Просмотр кода страницы Астроида

[[Файл:HypocycloidK4.gif|right|thumb|Астроида]]
'''Астро́ида''' (от {{lang-el|αστρον}} — ''звезда'' и {{lang-el2|ειδος}} — ''вид'', то есть звездообразная){{sfn|Александрова|2008|с=17}} — [[плоская кривая]], описываемая точкой [[окружность|окружности]] радиуса <math>r</math>, катящейся по внутренней стороне окружности радиуса <math>R=4r</math>. Иначе говоря, астроида — это [[гипоциклоида]] с модулем <math>k=4</math>.

== История ==
Название кривой в форме «Astrois» предложил австрийский астроном [[Литров, Йозеф Иоганн|Йозеф Иоганн фон Литров]] в 1838 г.<ref>{{книга|автор=[[Литров, Йозеф Иоганн|J. J. v. Littrow]]|заглавие=Kurze Anleitung zur gesammten Mathematik|часть=§99. Die Astrois|год=1838|место=Wien|pages=299|ссылка часть=https://books.google.com/books?id=AERmAAAAcAAJ&pg=PA299}}</ref><ref>{{книга|автор=Loria, Gino|заглавие=Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte|ссылка=https://archive.org/details/speziellealgebr00lorigoog|год=1902|место=Leipzig|pages=[https://archive.org/details/speziellealgebr00lorigoog/page/n250 224]}}</ref>{{sfn|Александрова|2008|с=17}}

== Уравнения ==
Уравнение в декартовых прямоугольных координатах:
: <math>x^{2/3}+y^{2/3}=R^{2/3}</math>

Параметрическое уравнение:<ref>Уравнение в прямоугольных координатах следует из параметрического уравнения и [[Основное тригонометрическое тождество|основного тригонометрического тождества]]. Вывод параметрического уравнения такой. Возьмём уравнение [[гипоциклоида|гипоциклоиды]], подставим k=4. Синус/косинус тройного угла разложим по формуле синуса/косинуса суммы, то же для синуса/косинуса двойного угла. Учтём R=4r и получим наши уравнения.</ref>
: <math>x = R\cos^3 t; \quad y = R\sin^3 t</math>

[[Подерная система координат|Подерное уравнение]]{{sfn|''Lawrence J. D.'' A Catalog of Special Plane Curves, 1972|loc=1.1. Coordinate Systems, p. 4}}:
: <math>r^2 + 3p^2 = a^2.</math>

Астроида также является [[алгебраическая кривая|алгебраической кривой]] 1 рода (и шестого порядка). Уравнение в алгебраическом виде:
: <math>(x^{2}+y^{2}-R^{2})^{3}+27R^{2}x^{2}y^{2}=0</math>

== Свойства ==
[[Файл:Astroid1.gif|right|thumb|Астроида как огибающая]]
[[Файл:Evolute of ellipse.gif|right|thumb|Вытянутая астроида как эволюта эллипса]]
[[Файл:Evolute of astroid.gif|thumb|right|Эволюта астроиды]]
* Имеются четыре [[касп]]а. 
* Длина дуги от точки с 0 до <math>t\le \pi/2</math>
::<math>l=\frac32R\sin^2t</math>
* Длина всей кривой <math>6R</math>. 
* Радиус кривизны:
::<math>r(t)=\frac32R\sin2t</math>
* Площадь, ограниченная кривой:
::<math>S=\frac{3}{8} \pi R^2</math>
* Объём тела вращения относительно любой координатной оси:
::<math>V=\pi \int \limits_{-R}^{R}\left (R^{2/3} - x^{2/3}\right )^3 \, dx = \frac {32}{105}\,\pi R^3 </math>
* Астроида является [[огибающая|огибающей]] семейства отрезков постоянной длины, концы которых расположены на двух взаимно перпендикулярных прямых{{sfn|Александрова|2008|с=17}}. 
* [[Эволюта]] астроиды подобна ей, но вдвое больше неё и повёрнута относительно неё на 45°.
* Астроида (вытянутая вдоль оси) является [[Эволюта|эволютой]] [[эллипс]]а{{sfn|Александрова|2008|с=17}}. В этом случае параметрическое выражение имеет вид:
*: <math>x = \frac{a^2-b^2}{a}\cos^3 t; \quad y = \frac{b^2-a^2}{b}\sin^3 t</math>
:*Неопределённый интеграл правой части последнего уравнения является интегралом от [[дифференциальный бином|дифференциального бинома]] и равен
::: <math> \int b\bigg [1-\bigg (\frac xa \bigg )^{\frac 23} \bigg ]^{\frac 32}dx = \frac{1}{16}b \left ( \sqrt{1-\left (\frac{x}{a} \right )^  {\frac{2}{3}}}  \left ( -3a \sqrt[3]{\frac{x}{a}}  + x \left ( 14 -8\left ( \frac{x}{a}\right )^{\frac{2}{3}}   \right ) \right ) + 3a \arcsin\left ( \sqrt[3]{\frac{x}{a}} \right ) \right ) + C </math>
::Это выражение полезно при вычислении площадей элементов фигуры.

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
* ''Савёлов А. А.'' Плоские кривые: Систематика, свойства, применения. М.: Физматгиз, 1960. 293 с. Переиздана в 2002 году, ISBN 5-93972-125-7.
* {{книга
 |автор = Александрова Н. В.
 |заглавие = История математических терминов, понятий, обозначений: Словарь-справочник
 |издание = 3-е изд., испр
 |место = М.
 |издательство = [[ЛКИ (издательство)|ЛКИ]]
 |год = 2008
 |страниц = 248
 |isbn = 978-5-382-00839-4
 |ref = Александрова
}}
* {{h|''Lawrence J. D.'' A Catalog of Special Plane Curves, 1972|3=
''Lawrence J. D.'' A Catalog of Special Plane Curves. New York: Dover Publications, Inc., 1972. 218 p.
}}

{{Кривые}}

[[Категория:Алгебраические кривые]]