Астроида

Астроида

Астро́ида (от греч. αστρον — звезда и ειδος — вид, то есть звездообразная)Шаблон:Sfn — плоская кривая, описываемая точкой окружности радиуса <math>r</math>, катящейся по внутренней стороне окружности радиуса <math>R=4r</math>. Иначе говоря, астроида — это гипоциклоида с модулем <math>k=4</math>.

История

Название кривой в форме «Astrois» предложил австрийский астроном Йозеф Иоганн фон Литров в 1838 г.<ref>Шаблон:Книга</ref><ref>Шаблон:Книга</ref>Шаблон:Sfn

Уравнения

Уравнение в декартовых прямоугольных координатах:

<math>x^{2/3}+y^{2/3}=R^{2/3}</math>

Параметрическое уравнение:<ref>Уравнение в прямоугольных координатах следует из параметрического уравнения и основного тригонометрического тождества. Вывод параметрического уравнения такой. Возьмём уравнение гипоциклоиды, подставим k=4. Синус/косинус тройного угла разложим по формуле синуса/косинуса суммы, то же для синуса/косинуса двойного угла. Учтём R=4r и получим наши уравнения.</ref>

<math>x = R\cos^3 t; \quad y = R\sin^3 t</math>

Подерное уравнениеШаблон:Sfn:

<math>r^2 + 3p^2 = a^2.</math>

Астроида также является алгебраической кривой 1 рода (и шестого порядка). Уравнение в алгебраическом виде:

<math>(x^{2}+y^{2}-R^{2})^{3}+27R^{2}x^{2}y^{2}=0</math>

Свойства

Астроида как огибающая

Вытянутая астроида как эволюта эллипса

Эволюта астроиды

• Имеются четыре каспа.
• Длина дуги от точки с 0 до <math>t\le \pi/2</math>

<math>l=\frac32R\sin^2t</math>

• Длина всей кривой <math>6R</math>.
• Радиус кривизны:

<math>r(t)=\frac32R\sin2t</math>

• Площадь, ограниченная кривой:

<math>S=\frac{3}{8} \pi R^2</math>

• Объём тела вращения относительно любой координатной оси:

<math>V=\pi \int \limits_{-R}^{R}\left (R^{2/3} - x^{2/3}\right )^3 \, dx = \frac {32}{105}\,\pi R^3 </math>

• Астроида является огибающей семейства отрезков постоянной длины, концы которых расположены на двух взаимно перпендикулярных прямыхШаблон:Sfn.
• Эволюта астроиды подобна ей, но вдвое больше неё и повёрнута относительно неё на 45°.
• Астроида (вытянутая вдоль оси) является эволютой эллипсаШаблон:Sfn. В этом случае параметрическое выражение имеет вид:

  <math>x = \frac{a^2-b^2}{a}\cos^3 t; \quad y = \frac{b^2-a^2}{b}\sin^3 t</math>

• Неопределённый интеграл правой части последнего уравнения является интегралом от дифференциального бинома и равен

<math> \int b\bigg [1-\bigg (\frac xa \bigg )^{\frac 23} \bigg ]^{\frac 32}dx = \frac{1}{16}b \left ( \sqrt{1-\left (\frac{x}{a} \right )^ {\frac{2}{3}}} \left ( -3a \sqrt[3]{\frac{x}{a}} + x \left ( 14 -8\left ( \frac{x}{a}\right )^{\frac{2}{3}} \right ) \right ) + 3a \arcsin\left ( \sqrt[3]{\frac{x}{a}} \right ) \right ) + C </math>

Это выражение полезно при вычислении площадей элементов фигуры.

Литература

• Савёлов А. А. Плоские кривые: Систематика, свойства, применения. М.: Физматгиз, 1960. 293 с. Переиздана в 2002 году, ISBN 5-93972-125-7.
• Шаблон:Книга
• Шаблон:H