Импульс
Ошибка скрипта: Модуля «hatnote» не существует.{{#if: | }} Шаблон:Физическая величина
И́мпульс, коли́чество движе́ния — векторная физическая величина, являющаяся мерой механического движения тела.
В классической механике импульс тела равен произведению массы <math>m</math> этого тела на его скорость <math>\vec{v},</math> направление импульса совпадает с направлением вектора скорости:
- <math>\vec{p} = m\vec{v}.</math>
В релятивистской физике импульс вычисляется как
- <math>\vec{p}=\frac{m\vec{v}}{\sqrt{1-v^2/c^2}},</math>
где <math>c</math> — скорость света в вакууме; в пределе малых <math>v</math> формула переходит в классическую.
Важнейший физический закон, в котором фигурирует импульс тела, — второй закон Ньютона:
- <math> \frac{\mbox{d}\vec{p}}{\mbox{d}t} = \vec{F},</math>
здесь <math>t</math> — время, <math>\vec{F}</math> — сила, приложенная к телу.
В записи через импульс (в отличие от <math>\vec{F} = m\vec{a},</math> <math>\vec{a}</math> — ускорение) закон применим не только в классической, но и в релятивистской механике.
В самом общем виде, определение звучит: импульс — это аддитивный интеграл движения механической системы, связанный согласно теореме Нётер с фундаментальной симметрией — однородностью пространства.
Понятие «импульс» имеет обобщения в теоретической механике, для случая наличия электромагнитного поля (как для частицы в поле, так и для самого поля), а также в квантовой механике.
В немецком и английском языках существуют близко к русскому термину звучащие слова (нем. Impuls, англ. Шаблон:Lang-en2). Но если в немецкоязычной физической литературе под Impuls'ом понимается то же, что и в русскоязычной, то в англоязычном научном мире закрепилось представление об impulse как о действии силы на тело в течение некоторого времени, что в русском языке получило отдельное составное определение импульс силы (см. раздел «История термина» ниже). Переводом же термина «импульс» является английское слово англ. Шаблон:Lang-en2.
История появления термина
Средневековые натурфилософы, в соответствии с учением Аристотеля, полагали, что для поддержания движения непременно требуется некоторая сила, без силы движение прекращается. Часть учёных выдвинула возражение против этого утверждения: почему брошенный камень продолжает двигаться, хотя связь с силой руки утрачена?
Для ответа на подобные вопросы Жан Буридан (XIV век) изменил ранее известное в философии понятие «импетус». По Буридану, летящий камень обладает «импетусом», который сохранялся бы в отсутствие сопротивления воздуха. При этом «импетус» прямо пропорционален скорости. В другом месте он пишет о том, что тела с бо́льшим весом способны вместить больше импетуса.
В первой половине XVII века Рене Декартом было введено понятие «количества движения». Он предположил, что сохраняется количество движения не только одного тела, изолированного от внешних воздействий, но и любой системы тел, взаимодействующих лишь друг с другом. Физическое понятие массы в то время ещё не было формализовано — и он определил количество движения как произведение «величины тела на скорость его движения». Под скоростью Декарт подразумевал абсолютную величину (модуль) скорости, не учитывая её направление. Поэтому теория Декарта согласовывалась с опытом лишь в некоторых случаях (например, Валлис, Рен и Гюйгенс в 1678 году использовали её для исследования абсолютно упругого столкновения в системе центра масс).
Валлис в 1668 году первым предложил считать количество движения не скалярной, а направленной величиной, учитывая направления с помощью знаков «плюс» и «минус»<ref>Григорьян А. Т. Механика от античности до наших дней. — М.: Наука, 1974.</ref>. В 1670 году он окончательно сформулировал закон сохранения количества движения. Экспериментальным доказательством закона послужило то, что новый закон позволял рассчитывать неупругие удары, а также удары в любых системах отсчёта.
Закон сохранения количества движения был теоретически доказан Исааком Ньютоном через третий и второй закон Ньютона. Согласно Ньютону, «количество движения есть мера такового, устанавливаемая пропорционально скорости и массе».
Слово «импульс» произошло от латинского лат. impulsus (в переводе «толчок»<ref>Дворецкий И. Х. Латинско-русский словарь М., 1976.</ref>) и первоначально означало импульс силы <math>Ft</math> <ref>Хвольсон О. Д. Курс физики Том 1. М.-Л., 1933.</ref>. Такое же значение имеет слово англ. Шаблон:Lang-en2 в английском языке. Но в немецком языке слово нем. Impuls стало обозначать количество движения <math>mv</math>. В современной русской терминологии словом «импульс» обозначается количество движения.
