Просмотр кода страницы Дифференциальная алгебра

'''Дифференциальная алгебра''' — теория, в которой [[Дифференциальное уравнение|дифференциальные уравнения]] изучаются посредством [[Общая алгебра|общеалгебраических]] структур — [[кольцо (математика)|колец]], [[поле (алгебра)|полей]] и [[Алгебра над кольцом|алгебр над полем]] — снабжаемых ''дифференцированием'' — унарной операцией, удовлетворяющей [[Правило произведения|правилу произведения]]. Естественный пример дифференциального поля — поле рациональных функций одной комплексной переменной <math>C(t)</math>, операции дифференцирования соответствует дифференцирование по <math>t</math>. 

Разработана [[Ритт, Джозеф|Джозефом Риттом]] (1950) и его учеником {{нп5|Колчин, Эллис|Эллисом Колчином||Ellis Kolchin}}<ref name=DA>''Ritt, Joseph Fels'' (1950). Differential Algebra. New York: AMS Colloquium Publications (volume 33).</ref><ref>{{Citation | last1=Kolchin | first1=E. R. | title=Differential algebraic groups | url=https://books.google.com/books?isbn=0124176402 | publisher=[[Academic Press]] | location=Boston, MA | series=Pure and Applied Mathematics | isbn=978-0-12-417640-9 | mr=776230 | year=1985 | volume=114}}</ref>, в связи с чем фигурирует также как ''теория Ритта — Колчина'' (для того чтобы отличать от дифференциальной алгебры в широком смысле — изучения феномена дифференцирования средствами общей алгебры, например, такими как [[Алгебра Ли|алгебры Ли]], {{iw|Алгебра Вейля|алгебры Вейля|en|Weyl algebra}}, [[кэлеров дифференциал|кэлеровы дифференциалы]], {{iw|D-модуль|<math>D</math>-модули|en|D-module}}).

== Определения ==
{{Якорь|Дифференциальное кольцо}}''Дифференциальное кольцо'' — кольцо <math>R</math>, снабжённое одним или несколькими эндоморфизмами (''дифференцированиями''):
: <math>\partial\colon R \to R</math>,
удовлетворяющими [[Правило произведения|правилу произведения]]:
: <math>\partial (r_1 r_2)=(\partial r_1) r_2 + r_1 (\partial r_2)</math>
для любых <math>r_1, r_2 \in R</math>. (В некоммутативном кольце правило <math>d(xy) = x dy + y dx</math> может не выполняться.) В безындексной форме записи: если <math>M\colon R \times R \to R</math> — умножение в кольце, то правило произведения примет вид:
: <math>\partial \circ M =
M \circ (\partial \otimes \operatorname{id}) +
M \circ (\operatorname{id} \otimes \partial)</math>
где <math>f\otimes g</math> — отображение пары <math>(x,y)</math> в пару <math>(f(x),g(y))</math>.

{{Якорь|Дифференциальное поле}}''Дифференциальное поле'' — это поле <math>K</math>, снабжённое дифференцированием, которое должно подчиняться правилу Лейбница в форме:
: <math>\partial(uv) = u \,\partial v + v\, \partial u</math>

(так как умножение в поле коммутативно) и также должно быть [[Дистрибутивность|дистрибутивно]] относительно сложения:
: <math>\partial (u + v) = \partial u + \partial v</math>

{{Якорь|Поле констант}}''Полем констант'' дифференциального поля <math>K</math> называется <math> k = \{u \in K | \partial(u) = 0\}</math>.

{{Якорь|Дифференциальная алгебра над полем}}''Дифференциальной алгеброй над полем'' <math>K</math> называется <math>K</math>-алгебра <math>A</math>, в которой дифференцирования коммутируют с полем, то есть для любых <math>k \in K</math> и <math>x \in A</math>:
: <math>\ \partial (kx) = k \partial x</math>.
В безындексной форме записи: если <math>\eta \colon K\to A</math> — морфизм колец, определяющий умножение на скаляры в алгебре, то:
: <math>\partial \circ M \circ (\eta \times \operatorname{Id}) =
M \circ (\eta \times \partial)</math>

Как и в остальных случаях, дифференцирование должно удовлетворять правилу Лейбница относительно умножения в алгебре и быть линейным относительно сложения. То есть для любых <math>a,b \in K</math> и <math>x,y \in A</math>:
: <math>\partial (xy) = (\partial x) y + x(\partial y)</math>
и
: <math>\partial (ax+by) = a\,\partial x + b\,\partial y</math>.

Дифференцирование [[алгебра Ли|алгебры Ли]] <math>L</math> — линейное отображение <math>\delta \colon L \to L</math>, удовлетворяющее правилу Лейбница:
: <math>\ \delta([a,b]) = [a,\delta(b)] + [\delta(a),b]</math>.

Для любого <math>a \in L</math> оператор <math>\operatorname{ad}(a)</math> — дифференцирование на <math>L</math>, что следует из [[тождество Якоби|тождества Якоби]]. Любое такое дифференцирование называется ''внутренним''.

