Gray164/>.''

=== Декартовы координаты ===
В общем двумерном случае на плоскости <math>\R^2</math> с [[Декартовы координаты|декартовыми координатами]] <math>(x,\, y)</math> координаты точек полуплоскости отвечают следующему [[Неравенство|неравенству]], использующим [[Прямая#Общее уравнение прямой|общее уравнение прямой]]
: <math>L(x,\, y) = Ax + By + C > 0</math>,
где <math>A,\, B,\, C</math> — постоянные, причём <math>A</math> и <math>B</math> одновременно не равны нулю<ref name=Курант254-5/><ref name=БСЭ/><ref name=МЭ/><ref name=МЭС/>.

'''''Граница полуплоскости''''' — прямая, определяющая полуплоскость. В определении это прямая
: <math>L(x,\, y) = Ax + By + C = 0</math><ref name=БСЭ/><ref name=МЭ/><ref name=МЭС/>.

=== Комплексные координаты ===
На [[Комплексная плоскость|комплексной плоскости]] <math>\C</math> с [[Система координат|координатами]] <math>z = x + iy</math> обычно рассматриваются следующие частные случаи<ref name=БСЭ/><ref name=МЭ/><ref name=МЭС/>:
* [[верхняя полуплоскость]] <math>y = \operatorname{Im}z > 0</math>,
* '''''нижняя полуплоскость''''' <math>y = \operatorname{Im}z < 0</math>,
* '''''левая полуплоскость''''' <math>x = \operatorname{Re}z < 0</math>,
* '''''правая полуплоскость''''' <math>x = \operatorname{Re}z > 0</math>.

Все полуплоскости, граница которых проходит через начало координат, можно представить следующей формулой<ref name=Korevaar26/>:
: <math>t - \frac\pi2 < \operatorname{Arg}z < t + \frac\pi2</math>, <math>\,\,0 \leqslant t < 2\pi</math>.

=== Прямая и полуплоскость на комплексной плоскости ===
Рассмотрим на комплексной плоскости произвольную [[Прямая|прямую]] <math>L \subset \C</math>. Эта прямая определяется произвольной точкой <math>a \in L</math> и вектором направления прямой <math>b \in \C</math>, поэтому её уравнение будет следующим<ref name=Conway6/>:
: <math>L = \{z = a + tb\colon\, b \ne 0,\, -\infty < t < \infty,\, t \in \R\}.</math>

Так как <math>b \ne 0</math>, то уравнение прямой перепишем в следующем виде<ref name=Conway6-7/>:
: <math>L = \left\{z\colon\, \operatorname{Im}\frac{z - a}b = 0,\, b \ne 0\right\}.</math>

Так как <math>b \in \C</math> — направление прямой, положим <math>|b| = 1</math>. В этом случае пусть <math>a = 0</math> и рассмотрим полуплоскость
: <math>H_0 = \left\{z\colon\, \operatorname{Im}\frac z b > 0\right\}</math>,
где <math>b = e^{i\beta}</math>. Теперь при <math>z = re^{i\theta}</math> имеем <math>\frac z b = re^{i(\theta - \beta)}</math>. Таким образом, <math>z</math> принадлежит полуплоскости <math>H_0</math>, <math>z \in
 H_0</math>, тогда и только тогда, когда <math>\sin(\theta - \beta) > 0</math>, то есть когда <math>\beta < \theta < \pi + \beta</math>. Следовательно, полуплоскость <math>H_0</math> лежит слева от прямой <math>L</math>, если «идти по <math>L</math> в направлении <math>b</math>»<ref name=Conway7/>.

Таким образом, полуплоскость
: <math>H_a = \left\{z\colon\, \operatorname{Im}\frac{z - a}b > 0\right\}</math>
есть [[параллельный перенос]] полупроскости <math>H_0</math> на вектор <math>a</math>, <math>H_a = a + H_0 \equiv \{a + w\colon\, w \in H_0\}</math>. Следовательно, полуплоскость <math>H_a</math> лежит слева от прямой <math>L</math>.
Точно так же полуплоскость
: <math>K_a = \left\{z\colon\, \operatorname{Im}\frac{z - a}b < 0\right\}</math>
лежит справа от прямой <math>L</math><ref name=Conway7/>.

