Просмотр кода страницы Йорданова алгебра

'''Йорданова алгебра''' — это [[неассоциативная алгебра]] [[Алгебра над полем|над полем]], умножение которой удовлетворяет следующим аксиомам:
# <math>xy = yx</math> (закон коммутативности)
# <math>(xy)(xx) = x(y(xx))</math> (тождество Йордана)

Произведение двух элементов ''x'' и ''y'' в йордановой алгебре также обозначается ''x''∘''y'', в частности, чтобы избежать путаницы с произведением связанной ассоциативной алгебры .

Аксиомы подразумевают<ref name="Jacobson68p35">{{Harvard citation no brackets|Jacobson|1968|pp=35–36, specifically remark before (56) and theorem 8}}</ref>, что йорданова алгебра является [[Степенная ассоциативность|ассоциативной по степеням]], а именно <math>x^n = x \cdots x</math> не зависит от того, как мы расставляем скобки в выражении. Они также подразумевают<ref name="Jacobson68p35" />, что <math>x^m (x^n y) = x^n(x^m y)</math> для всех положительных целых чисел ''m'' и ''n''. Таким образом, мы можем эквивалентно определить йорданову алгебру как коммутативную, ассоциативную по степеням алгебру, такую, что для любого элемента <math>x</math>, операции умножения на степени <math>x^n</math> коммутируют.

Йордановы алгебры были введены Паскуалем Йорданом (1933) в попытке формализовать понятие алгебры [[Квантовая наблюдаемая|наблюдаемых величин]] в [[Квантовая электродинамика|квантовой электродинамике]]. Вскоре было показано, что эти алгебры бесполезны в этом контексте, однако с тех пор они нашли множество применений в математике<ref>{{Cite journal|last=Dahn|first=Ryan|date=2023-01-01|title=Nazis, émigrés, and abstract mathematics|journal=Physics Today|volume=76|issue=1|pages=44–50|bibcode=2023PhT....76a..44D|doi=10.1063/PT.3.5158|issn=|doi-access=free}}</ref>. Первоначально эти алгебры назывались «r-числовыми системами», но были переименованы в «йордановы алгебры» Альбертом (1946), который начал систематическое изучение общих йордановых алгебр.

== Специальные йордановы алгебры ==
Заметим сначала, что ассоциативная алгебра является йордановой алгеброй тогда и только тогда, когда она коммутативна.

Для любой ассоциативной алгебры ''A'' (не [[Характеристика (алгебра)|характеристики]] 2) можно построить йорданову алгебру ''A''<sup>+</sup>, используя то же самое базовое сложение и новое умножение — '''йорданово произведение''', определяемое как:

: <math>x\circ y = \frac{xy+yx}{2}.</math>

Эти йордановы алгебры и их подалгебры называются '''специальными йордановыми алгебрами''', а все остальные — '''исключительными йордановыми алгебрами'''. Конструкция аналогична [[Алгебра Ли|алгебре Ли]], связанной с ''A'', произведение которой (скобка Ли) определяется коммутатором <math>[x,y] = xy - yx</math> .

Теорема [[Ширшов, Анатолий Илларионович|Ширшова]]-Кона утверждает, что любая йорданова алгебра с двумя образующими является специальной<ref name="mcc100">{{Harvard citation no brackets|McCrimmon|2004|p=100}}</ref>. Похожим образом теорема Макдональда утверждает, что любой многочлен от трёх переменных, имеющий степень один по одной из переменных и обращающийся в нуль в каждой специальной йордановой алгебре, обращается в нуль и в каждой йордановой алгебре<ref name="mcc99">{{Harvard citation no brackets|McCrimmon|2004|p=99}}</ref>.

