Функция Дирихле

Графическое представление функции Дирихле: две параллельные и, казалось бы, сплошные линии. Синяя (или красная) линия представляет собой рациональные (или иррациональные) числа, плотно расположенные в вещественных числах

Функция Дирихле́ — функция, принимающая значение единица на рациональных числах и ноль — на иррациональных, стандартный пример всюду разрывной функции. Введена в 1829 году немецким математиком Дирихле.Шаблон:Sfn

Определение

Символически, функция Дирихле <math>D : \R \rightarrow \{0, 1\}</math> определяется следующим образом:Шаблон:Sfn

<math>D(x) = \begin{cases}

1, & x\in \mathbb Q; \\
0, & x \in \mathbb I.

\end{cases}</math>

Свойства

Принадлежит второму классу Бэра, то есть её нельзя представить как (поточечный) предел последовательности непрерывных функций, но можно представить как повторный предел последовательности непрерывных функцийШаблон:SfnШаблон:Sfn:

<math>D(x) = \lim_{m \to \infty}\lim_{n \to \infty}\cos^{2n}(m!\pi x)</math>.

Каждая точка в области определения является точкой разрыва второго рода (причём существенного).Шаблон:Sfn

Является периодической функцией, её периодом является любое рациональное число, не равное нулю; основного периода функция не имеет.Шаблон:Sfn

Не является интегрируемой в смысле Римана.Шаблон:Sfn Простая функция; измерима по отношению к мере Лебега; интеграл Лебега от функции Дирихле на любом числовом промежутке равен нулю, это следует из того, что мера Лебега множества рациональных чисел равна нулю.

Вариации и обобщения

Вариацией функции Дирихле является функция Римана, называемая также, «функцией Тома» (Thomae).

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Cite web
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга

Ссылки

• Dirichlet Function — from MathWorld