Формальное абстрактное определение
Импульсом называется сохраняющаяся физическая величина, связанная с однородностью пространства (то есть инвариант относительно трансляций).
Из свойства однородности пространства следует независимость лагранжиана замкнутой системы от её положения в пространстве: для хорошо изолированной системы её поведение не зависит от того, в какое место пространства она помещена. По теореме Нётер из этой однородности следует сохранение некоторой физической величины, которую и называют импульсом.
В разных разделах физики применительно к реальным задачам даются более конкретные определения импульса, с которыми можно работать и производить расчёты.
Определения импульса тела в механике
Классическая механика
В классической механике полным импульсом системы материальных точек называется векторная величина, равная сумме произведений масс материальных точек на их скорости:
- <math>\vec p=\sum_{i}m_i \vec{v}_i.</math>
Соответственно, величина <math>\vec p_i=m_i \vec{v}_i</math> называется импульсом одной материальной точки. Это векторная величина, направленная в ту же сторону, что и скорость частицы. Единицей измерения импульса в Международной системе единиц (СИ) является килограмм-метр в секунду (кг·м/с).
Импульс тела конечных размеров находится путём его мысленного разбиения на малые части, которые можно считать материальными точками, с последующим интегрированием по ним:
- <math>\vec p=\int \rho(x,y,z)\vec{v}(x,y,z)dx dy dz.</math>
Стоящее под интегралом произведение <math>\vec{s} = \rho\vec{v}</math> называют плотностью импульса (<math>\rho</math> — просто плотность).
Релятивистская механика
В релятивистской механике импульсом системы материальных точек называется величина:
- <math>\vec p = \sum_i \frac{m_i \vec v_i}{\sqrt{1-v_i^2/c^2}},</math>
где <math>m_i</math> — масса <math>i</math>-й материальной точки, <math>\vec v_i</math> — её скорость.
Также вводится четырёхмерный импульс, который для одной материальной точки массой <math>m</math> определяется как:
- <math>p_{\mu}=(E/c,\vec p)=\left(\frac{m c}{\sqrt{1-v^2/c^2}},\frac{m \vec v}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\right).</math>
На практике часто применяются соотношения между массой <math>m</math>, импульсом <math>\mathbf{p}</math> и энергией <math>E</math> частицы:
- <math>E^2-\mathbf{p}^2c^2=m^2c^4, \qquad\qquad \mathbf{p} = \frac{E}{c^2}\, \mathbf{v}.</math>
Свойства импульса
- Аддитивность. Это свойство означает, что импульс механической системы, состоящей из материальных точек, равен сумме импульсов всех материальных точек, входящих в системуШаблон:Sfn.
- Инвариантность абсолютной величины импульса по отношению к повороту ИСОШаблон:Sfn. При этом в общем случае при смене ИСО инвариантности импульса или его модуля нет ни в релятивистской механике, ни в классическом пределе.
- Причиной изменения импульса со временем является сила (по второму закону Ньютона, <math>\mbox{d}\vec{p}/\mbox{d}t = \vec{F}</math>).
- Сохранение. Импульс системы, на которую не действуют никакие внешние силы (или они скомпенсированы), сохраняется во времени: <math>\mbox{d}\vec{p}/\mbox{d}t = 0</math> (см. статью Закон сохранения импульса).
Сохранение импульса следует из второго и третьего законов Ньютона: записав второй закон для каждой из составляющих систему материальных точек, представив силу, действующую на каждую точку, как внешнюю <math>\vec{F}_{i,ext}</math> плюс силу взаимодействия со всеми остальными точками, затем просуммировав, получим:
- <math>\frac{d\vec p}{dt} = \sum_i\frac{d\vec{p}_i}{dt} = \sum_i \vec{F}_i = \sum_i \left(\vec{F}_{i, ext} + \sum_{j,j\ne j}\vec{F}_{i, j}\right) = \sum_i \vec{F}_{i, ext} + \sum_i\sum_{j,j\ne i} F_{i,j}.</math>
Первое слагаемое равно нулю из-за компенсации внешних сил, а второе — вследствие третьего закона Ньютона (слагаемые <math>\vec{F}_{a,b}</math> и <math>\vec{F}_{b,a}</math> в двойной сумме попарно уничтожают друг друга).