=== Эрмитовы йордановы алгебры ===
Если (''A'', ''σ'') — ассоциативная алгебра с [[Инволюция (математика)|инволюцией]] ''σ'', то если ''σ'' (''x'') = ''x'' и ''σ'' (''y'') = ''y,'' то следует, что <math display="inline">\sigma(xy + yx) = xy + yx.</math> Таким образом, множество всех элементов, фиксируемых инволюцией (иногда называемых ''эрмитовыми'' элементами), образуют подалгебру алгебры ''A'' <sup>+</sup>, которую иногда обозначают как H(''A'', ''σ'').

== Примеры ==
1. Множество [[Самосопряжённость|самосопряженных]] [[Вещественное число|действительных]], [[Комплексное число|комплексных]] или [[кватернион]]ных матриц с умножением

: <math>(xy + yx)/2</math>

образуют специальную йорданову алгебру.

2. Набор самосопряженных матриц 3×3 над [[Алгебра Кэли|октонионами]] снова с умножением

: <math>(xy + yx)/2,</math>

— 27-мерная исключительная йорданова алгебра (исключительная, поскольку [[Алгебра Кэли|октонионы]] неассоциативны). Это был первый пример [[Алгебра Алберта|алгебры Альберта]]. Её группа автоморфизмов — исключительная [[группа Ли]] [[F₄ (математика)|F<sub>4</sub>]]. Поскольку над [[Комплексное число|комплексными числами]] это единственная простая исключительная йорданова алгебра с точностью до изоморфизма<ref name="Springer00" />, её часто называют «исключительной йордановой алгеброй». Над [[Вещественное число|вещественными числами]] существует три изоморфных класса простых исключительных йордановых алгебр<ref name="Springer00">{{Harvard citation no brackets|Springer|Veldkamp|2000}}</ref>.

== Дифференцирования и структурная алгебра ==
[[Дифференцирование (алгебра)|Дифференцирование]] йордановой алгебры ''A'' — это эндоморфизм ''D'' алгебры ''A'', такой что ''D''(''xy'') = ''D'' (''x'') ''y'' + ''xD''(''y''). Дифференцирования образуют [[Алгебра Ли|алгебру Ли]] '''der''' (''A''). Из тождества Йордана следует, что если ''x'' и ''y'' — элементы алгебры ''A'', то эндоморфизм, переводящий ''z'' в ''x'' (''yz'') − ''y'' (''xz''), является дифференцированием. Таким образом, прямую сумму алгебр ''A'' и '''der'''(''A'') можно преобразовать в алгебру Ли, называемую '''структурной алгеброй''' алгебры ''A'', '''str''' (''A'').

Простым примером служат эрмитовы йордановы алгебры H(''A'', ''σ''). В этом случае любой элемент ''x'' алгебры ''A'' с условием ''σ'' (''x'')=− ''x'' определяет дифференцирование. Во многих важных примерах структурная алгебра алгебры H(''A'', ''σ'') — это ''A''.

Алгебры вывода и структуры также являются частью конструкции магического квадрата Фрейденталя, [[Титс, Жак|созданной Титсом]] .

== Формально действительные йордановы алгебры ==
Алгебра (возможно, неассоциативная) над действительными числами называется '''формально действительной''', если она удовлетворяет свойству, согласно которому сумма ''n'' квадратов может обратиться в нуль только при обращении в нуль каждого из них по отдельности. В 1932 году Джордан попытался аксиоматизировать квантовую теорию, заявив, что алгебра наблюдаемых любой квантовой системы должна быть формально действительной алгеброй, которая является коммутативной (''xy'' = ''yx'') и степенно-ассоциативной (закон ассоциативности выполняется для произведений, содержащих только ''x'', так что степени любого элемента ''x'' определяются однозначно). Он доказал, что любая такая алгебра является йордановой алгеброй.