== Примеры ==
Если <math>A</math> — [[Алгебра над кольцом|алгебра с единицей]], то <math>\partial(1)=0</math>, так как <math>\partial(1) = \partial(1\times 1) = \partial(1) + \partial(1)</math>. Например, в дифференциальных полях [[характеристика поля|характеристики]] 0 рациональные элементы образуют подполе в поле констант.

Любое поле можно рассматривать как поле констант.

В поле <math>\mathbb{Q}(t)</math> существует естественная структура дифференциального поля, определяемая равенством <math>\partial(t)=1</math>: из аксиом поля и дифференцирования следует, что это будет дифференцирование по <math>t</math>. Например, из коммутативности умножения и правила Лейбница следует, что:
: <math>\partial(u^2) = u \partial(u) + \partial(u) u = 2 u \partial(u)</math>.

В дифференциальном поле <math>\mathbb{Q}(t)</math> нет решения дифференциального уравнения <math>\partial(u) = u </math>, но можно расширить его до поля, содержащего функцию <math>e^t</math>, имеющего решение этого уравнения.

Дифференциальное поле, имеющее решение для любой системы дифференциальных уравнений, называется [[дифференциально замкнутое поле|дифференциально замкнутым полем]]. Такие поля существуют, хотя они и не возникают естественным образом в алгебре или геометрии. Любое дифференциальное поле (ограниченной [[кардинальное число|мощности]]) вкладывается в большее дифференциально замкнутое поле. Дифференциальные поля изучаются в [[дифференциальная теория Галуа|дифференциальной теории Галуа]].

Естественные примеры дифференцирований — [[частная производная|частные производные]], [[производная Ли|производные Ли]], [[производная Пиншерле]] и [[Коммутатор операторов|коммутатор]] относительно заданного элемента алгебры. Все эти примеры тесно связаны общей идеей дифференцирования.

== Кольцо псевдодифференциальных операторов ==
Дифференциальные кольца и дифференциальные алгебры часто изучаются с помощью кольца [[псевдодифференциальный оператор|псевдодифференциальных операторов]] над ними:

: <math>R((\xi^{-1})) = \left\{ \sum_{n<\infty} r_n \xi^n | r_n \in R \right\}</math>.

Умножение в этом кольце определяется как:
: <math>(r\xi^m)(s\xi^n) =
\sum_{k=0}^m r (\partial^k s) {m \choose k} \xi^{m+n-k}</math>,

где <math>{m \choose k}</math> — [[биномиальный коэффициент]]. Имеет место тождество:
: <math>\xi^{-1} r = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n (\partial^n r) \xi^{-1-n}</math>
следующее из:
: <math>{-1 \choose n} = (-1)^n</math> и <math>r \xi^{-1} = \sum_{n=0}^\infty \xi^{-1-n} (\partial^n r)</math>.

== Градуированное дифференцирование ==
Для [[градуированная алгебра|градуированной алгебры]] <math>A</math> однородное линейное отображение <math>D</math> (<math>d = \left| D \right|</math>) называется ''однородной производной'', если
<math>D(ab)=D(a)b+\epsilon^{|a||D|}aD(b)</math> (<math>\epsilon = \pm1</math>) при действии на однородные элементы <math>A</math>. ''Градуированная производная'' — сумма однородных производных с одинаковым <math>\epsilon</math>. Если <math>\epsilon = 1</math>, определение совпадает с обычным дифференцированием.

Если <math>\epsilon = -1</math>, то <math>D(ab)=D(a)b+(-1)^{|a|}aD(b)</math>, для нечётных <math>\left| D \right|</math>. Такие эндоморфизмы называются ''антипроизводными''.

Примеры антипроизводных — [[Внешняя производная|внешняя]] и [[Внутренняя производная|внутренняя]] производная [[дифференциальная форма|дифференциальных форм]].

Градуированные производные [[супералгебра|супералгебр]] (то есть <math> \Z_2 </math>-градуированных алгебр) часто называются ''суперпроизводными''.

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
* ''Buium'' Differential Algebra and Diophantine Geometry, — Hermann (1994).
* ''И. Капланский'' Дифференциальная алгебра, — Hermann (1957).
* ''Е. Колчин'' Дифференциальная алгебра и алгебраические группы, — 1973.
* ''Д. Маркер'' Теория моделей для дифференциальных полей, Теория моделей полей, Lecture notes in Logic 5, D. Marker, M. Messmer and A. Pillay, Springer Verlang (1996).
* ''А. Магид'' Лекции по дифференциальной теории Галуа, — Американское мат. общество, 1994.
* [http://www.math.uic.edu/~marker/ Домашняя страница Давида Маркера] содержит несколько статей о дифференциальных полях.

{{оформить литературу|дата=2026-03-27}}
{{Разделы математики}}

[[Категория:Дифференциальная алгебра]]