==== Пример. Определение касательной ====
Рассмотрим на комплексной плоскости произвольную [[окружность]] <math>C \subset \C</math>, <math>C = \{z \in \C\colon\, |z - c| = r,\, r > 0,\, r \in \R\}.</math> Возьмём на окружности <math>C</math> произвольную точку <math>a</math>, <math>a = c + re^{i\alpha}</math>, и проведём через неё следующую прямую<ref name=Conway7-8/>:
: <math>L_\beta = \left\{z\colon\, \operatorname{Im}\frac{z - a}b = 0,\, b = e^{i\beta}\right\}.</math>

Прямая <math>L_\beta</math> касается окружности <math>C</math> в точке <math>a</math> тогда и только тогда, когда окружность <math>C</math> полностью, кроме точки <math>a</math>, принадлежит одной из полуплоскостей с границей <math>L_\beta</math>, то есть когда для произвольной точки <math>z = c + re^{i\gamma}</math> окружности <math>C</math>, <math>\gamma \ne \alpha</math>,
: <math>\operatorname{Im}\frac{z - a}b > 0\,\,</math> или <math>\,\,\operatorname{Im}\frac{z - a}b < 0</math>,
то есть
: <math>\sin\frac{\gamma - \alpha}2 \cos\left(\frac{\gamma + \alpha}2 - \beta\right) \ne 0</math>,
поскольку верна следующая цепочка равенств<ref name=Conway8/>:
: <math>\frac{z - a}b = \frac{c + re^{i\gamma} - (c + re^{i\alpha})}{e^{i\beta}} =
\frac{e^{i\gamma} - e^{i\alpha}}{e^{i\beta}} =</math>
: <math>= \frac1{e^{i\beta}} (\cos\gamma + i\sin\gamma - (\cos\alpha + i\sin\alpha)) =</math>
: <math>= \frac1{e^{i\beta}} \left(-2\sin\frac{\gamma + \alpha}2 \sin\frac{\gamma - \alpha}2 + 2i\sin\frac{\gamma - \alpha}2 \cos\frac{\gamma + \alpha}2\right) =</math>
: <math>= \frac1{e^{i\beta}} \left(2i\sin\frac{\gamma - \alpha}2 \left(i\sin\frac{\gamma + \alpha}2 + \cos\frac{\gamma + \alpha}2\right)\right) =</math>
: <math>= \frac1{e^{i\beta}} \left(2i\sin\frac{\gamma - \alpha}2 e^{\frac{\gamma + \alpha}2}\right) = 2i\sin\frac{\gamma - \alpha}2 e^{\frac{\gamma + \alpha}2 - \beta} =</math>
: <math>= 2i\sin\frac{\gamma - \alpha}2 \left(\cos\left(\frac{\gamma + \alpha}2 - \beta\right) + i\sin\left(\frac{\gamma + \alpha}2 - \beta\right)\right)</math>.

Так как <math>\gamma \ne \alpha</math>, то решением неравенства будет [[совокупность неравенств]], состоящая из двух [[Система неравенств|систем неравенств]]:
:1) <math>\frac{\gamma - \alpha}2 \ne 0</math>, <math>\,\,\left(\frac{\gamma + \alpha}2 - \beta\right) \ne -\frac\pi2</math>,
:: <math>\frac{\gamma - \alpha}2 \ne 0</math>, <math>\,\,\left(\frac{\gamma - \alpha}2 + \alpha - \beta + \frac\pi2\right) \ne 0</math>,
:: <math>\gamma \ne \alpha</math>, <math>\,\,\alpha - \beta + \frac\pi2 = 0</math>;
:2) <math>\gamma \ne \alpha</math>, <math>\,\,\alpha - \beta - \frac\pi2 = 0</math>,
откуда окончательно получаем<ref name=Conway8/>:
: <math>\beta = \alpha \pm \frac\pi2</math>.

=== Отображения с полуплоскостью ===
{{Основная статья|Полоса (математика)}}

'''1. Единичный круг.''' На [[Комплексная плоскость|комплексной плоскости]] <math>\C(z)</math> [[единичный круг]] <math>|z| < 1</math> и верхняя полуплоскость <math>\operatorname{Im}z > 0</math> [[Дробно-линейный изоморфизм|дробно-линейно изоморфны]]<ref name=Домрин34/>, поскольку верхняя полуплоскость [[Конформное отображение|конформно отображается]] на единичный круг следующим [[Дробно-линейное преобразование комплексной плоскости|дробно-линейным отображением]]<ref name=БСЭ/><ref name=МЭ/><ref name=МЭС/>:
: <math>e^{i\theta}\frac{z - a}{z - \bar a},\, a \in \C,\, \theta \in \R,\, \operatorname{Im}a > 0.</math>