Не каждая йорданова алгебра формально вещественна, но {{Harvtxt|Jordan|von Neumann|Wigner|1934}} классифицировали конечномерные формально вещественные йордановы алгебры, также называемые '''евклидовыми йордановыми алгебрами'''. Любая формально вещественная йорданова алгебра может быть представлена в виде прямой суммы так называемых '''простых''' йордановых алгебр, которые сами по себе нетривиальным образом не являются прямыми суммами. В конечных размерностях простые формально вещественные йордановы алгебры делятся на четыре бесконечных семейства, включая один исключительный случай:

* Йорданова алгебра самосопряженных вещественных матриц размера ''n'' × ''n'', как указано выше.
* Йорданова алгебра самосопряженных комплексных матриц размера ''n'' × ''n'', как указано выше.
* Йорданова алгебра самосопряженных кватернионных матриц размера ''n'' × ''n'' . как указано выше.
* Йорданова алгебра <sup>'',''</sup> свободно порожденная '''R<sub>n</sub>''' с соотношениями
*: <math>x^2 = \langle x, x\rangle </math>

: где правая часть определяется с помощью обычного скалярного произведения в '''R<sub>n</sub>'''. Иногда это называется '''спин-фактором''' или йордановой алгеброй '''типа Клиффорда''' .

* Йорданова алгебра самосопряженных октонионных матриц 3×3, как указано выше (исключительная йорданова алгебра, называемая [[Алгебра Алберта|алгеброй Альберта]]).

Из этих возможностей до сих пор представляется, что природа использует в качестве алгебр наблюдаемых величин только комплексные матрицы размера ''n''×''n''. Однако спиновые факторы играют роль в [[Специальная теория относительности|специальной теории относительности]], и все формально вещественные йордановы алгебры связаны с [[Проективная геометрия|проективной геометрией]].

== Разложение Пирса ==
Если ''e'' — идемпотент в йордановой алгебре ''A'' (то есть ''e'' <sup>2</sup> = ''e'') и ''R'' — операция умножения на ''e'', тогда

* ''R''(2''R'' − 1)(''R'' − 1) = 0

поэтому единственными собственными значениями ''R'' являются 0, 1/2, 1. Если йорданова алгебра ''A'' конечномерна над полем характеристики, отличной от 2, это означает, что она является прямой суммой подпространств ''A'' = ''А'' <sub>0</sub> (''е'') ⊕ ''А''<sub>1/2</sub>(''е'') ⊕ ''A''<sub>1</sub>(''e'') из трёх собственных подпространств. Это разложение было впервые рассмотрено {{Harvtxt|Jordan|von Neumann|Wigner|1934}} для вполне вещественных йордановых алгебр. Позднее оно было изучено в полном объёме {{Harvtxt|Albert|1947}} и названо '''разложением Пирса''' для ''A'' относительно идемпотента ''е''<ref>{{Harvard citation no brackets|McCrimmon|2004}}</ref>.

== Специальные виды и обобщения ==

=== Бесконечномерные йордановы алгебры ===
В 1979 году [[Зельманов, Ефим Исаакович|Ефим Зельманов]] классифицировал бесконечномерные простые (и первичные невырожденные) йордановы алгебры. Они бывают эрмитового или клиффордова типа. В частности, единственными исключительными простыми йордановыми алгебрами являются конечномерные [[Алгебра Алберта|алгебры Альберта]], имеющие размерность 27.

=== Йордановы операторные алгебры ===
{{Основная статья|Jordan operator algebra}}
Теория [[Операторная алгебра|операторных алгебр]] была расширена и теперь охватывает йордановы операторные алгебры.

Аналогами [[C*-алгебра|C*-алгебр]] являются алгебры JB, которые в конечных размерностях называются евклидовыми йордановыми алгебрами. Норма на вещественной йордановой алгебре должна быть [[Полное метрическое пространство|полной]] и удовлетворять аксиомам:

: <math>\displaystyle{\|a\circ b\|\le \|a\|\cdot \|b\|,\,\,\, \|a^2\|=\|a\|^2,\,\,\, \|a^2\|\le \|a^2 +b^2\|.}</math>

Эти аксиомы гарантируют формальную вещественность йордановой алгебры, так что если сумма квадратов членов равна нулю, то и сами члены должны быть равны нулю. Комплексификации йордановых C*-алгебр или JB*-алгебр. Они широко используются в комплексной геометрии для расширения йордановой алгебраической трактовки [[Кёхер, Макс|Кёхера]] ограниченных симметричных областей на бесконечномерный случай. Не все йордановы алгебры могут быть реализованы как йордановы алгебры самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве, точно так же, как в конечных измерениях. Исключительная [[Алгебра Алберта|алгебра Альберта]] является общим препятствием.