Импульс не изменяется при взаимодействиях, изменяющих лишь механические характеристики системы. Это свойство инвариантно по отношению к преобразованиям ГалилеяШаблон:Sfn. Свойства сохранения кинетической энергии, сохранения импульса и второго закона Ньютона достаточно для получения математического выражения импульсаШаблон:Sfn<ref>Сорокин В. С. «Закон сохранения движения и мера движения в физике» Шаблон:Wayback // УФН, 59, с. 325—362, (1956)</ref>.
При наличии электромагнитного взаимодействия между материальными точками третий закон Ньютона может не выполняться — и тогда сохранения суммы импульсов точек не будет. В таких случаях, особенно в релятивистской механике, удобнее включать в понятие «система» не только совокупность точек, но и поле взаимодействия между ними. Соответственно, будут учтены не только импульсы составляющих систему частиц, но и импульс поля взаимодействия. При этом вводится величина — тензор энергии-импульса, которая в полной мере удовлетворяет законам сохранения.
Что касается 4-импульса, то для системы не взаимодействующих материальных точек их совокупный 4-импульс равен сумме по всем частицам. При наличии взаимодействия такое суммирование теряет смысл.
Обобщённый импульс
В теоретической механике в целом
В теоретической механике обобщённым импульсом называется частная производная лагранжиана системы по обобщённой скорости:
- <math> p_i = {{\partial {\mathcal L}} \over {\partial \dot{q}_i}}.</math>
Обобщенный импульс, как и не обобщённый, может обозначаться буквой <math>\vec{p};</math> обычно из контекста ясно, о чём идёт речь.
Размерность обобщённого импульса зависит от размерности обобщённой координаты. Если размерность <math>q_i</math> — длина, то <math>p_i</math> будет иметь размерность обычного импульса, если же координатой <math>q_i</math> выступает угол (величина безразмерная), то <math>p_i</math> обретёт размерность момента импульса. Если лагранжиан системы не зависит от некоторой обобщённой координаты, то из уравнений Лагранжа <math>dp_i/dt=0.</math>
Если обобщённая координата — это обычная координата (и тогда её производная по времени — просто скорость), а внешних полей нет, обобщённый импульс тождественен обычному. Так, для свободной частицы функция Лагранжа имеет вид:
- <math>\mathcal L=-mc^2 \sqrt{1-v^2/c^2}</math>, отсюда: <math>\vec {p}= m \vec {v}/\sqrt{1-v^2/c^2}</math>.
Для частицы в электромагнитном поле
В электромагнитном поле лагранжиан частицы будет отличаться от приведённого выше наличием дополнительных членов, а именно <math>\mathcal L=-mc^2 \sqrt{1-v^2/c^2}-q\varphi + q\vec{v}\cdot\vec{A}.</math> Соответственно, обобщённый импульс частицы равен (в системе СИ):
- <math>\mathbf {P} = \frac{m \mathbf {v}}{ \sqrt{1-v^2/c^2}} + q \mathbf A,</math>
где <math>\mathbf A</math> — векторный потенциал электромагнитного поля, <math>q</math> — заряд частицы; в выражении для <math>\mathcal L</math> фигурировал также скалярный потенциал <math>\varphi</math>. Этот импульс, обозначенный <math>\mathbf{P}</math> и связанный с обычным как <math>\mathbf{P} = \mathbf{p} + q\mathbf{A}</math>, иначе именуется каноническим, он сохраняется при наложении магнитного поля<ref name="kan_imp">Г. А. Миронова, Н. Н. Брандт, А. М. Салецкий, О. П. Поляков, О .О. Трубачев Введение в квантовую физику в вопросах и задачах. М.: Физфак МГУ, 2012. – 320 с., см. раздел «Канонический импульс» Шаблон:Wayback.</ref>.
Импульс электромагнитного поля
Шаблон:Main Электромагнитное поле, как и любой другой материальный объект, обладает импульсом, который можно найти, проинтегрировав вектор Пойнтинга по объёму. Для случая вакуума:
- <math> \mathbf p = \frac{1}{c^2}\int \mathbf S dV = \frac{1}{c^2} \int [\mathbf E \times \mathbf H] dV</math> (в системе СИ),
а для среды <math>c</math> заменяется на скорость света <math>c_m</math> в данной среде. Существованием импульса у электромагнитного поля объясняется, например, такое явление как давление электромагнитного излучения. Здесь <math>\mathbf E</math> и <math>\mathbf H</math> — напряжённость электрического и напряжённость магнитного поля.