'''2. Полуполоса.''' На [[Комплексная плоскость|комплексной плоскости]] <math>\C</math> с координатами <math>z = x + iy</math> [[Однолистная функция|однолистное]] и [[конформное преобразование]] <math>w = \sin z</math> отображает полуполосу <math>-\frac\pi2 < x < \frac\pi2,\, y > 0</math> на [[Верхняя полуплоскость|верхнюю полуплоскость]]. На рисунке внизу показано соответствие линий при этом преобразовании, а именно<ref name=Шабат73—74/>:
* вертикальные [[Луч (геометрия)|лучи]] <math>\{x = x_0,\,0 < y < \infty\}</math> отображаются на верхнюю полуплоскость в части [[Гипербола (математика)|гипербол]] с [[Фокус (геометрия)|фокусами]] <math>\pm1</math>;
* горизонтальные [[Отрезок|отрезки]] <math>\{-\frac\pi2 < x < \frac\pi2,\, y = y_0\}</math> отображаются на верхнюю полуплоскость в части [[эллипс]]ов с теми же фокусами <math>\pm1</math>.

<gallery mode="packed" heights=200px caption=" Преобразование полуполосы в полуплоскость">
Изображение:Transforming half-band to half-plane.svg| Преобразование вертикальной полуполосы в верхнюю полуплоскость функцией <math>w = \sin z</math>
</gallery>

== Пересечение выпуклых фигур ==
[[Файл:Overlap area of 3 shapes.svg|thumb|200px|Пересечение трёх фигур]]
{{Обзорная статья|Геометрическая фигура|Выпуклое множество}}

'''''Пересечение фигур''''' <math>M_1,\, M_2,\, \dots,\, M_k</math> — [[Геометрическая фигура|фигура]], которая состоит из всех тех точек, которые принадлежат сразу всем фигурам <math>M_1,\, M_2,\, \dots,\, M_k</math><ref name=Болтянский207/>.

Вполне возможно пересечение произвольного неограниченного количества фигур<ref name=Болтянский208/>.

'''Теорема 1.''' ''Пересечение произвольного количества [[Выпуклая фигура|выпуклых фигур]] суть снова выпуклая фигура, если оно включает хотя бы одну точку)<ref name=Болтянский208/>.''

{{Скрытый
| Заголовок     = Доказательство<ref name=Болтянский208/>
| Содержание    =
Рассмотрим пересечение <math>M</math> бесконечного числа выпуклых фигур <math>M_1,\, M_2,\, \dots.</math> Найдём две любые точки <math>A</math> и <math>B</math> новой фигуры <math>M</math>. По определению пересечения, эти точки принадлежат любой из фигур <math>M_1,\, M_2,\, \dots.</math> Поскольку эти фигуры <math>M_1,\, M_2,\, \dots</math> выпуклы, то любая их них включает и весь отрезок <math>AB</math>. Но тогда и пересечение этих фигур {{s|<math>M_1,\, M_2,\, \dots</math> —}} фигура <math>M</math> — включает этот отрезок <math>AB</math>. Таким образом, фигура <math>M</math> вместе с двумя любыми точками <math>A</math> и <math>B</math> включает также и соединяющий их отрезок <math>AB</math> и по определению выпукла.
}}

Следующую теорему можно взять за новое определение выпуклой фигуры<ref name=Болтянский209/>.

'''Теорема 2.''' ''Плоская фигуры выпукла тогда и только тогда, когда её можно представить как пересечение некоторого количества полуплоскостей<ref name=Болтянский209/>.''

'''Замечание.''' Полуплоскостями, пересечение которых представляет собой заданную выпуклую фигуру <math>M</math>, могут быть все полуплоскости, которые содержат эту фигуру <math>M</math> и ограничены её [[Опорная прямая|опорными прямыми]]<ref name=Болтянский209/>.

{{Скрытый
| Заголовок     = Доказательство<ref name=Болтянский208/>
| Содержание    =
'''1. Достаточность.''' Из теоремы 1 вытекает, что, поскольку плоскость выпукла, то пересечение произвольного количества полуплоскостей есть выпуклая фигура.