Йордановым аналогом алгебр [[Алгебра фон Неймана|фон Неймана]] являются алгебры JBW. Они оказываются алгебрами JB, которые, как банаховы пространства, являются дуальными пространствами банаховых пространств. Большая часть структурной теории алгебр фон Неймана может быть перенесена на алгебры JBW. В частности, факторы JBW — те, центр которых приведен к '''R''' — полностью понятны в терминах алгебр фон Неймана. За исключением исключительной [[Алгебра Алберта|алгебры Альберта]], все факторы JWB могут быть реализованы как йордановы алгебры самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве, замкнутом в слабой операторной топологии. Из них спиновые факторы могут быть очень просто построены из вещественных гильбертовых пространств. Все остальные факторы JWB являются либо самосопряженной частью [[Алгебра фон Неймана|фактора фон Неймана]], либо его подалгеброй неподвижных точек относительно периода 2*-антиавтоморфизма фактора фон Неймана.

=== Кольца Йордана ===
Йорданово кольцо — это обобщение йордановых алгебр, требующее лишь, чтобы йорданово кольцо было над общим кольцом, а не над полем. В качестве альтернативы йорданово кольцо можно определить как коммутативное [[Неассоциативная алгебра|неассоциативное кольцо]], сохраняющее тождество Йордана.

=== Йордановы супералгебры ===
Йордановы супералгебры были введены Кацем, Кантором и Капланским. Это <math>\mathbb{Z}/2</math>-градуированные алгебры <math>J_0 \oplus J_1</math> где <math>J_0</math> является йордановой алгеброй и <math>J_1</math> имеет продукт типа «Ли» со значениями в <math>J_0</math><ref>{{Harvard citation no brackets|McCrimmon|2004|pp=9–10}}</ref>.

Любой <math>\mathbb{Z}/2</math> -градуированная ассоциативная алгебра <math>A_0 \oplus A_1</math> становится йордановой супералгеброй относительно градуированной йордановой скобки

: <math>\{x_i,y_j\} = x_i y_j + (-1)^{ij} y_j x_i \ . </math>

Йордановы простые супералгебры над алгебраически замкнутым полем характеристики 0 были классифицированы {{Harvtxt|Kac|1977}}. Они включают несколько семейств и некоторые исключительные алгебры, в частности: <math>K_3</math> и <math>K_{10}</math>.

=== J-структуры ===
{{Основная статья|J-structure}}
Понятие J-структуры было введено {{Harvtxt|Springer|1998}} для разработки теории йордановых алгебр с использованием [[Линейная алгебраическая группа|линейных алгебраических групп]] и аксиом, где инверсия Йордана является базовой операцией, а тождество Хуа — базовым отношением. В [[Характеристика (алгебра)|характеристике]], отличной от 2, теория J-структур по сути совпадает с теорией йордановых алгебр.

=== Квадратичные йордановы алгебры ===
{{Основная статья|Quadratic Jordan algebra}}
Квадратичные йордановы алгебры являются обобщением (линейных) йордановых алгебр, введенных Маккриммоном. Фундаментальные тождества [[Неассоциативная алгебра|квадратичного представления]] линейной йордановой алгебры используются в качестве аксиом для определения квадратичной йордановой алгебры над полем произвольной характеристики. Существует единообразное описание конечномерных простых квадратичных йордановых алгебр, не зависящее от характеристики: в характеристике, отличной от 2, теория квадратичных йордановых алгебр сводится к теории линейных йордановых алгебр.