Импульс в квантовой механике
Определение через оператор
В квантовой механике оператором импульса частицы называют оператор — генератор группы трансляций. Это эрмитов оператор, собственные значения которого отождествляются с каноническим (при отсутствии магнитного поля — обычным) импульсом системы частиц. В координатном представлении для системы нерелятивистских частиц он имеет вид
- <math>\hat{\mathbf{P}}=\sum_j\hat{\mathbf{P}}_j=\sum_j -i\hbar\nabla_j</math>,
где <math>\nabla_j</math> — оператор набла, соответствующий дифференцированию по координатам <math>j</math>-ой частицы.
Гамильтониан системы выражается через оператор импульса:
- <math>\hat{H} = \sum_i \frac{1}{2m_i}\hat{\mathbf{P}}_i^2 + U(\mathbf{r_1},\dots)</math>.
Для замкнутой системы (потенциальная энергия <math>U = 0</math>) оператор импульса коммутирует с гамильтонианом, и импульс сохраняется.
Определение через волны де Бройля
Формула де Бройля связывает канонический импульс и длину волны де Бройля рассматриваемого объекта<ref name="kan_imp"/>. Акцентуация того, что импульс «канонический», зачастую избыточна, так как ситуация с присутствием магнитного поля в данном контексте анализируется редко (ниже также подразумевается, что поля нет).
Модуль импульса обратно пропорционален длине волны <math>\lambda:</math>
- <math>p = \frac h \lambda</math>,
где <math>h</math> — постоянная Планка; этот же символ в перечёркнутом виде (<math>\hbar</math>) обозначает редуцированную постоянную Планка (<math>\hbar = h/2\pi</math>).
Для частиц не очень высокой энергии, движущихся со скоростью <math>v\ll c</math>, модуль импульса равен <math>p=mv</math> (где <math>m</math> — масса частицы), и
- <math>\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{mv}</math>.
Следовательно, длина волны де Бройля тем меньше, чем больше модуль импульса.
В векторном виде это записывается как
- <math>\vec p = \frac h {2 \pi} \vec k = \hbar \vec k</math>,
где <math>\vec k</math> — волновой вектор.
Как и в классической механике, в квантовой имеет место сохранение импульса в изолированных системах<ref>Шаблон:Нп5 Введение в физику высоких энергий. — М., Мир, 1975. — c. 94</ref><ref>Шаблон:Книга</ref>. В тех явлениях, когда проявляются корпускулярные свойства частиц, их импульс записывается «классически» как <math>p=mv</math>, а если проявляются волновые свойства, действует<ref>Шаблон:Книга</ref> связь <math>p=h\lambda^{-1}</math>. При этом, как и в классической механике, сохранение импульса выступает следствием симметрии относительно сдвигов по координатам<ref>Шаблон:Книга</ref>.
Импульс в гидродинамике
В гидродинамике вместо массы материальной точки рассматривают массу единицы объёма, то есть плотность жидкости или газа <math>\rho.</math> При этом вместо импульса фигурирует вектор плотности импульса, совпадающий по смыслу с вектором плотности потока массы
- <math>\vec s = \rho\vec v.</math>
Поскольку в турбулентном потоке характеристики состояния вещества (в том числе плотность и скорость) подвержены хаотическим пульсациям, физический интерес представляют осреднённые величины. Влияние гидродинамических флуктуаций на динамику потока учитывается методами статистической гидромеханики, в которой уравнения движения, описывающие поведение средних характеристик потока в соответствии с методом О. Рейнольдса получаются путём осреднения уравнений Навье-Стокса<ref name="Monin">Монин А. С., Яглом А. М. Статистическая гидромеханика. Часть 1. — Шаблон:М.: Наука, 1965. — 639 с.</ref>.
Если в согласии с методом Рейнольдса представить <math>\rho = \overline {\rho} + \rho' ,</math> <math>\vec v = \overline {\vec v} + \vec v' ,</math> где черта сверху — знак осреднения, а штрих — отклонения от среднего, то вектор осреднённой плотности импульса приобретёт вид:
- <math>\ \overline{\vec s} = \overline{\rho \vec v}=\overline{\rho}~\overline{ \vec v} + \vec S,</math>
где <math>\ \vec S = \overline{\rho' \vec v'} </math> — вектор плотности флуктуационного потока массы (или «плотность турбулентного импульса»<ref name="Monin"/>).
Импульсное представление в квантовой теории поля
В квантовой теории поля часто употребляется импульсное представление на основе использования преобразования Фурье. Его преимуществами являются: удобство описания физических систем при помощи энергий и импульсов, а не при помощи пространственно-временных координат; более компактная и наглядная структура динамических переменных<ref>Боголюбов Н. Н., Ширков Д. В. Квантовые поля. — М., Наука, 1980. — с. 25</ref>.