'''2. Необходимость.''' Существуют полуплоскости, которым целиком принадлежит фигура <math>M</math>; например, каждая опорная прямая фигуры <math>M</math> разбивает  
плоскость на две полуплоскости, в одной из которых лежит <math>M</math>. Далее, пересечение всех полуплоскостей, в которых лежит <math>M</math>,  — фигура <math>N</math> выпукла и содержит <math>M</math>.

Докажем, что <math>M</math> и <math>N</math> совпадают. Рассмотрим точку <math>A</math>, не принадлежащую фигуре <math>M</math>. Найдём какую-нибудь прямую <math>l</math>, которая разделяет выпуклую фигуру <math>M</math> и выпуклую ограниченную фигуру <math>A</math>. Тогда полуплоскость, определяемая прямой <math>l</math> и содержащая фигуру <math>M</math>, точку <math>A</math> не содержит, и по построению фигуры <math>N</math> точка <math>A</math> не лежит в <math>N</math>. Следовательно, точки, не принадлежащие <math>M</math>, не принадлежат и <math>N</math>, то есть <math>M</math> и <math>N</math> совпадают.
}}

== Выпуклый многосторонник ==
{{Основная статья|Выпуклый многосторонник}}
[[Файл:Supporting hyperplane4 - closed line segment.svg|thumb|250px|Отрезок как выпуклый четырёхсторонник]]

[[Выпуклый многосторонник]] — [[Геометрическая фигура|фигура]] на плоскости, которую можно представить как пересечение ''конечного'' числа замкнутых полуплоскостей<ref name=Болтянский209/>.

Простейший выпуклый многосторонник — это [[односторонник]], то есть замкнутая полуплоскость<ref name=Болтянский209/>.

[[Треугольник]] — простейший ''ограниченный'' выпуклый многосторонник; при <math>n \geqslant 3</math> выпуклые [[трёхсторонник]]и, [[четырёхсторонник]]и и так далее бывают ограниченные и неограниченные. [[Отрезок#Отрезок в геометрии|Отрезок]] — пример выпуклого ограниченного четырёхсторонника<ref name=Болтянский209/>.