== См. также ==
* Алгебра Фрейденталя
* йорданова тройная система
* йорданова пара
* [[Конструкция Кантора — Кёхера — Титса]]
* Многообазие Скорца

== Примечания ==
{{Примечания}}

== Ссылки ==
* {{Citation |last=Albert |first=A. Adrian |title=On Jordan algebras of linear transformations |work=[[Transactions of the American Mathematical Society]] |volume=59 |issue=3 |pages=524–555 |year=1946 |doi=10.1090/S0002-9947-1946-0016759-3 |issn=0002-9947 |jstor=1990270 |mr=0016759 |author-link=Abraham Adrian Albert |doi-access=free}}
* {{Citation |last=Albert |first=A. Adrian |title=A structure theory for Jordan algebras |work=[[Annals of Mathematics]] |volume=48 |issue=3 |pages=546–567 |year=1947 |series=Second Series |doi=10.2307/1969128 |issn=0003-486X |jstor=1969128 |mr=0021546}}
* {{Cite journal|last=Baez|first=John C.|author-link=John C. Baez|year=2002|title=The Octonions, 3: Projective Octonionic Geometry|url=https://www.ams.org/bull/2002-39-02/S0273-0979-01-00934-X/home.html|journal=Bulletin of the American Mathematical Society|series=Bull. Amer. Math. Soc.|volume=39|issue=2|pages=145–205|doi=10.1090/S0273-0979-01-00934-X|mr=1886087|s2cid=586512|doi-access=free}}. [http://math.ucr.edu/home/baez/octonions/node8.html Online HTML version].
* {{Citation |last=Faraut |first=J. |title=Analysis on symmetric cones |year=1994 |series=Oxford Mathematical Monographs |publisher=Oxford University Press |isbn=0198534779 |last2=Koranyi |first2=A. |author-link2=Ádám Korányi}}
* {{Citation |last=Hanche-Olsen |first=H. |title=Jordan operator algebras |volume=21 |year=1984 |url=http://www.math.ntnu.no/~hanche/joa/ |series=Monographs and Studies in Mathematics |publisher=Pitman |isbn=0273086197 |last2=Størmer |first2=E.}}
* {{Citation |last=Jacobson |first=Nathan |title=Structure and representations of Jordan algebras |volume=39 |year=2008 |series=American Mathematical Society Colloquium Publications |place=Providence, R.I. |publisher=[[American Mathematical Society]] |isbn=9780821831793 |mr=0251099 |ref={{harvid|Jacobson|1968}} |author-link=Nathan Jacobson}}
* {{Citation |last=Jordan |first=Pascual |title=Über Verallgemeinerungsmöglichkeiten des Formalismus der Quantenmechanik |work=Nachr. Akad. Wiss. Göttingen. Math. Phys. Kl. I |volume=41 |pages=209–217 |year=1933}}
* {{Citation |last=Jordan |first=P. |title=On an algebraic generalization of the quantum mechanical formalism |work=Annals of Mathematics |volume=35 |issue=1 |pages=29–64 |year=1934 |doi=10.2307/1968117 |jstor=1968117 |last2=von Neumann |first2=J. |last3=Wigner |first3=E. |author-link2=John von Neumann |author-link3=Eugene Wigner}}
* {{Citation |last=Kac |first=Victor G |title=Classification of simple Z-graded Lie superalgebras and simple Jordan superalgebras |work=Communications in Algebra |volume=5 |issue=13 |pages=1375–1400 |year=1977 |doi=10.1080/00927877708822224 |issn=0092-7872 |mr=0498755 |author-link=Victor Kac}}
* {{Citation |last=McCrimmon |first=Kevin |title=A general theory of Jordan rings |work=Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A. |volume=56 |issue=4 |pages=1072–1079 |year=1966 |bibcode=1966PNAS...56.1072M |doi=10.1073/pnas.56.4.1072 |jstor=57792 |mr=0202783 |pmc=220000 |pmid=16591377 |zbl=0139.25502 |author-link=Kevin McCrimmon |doi-access=free}}