== Источники ==
<references>
{{sfn|''Болтянский В. Г., Яглом И. М.'' Выпуклые фигуры и тела|1966|loc=1.1. Определение. Примеры|с=182|name=Болтянский182}}
{{sfn|''Болтянский В. Г., Яглом И. М.'' Выпуклые фигуры и тела|1966|loc=3.1. Пересечение выпуклых фигур|с=207|name=Болтянский207}}
{{sfn|''Болтянский В. Г., Яглом И. М.'' Выпуклые фигуры и тела|1966|loc=3.1. Пересечение выпуклых фигур|с=208|name=Болтянский208}}
{{sfn|''Болтянский В. Г., Яглом И. М.'' Выпуклые фигуры и тела|1966|loc=3.2. Выпуклые многосторонники и многогранники|с=209|name=Болтянский209}}
{{sfn|''Гусев В. А.'' Математика|2013|loc=5. Плоскости|с=388|name=Гусев388}}
{{sfn|''Гусятников П. Б.'' Векторная алгебра в примерах и задачах|1985|loc=Главка 1. Сведения из элементарной геометрии. § 1. Некоторые необходимые определения и обозначения|с=7|name=Гусятников7}}
{{sfn|''Домрин А. В., Сергеев А. Г.'' Лекции по комплексному анализу. Т. 1|2004|loc=3.7. Дробно-линейные изоморфизмы основных областей|с=34|name=Домрин34}}
{{sfn|''Киселёв М. А.'' Элементарная геометрия|1980|name=Киселёв}}
{{sfn|''Киселёв М. А.'' Элементарная геометрия|1980|loc=275. Аксиомы плоскости|с=172|name=Киселёв172}}
{{sfn|''Киселёв М. А.'' Элементарная геометрия|1980|loc=304. Определения|с=182|name=Киселёв182}}
{{sfn|''Курант Р., Роббинс Г.'' Что такое математика?|2015|loc=Глава IV. Проективная геометрия… Приложение…|с=254—255|name=Курант254-5}}
{{sfn|''Полуплоскость''. БСЭ 3|1975|name=БСЭ}}
{{sfn|''Полуплоскость''. МЭ|1984|name=МЭ}}
{{sfn|''Полуплоскость''. МЭС|1988|name=МЭС}}
{{sfn|''Понарин Я. П.'' Планиметрия, преобразования плоскости|2004|loc=12.2. Следствия из общих формул площади четырехугольника|с=91|name=Понарин91}}
{{sfn|''Пятецкий-Шапиро И. И.'' Геометрия классических областей и теория автоморфных функций|1961|loc=Введение|с=9|name=Пятецкий-Шапиро9}}
{{sfn|''Розенфельд Б. А.'' Аксиомы и основные понятия геометрии|1963|loc=6.3. Аксиомы порядка|с=36|name=Розенфельд36}}
{{sfn|''Рохлин В. А.'' Площадь и объём|1966|loc=2.1. Внутренние, внешние и граничные точки|с=13—14|name=Рохлин13-4}}
{{sfn|''Рохлин В. А.'' Площадь и объём|1966|loc=2.1. Внутренние, внешние и граничные точки|с=16|name=Рохлин16}}
{{sfn|''Шабат Б. В.'' Введение в комплексный анализ. Т. 2|1976|loc=2. Простейшие области|с=19|name=Шабат19}}
{{sfn|''Шабат Б. В.'' Введение в комплексный анализ. Т. 1|1976|loc=13. Показательная функция|с=73—74|name=Шабат73—74}}
{{sfn|''John B. Conway.'' Functions of one complex variable|1978|loc=I. The Complex Number System, §5. Lines and half planes in the complex plane|p=6|name=Conway6}}
{{sfn|''John B. Conway.'' Functions of one complex variable|1978|loc=I. The Complex Number System, §5. Lines and half planes in the complex plane|p=6-7|name=Conway6-7}}
{{sfn|''John B. Conway.'' Functions of one complex variable|1978|loc=I. The Complex Number System, §5. Lines and half planes in the complex plane|p=7|name=Conway7}}
{{sfn|''John B. Conway.'' Functions of one complex variable|1978|loc=I. The Complex Number System, §5. Lines and half planes in the complex plane|p=7-8|name=Conway7-8}}
{{sfn|''John B. Conway.'' Functions of one complex variable|1978|loc=I. The Complex Number System, §5. Lines and half planes in the complex plane|p=8|name=Conway8}}
{{sfn|''Alfred Gray.'' Modern Differential Geometry|2006|loc=6.4 Convex Plane Curves|p=164|name=Gray164}}
{{sfn|''Alfred Gray.'' Modern Differential Geometry|2006|loc=26.2	Examples of Abstract Metrics|p=876|name=Gray876}}
{{sfn|''Jaap Korevaar, Jan Wiegerinck.'' Several complex variables|2011|loc=2.1 General theory of analytic continuation|p=26|name=Korevaar26}}
</references>
{{примечания}}

== Литература ==
* {{книга |автор = {{автор|Болтянский, Владимир Григорьевич|Болтянский В. Г.}}, {{автор|Яглом, Исаак Моисеевич|Яглом И. М.}} |часть = Выпуклые фигуры и тела |заглавие = Энциклопедия элементарной математики |ответственный = гл. ред.: {{автор|Александров, Павел Сергеевич|П. С. Александров}}, {{автор|Маркушевич, Алексей Иванович|А. И. Маркушевич}}, {{автор|Хинчин, Александр Яковлевич|А. Я. Хинчин}}; редакторы книги пятой: {{автор|Болтянский, Владимир Григорьевич|В. Г. Болтянский}}, {{автор|Яглом, Исаак Моисеевич|И. М. Яглом}} |язык = ru |место = М. |издательство = «[[Наука (издательство)|Наука]]» |год = 1966 |том = 5 Геометрия |страницы = 181—269 |страниц как есть = 624 с., ил |тираж = 25000  |ref = ''Болтянский В. Г., Яглом И. М.'' Выпуклые фигуры и тела}}
* {{книга |автор = {{автор||Гусев В. А.}}, {{автор|Мордкович, Александр Григорьевич|Мордкович А. Г.}} |заглавие = Математика : учебно-справочное пособие |язык = ru |место = М. |издательство = [[Астрель|Издательство «Астрель»]] |год = 2013 |страниц как есть = 671,[1] с., ил |серия = Справочник школьника |isbn = 978-5-271-07165-2 |тираж = Доп. тираж 2000 |ref = ''Гусев В. А.'' Математика}}
* {{книга |автор = {{автор||Гусятников П. Б.}}, {{автор||Резниченко С. В.}} |заглавие = Векторная алгебра в примерах и задачах: Учеб. пособие для студентов инж.-тех. спец. вузов |язык = ru |место = М. |издательство = «[[Высшая школа (издательство)|Высшая школа]]» |год = 1985 |страниц как есть = 232 с., ил |тираж = 50000 тыс. |ref = ''Гусятников П. Б.'' Векторная алгебра в примерах и задачах}}
* {{книга |автор = {{автор||Домрин А. В.}}, {{автор|Сергеев, Армен Глебович|Сергеев А. Г.}} |заглавие = Лекции по комплексному анализу |язык = ru |заглавие2 = Первое полугодие |место = М. |издательство = [[МИАН]] |год = 2004 |том = 1 |страниц как есть = 175 с., ил |isbn = 5-98419-007-9 (ч. I) |isbn2 = 5-98419-006-0 |тираж = 200 |ref = ''Домрин А. В., Сергеев А. Г.'' Лекции по комплексному анализу. Т. 1}}
* {{книга |автор = {{автор|Киселёв, Андрей Петрович|Киселёв М. А.}} |заглавие = Элементарная геометрия. Книга для учителя |язык = ru |издание = копия 12-е изд. (1931) |место = М. |издательство = «[[Просвещение (издательство)|Просвещение]]» |год = 1980 |страниц как есть = 286 с., ил |ref = ''Киселёв М. А.'' Элементарная геометрия}}
* {{книга |автор = {{автор|Курант, Рихард|Курант Р.}}, {{автор|Роббинс, Герберт|Роббинс Г.}} |заглавие = [[Что такое математика?|Что такое математика? Элементарный очерк идей и методов]] |оригинал = ''Richard Courant, Herbert Robbins''. What Is Mathematics? An Elementary Approach to Ideas and Methods |язык = ru |ответственный = пер. с англ. под ред. {{автор|Колмогоров, Андрей Николаевич|А. Н. Колмогорова}} |издание = 7-е изд., стереотип |место = М. |издательство = [[МЦНМО|Издательство МЦНМО]] |год = 2015 |страниц как есть = 564 с., ил |isbn = 978-5-4439-0628-7 |тираж = 2000 |ref = ''Курант Р., Роббинс Г.'' Что такое математика?}}
* {{книга |автор = {{автор|Понарин, Яков Петрович|Понарин Я. П.}} |заглавие = Элементарная геометрия: В 2 т |язык = ru |заглавие2 = Т. 1: Планиметрия, преобразования плоскости |место = М. |издательство = [[МЦНМО|Издательство МЦНМО]] |год = 2004 |страниц как есть = 311 с., ил |isbn = 5-94057-170-0 |isbn2 = 5-94057-171-9 (том 1) |тираж = 2000 |ref = ''Понарин Я. П.'' Планиметрия, преобразования плоскости}}
* {{книга |часть = ''Полуплоскость'' |заглавие = [[Большая советская энциклопедия]]. (В 30 томах) |ответственный = гл. ред. {{автор|Прохоров, Александр Михайлович|А. М. Прохоров}} |язык = ru |издание = 3-е изд |место = М. |издательство = «[[Большая российская энциклопедия (издательство)|Советская энциклопедия]]» |год = 1975 |том = 20 Плата — проб |страницы = 259 |страниц как есть = 608 с., ил., 17 л. ил., 4 л. карт |тираж = 630 тыс. |ref = ''Полуплоскость''. БСЭ 3}}
* {{книга |часть = ''Полуплоскость'' |заглавие = [[Математическая энциклопедия]] |ответственный = гл. ред. {{автор|Виноградов, Иван Матвеевич|И. М. Виноградов}} |язык = ru |место = М. |издательство = «[[Большая российская энциклопедия (издательство)|Советская энциклопедия]]» |год = 1984 |том = 4 Ок—Сло |столбцы = 462 |страниц как есть = 1216 стб., ил |тираж = 148900 |ref = ''Полуплоскость''. МЭ}}