* {{Citation |last=McCrimmon |first=Kevin |title=A taste of Jordan algebras |year=2004 |url=https://books.google.com/books?isbn=0387954473 |series=Universitext |place=Berlin, New York |publisher=[[Springer-Verlag]] |doi=10.1007/b97489 |isbn=978-0-387-95447-9 |mr=2014924 |zbl=1044.17001 |id=[http://www.math.virginia.edu/Faculty/McCrimmon/ Errata]}}
* {{Citation |last=Ichiro Satake |title=Algebraic Structures of Symmetric Domains |year=1980 |publisher=Princeton University Press |isbn=978-0-691-08271-4}}. [http://projecteuclid.org/euclid.bams/1183656879 Review]
* {{Citation |last=Schafer |first=Richard D. |title=An introduction to nonassociative algebras |year=1996 |url=https://archive.org/details/introductiontono0000scha |publisher=Courier Dover Publications |isbn=978-0-486-68813-8 |zbl=0145.25601 |url-access=registration}}
* {{Cite book|автор=Zhevlakov|first=K.A.|author2=Slin'ko|first2=A.M.|author3=Shestakov|first3=I.P.|author4=Shirshov|first4=A.I.|заглавие=Rings that are nearly associative|издательство=[[Academic Press]]|год=1982|isbn=0-12-779850-1}}
* {{SpringerEOM|first=A.M.|last=Slin'ko}}
* {{Citation |last=Springer |first=Tonny A. |title=Jordan algebras and algebraic groups |year=1998 |series=Classics in Mathematics |publisher=[[Springer-Verlag]] |doi=10.1007/978-3-642-61970-0 |isbn=978-3-540-63632-8 |mr=1490836 |zbl=1024.17018 |author-link=T. A. Springer}}
* {{Citation |last=Springer |first=Tonny A. |title=Octonions, Jordan algebras and exceptional groups |year=2000 |url=https://books.google.com/books?isbn=3540663371 |series=Springer Monographs in Mathematics |place=Berlin, New York |publisher=[[Springer-Verlag]] |doi=10.1007/978-3-662-12622-6 |isbn=978-3-540-66337-9 |mr=1763974 |last2=Veldkamp |first2=Ferdinand D.}}
* {{Citation |last=Upmeier |first=H. |title=Symmetric Banach manifolds and Jordan C∗-algebras |volume=104 |year=1985 |series=North-Holland Mathematics Studies |isbn=0444876510}}
* {{Citation |last=Upmeier |first=H. |title=Jordan algebras in analysis, operator theory, and quantum mechanics |volume=67 |year=1987 |series=CBMS Regional Conference Series in Mathematics |publisher=American Mathematical Society |isbn=082180717X}}

== Дальнейшее чтение ==
* {{Citation |last=Knus |first=Max-Albert |title=The book of involutions |volume=44 |year=1998 |series=Colloquium Publications |others=With a preface by J. Tits |place=Providence, RI |publisher=[[American Mathematical Society]] |isbn=0-8218-0904-0 |zbl=0955.16001 |last2=Merkurjev |first2=Alexander |last3=Rost |first3=Markus |last4=Tignol |first4=Jean-Pierre |author-link2=Alexander Merkurjev |author-link3=Markus Rost |author-link4=Jean-Pierre Tignol}}

== Ссылки ==
* [http://planetmath.org/jordanalgebra Иорданова алгебра] в PlanetMath
* [http://planetmath.org/jordanbanachandjordanliealgebras Алгебры Йордана-Банаха и Йордана-Ли] на PlanetMath

{{Внешние ссылки}}
{{Нерабочие сноски|дата=2025-09-18}}

[[Категория:Неассоциативные алгебры]]
[[Категория:Страницы с непроверенными переводами]]