* {{МЭС |статья = Полуплоскость |ссылка=https://www.mathedu.ru/text/matematicheskiy_entsiklopedicheskiy_slovar_1988/p474/ |с=474 |ref=''Полуплоскость''. МЭС}}
* {{книга |автор = {{автор|Пятецкий-Шапиро, Илья Иосифович|Пятецкий-Шапиро И. И.}} |заглавие = Геометрия классических областей и теория автоморфных функций |язык = ru |место = М. |издательство = [[Физматгиз]] |год = 1961 |страниц = 191 |серия = Современные проблемы математики |тираж = 5000 |ref = ''Пятецкий-Шапиро И. И.'' Геометрия классических областей и теория автоморфных функций}}
* {{книга |автор = {{автор|Розенфельд, Борис Абрамович|Розенфельд Б. А.}} |часть = Аксиомы и основные понятия геометрии |заглавие = Энциклопедия элементарной математики |ответственный = гл. ред.: {{автор|Александров, Павел Сергеевич|П. С. Александров}}, {{автор|Маркушевич, Алексей Иванович|А. И. Маркушевич}}, {{автор|Хинчин, Александр Яковлевич|А. Я. Хинчин}}; редакторы книги четвёртой: {{автор|Болтянский, Владимир Григорьевич|В. Г. Болтянский}}, {{автор|Яглом, Исаак Моисеевич|И. М. Яглом}} |язык = ru |место = М. |издательство = [[Физматлит]] |год = 1963 |том = 4 Геометрия |страницы = 9—48 |страниц как есть = 567 с., ил |тираж = 20000  |ref = ''Розенфельд Б. А.'' Аксиомы и основные понятия геометрии}}
* {{книга |автор = {{автор|Рохлин, Владимир Абрамович|Рохлин В. А.}} |часть = Площадь и объём |заглавие = Энциклопедия элементарной математики |ответственный = гл. ред.: {{автор|Александров, Павел Сергеевич|П. С. Александров}}, {{автор|Маркушевич, Алексей Иванович|А. И. Маркушевич}}, {{автор|Хинчин, Александр Яковлевич|А. Я. Хинчин}}; редакторы книги пятой: {{автор|Болтянский, Владимир Григорьевич|В. Г. Болтянский}}, {{автор|Яглом, Исаак Моисеевич|И. М. Яглом}} |язык = ru |место = М. |издательство = «[[Наука (издательство)|Наука]]» |год = 1966 |том = 5 Геометрия |страницы = 5—87 |страниц как есть = 624 с., ил |тираж = 25000  |ref = ''Рохлин В. А.'' Площадь и объём}}
* {{книга |автор = {{автор|Шабат, Борис Владимирович|Шабат Б. В.}} |заглавие = Введение в комплексный анализ |язык = ru |заглавие2 = Часть I. Функции одного переменного |издание = 2-е изд, перераб. и доп |место = М. |издательство = [[Наука (издательство)|«Наука»]] |год = 1976 |том = 1 |страниц как есть = 320 с., ил |тираж = 20000 |ref = ''Шабат Б. В.'' Введение в комплексный анализ. Т. 1}}
* {{книга |автор = {{автор|Шабат, Борис Владимирович|Шабат Б. В.}} |заглавие = Введение в комплексный анализ |язык = ru |заглавие2 = Часть II. Функции нескольких переменных |издание = 2-е изд, перераб. и доп |место = М. |издательство = [[Наука (издательство)|«Наука»]] |год = 1976 |том = 2 |страниц как есть = 400 с., ил |тираж = 20000 |ref = ''Шабат Б. В.'' Введение в комплексный анализ. Т. 2}}
* {{книга |автор = {{iw|Конвей, Джон Блай|John B. Conway|en|John B. Conway}} |заглавие = Functions of one complex variable |ответственный = Managing Editor {{автор|Халмош, Пол Ричард|P. R. Halmos}}; Editorial Board: {{автор||F. W. Gehring}}, {{iw|Мур, Кальвин К.|C. C. Moore|en|Calvin C. Moore}} |язык = en |издание = Second Edition |место = [[Нью-Йорк|New York]] · [[Гейдельберг|Heidelberg]] · [[Берлин|Berlin]] |издательство = [[Springer Science+Business Media|Springer-Verlag]] |год = 1978 |allpages = XIV+319 |серия = Graduate texts in mathematics; 11 |ref = ''John B. Conway.'' Functions of one complex variable}}
* {{книга |автор = {{автор|Грэй, Альфред (математик)|Alfred Gray}} |заглавие = Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica® |ответственный = revised by Elsa Abbena and Simon Salamon |язык = en |издание = Third Edition |место = [[Бока-Ратон|Boca Raton]] · [[Лондон|London]] · [[Нью-Йорк|New York]] · [[Оксфорд|Oxford]] |издательство = [[Chapman & Hall|Chapman & Hall/CRC]] |год = 2006 |allpages = XII+982 |серия = Studies in Advanced Mathematics |isbn = 1-58488-448-7 |isbn2 = 978-1-58488-448-4 |ref = ''Alfred Gray.'' Modern Differential Geometry}}
* {{книга |автор = {{iw|Коревар, Якоб|Jaap Korevaar|en|Jacob Korevaar}}, Jan Wiegerinck |заглавие = Several complex variables |язык = en |место = [[Амстердам|Amsterdam]] |издательство = [[Амстердамский университет|University of Amsterdam]] |год = 2011 |allpages = V+260 |ref = ''Jaap Korevaar, Jan Wiegerinck.'' Several complex variables}}

== Дополнительная литература ==
* {{книга |автор = {{автор|Курант, Рихард|Richard Courant}}, {{автор|Роббинс, Герберт|Herbert Robbins}} |заглавие = [[Что такое математика?|What Is Mathematics? An Elementary Approach to Ideas and Methods]] |ответственный = revised by [[Стюарт, Иэн (математик)|Ian Stewart]] |язык = en |издание = Second Edition |место = [[Нью-Йорк|New York]] · [[Оксфорд|Oxford]] | издательство = [[Издательство Оксфордского университета|Oxford University Press]] |год = 1996 |allpages = XXII+566  |isbn = 0-19-510519-2 |ref = ''Richard Courant, Herbert Robbins.'' What Is Mathematics?}}
* {{Cite web |url = https://mathworld.wolfram.com/Half-Plane.html |title = Half-Plane |author = {{автор|Вайсстайн, Эрик|Weisstein Eric W}} |lang = en |website = [[MathWorld|Wolfram MathWorld]] |publisher = [[Wolfram Research]] |date = 2025 |archive-url = https://web.archive.org/web/20241209215809/https://mathworld.wolfram.com/Half-Plane.html |archive-date = 2024-12-09 |ref = ''Weisstein Eric W.'' Half-Plane}}
* {{Cite web |url = https://mathworld.wolfram.com/LeftHalf-Plane.html |title = Left Half-Plane |author = {{автор|Вайсстайн, Эрик|Weisstein Eric W}} |lang = en |website = [[MathWorld|Wolfram MathWorld]] |publisher = [[Wolfram Research]] |date = 2025 |archive-url = https://web.archive.org/web/20241209215809/https://mathworld.wolfram.com/LeftHalf-Plane.html |archive-date = 2024-12-09 |ref = ''Weisstein Eric W.'' Left Half-Plane}}
* {{Cite web |url = https://mathworld.wolfram.com/LowerHalf-Plane.html |title = Lower Half-Plane |author = {{автор|Вайсстайн, Эрик|Weisstein Eric W}} |lang = en |website = [[MathWorld|Wolfram MathWorld]] |publisher = [[Wolfram Research]] |date = 2025 |archive-url = https://web.archive.org/web/20241209215809/https://mathworld.wolfram.com/LowerHalf-Plane.html |archive-date = 2024-12-09 |ref = ''Weisstein Eric W.'' Lower Half-Plane}}
* {{Cite web |url = https://mathworld.wolfram.com/RightHalf-Plane.html |title = Right Half-Plane |author = {{автор|Вайсстайн, Эрик|Weisstein Eric W}} |lang = en |website = [[MathWorld|Wolfram MathWorld]] |publisher = [[Wolfram Research]] |date = 2025 |archive-url = https://web.archive.org/web/20241209215809/https://mathworld.wolfram.com/RightHalf-Plane.html |archive-date = 2024-12-09 |ref = ''Weisstein Eric W.'' Right Half-Plane}}
* {{Cite web |url = https://mathworld.wolfram.com/UpperHalf-Plane.html |title = Upper Half-Plane |author = {{автор|Вайсстайн, Эрик|Weisstein Eric W}} |lang = en |website = [[MathWorld|Wolfram MathWorld]] |publisher = [[Wolfram Research]] |date = 2025 |archive-url = https://web.archive.org/web/20241209215809/https://mathworld.wolfram.com/UpperHalf-Plane.html |archive-date = 2024-12-09 |ref = ''Weisstein Eric W.'' Upper Half-Plane}}

{{Добротная статья|Математика}}

[[Категория:Геометрия]]
[[Категория:Комплексный анализ]]
[[Категория:Многомерный комплексный анализ]]
[[Категория:Геометрические фигуры]]