Флексагон

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Файл:Flexagon.gif
Флексагон в процессе разворачивания.

Флексагоны (от англ. Шаблон:Lang-en2 — складываться, сгибаться, гнуться и Шаблон:Lang-en2 — -угольник) — плоские модели из полосок бумаги, способные складываться и сгибаться определённым образом. При складывании флексагона становятся видны поверхности, которые ранее были скрыты в конструкции флексагона, а прежде видимые поверхности уходят внутрь.

Многие флексагоны имеют квадратную (тетрафлексагоны) или шестиугольную (гексафлексагоны) форму. Впрочем, существуют флексагоны других форм, включая прямоугольные и кольцевые.

Для различения плоскостей на секторы флексагона наносят цифры, буквы, элементы изображения или просто окрашивают в определённый цвет.

История

Первый флексагон был открыт в 1939 году английским студентом Артуром Стоуном, изучавшим тогда математику в Принстонском университете в США. Бумага формата Letter была слишком широкой и не умещалась в скоросшиватель, предназначенный для бумаги формата A4. Стоун обрезал края бумаги и из получившихся полосок стал складывать различные фигуры, одна из которых оказалась тригексафлексагоном<ref name="nkj_1970_01" /><ref name="mcintosh_story">Antony S. Conrad, Daniel K. Hartline The story of the Flexagon Шаблон:Wayback</ref>.

Вскоре был создан «Флексагонный комитет», в который вошли, кроме Стоуна, аспирант-математик Бриан Таккерман, аспирант-физик Ричард Фейнман и преподаватель математики Джон У. Тьюки<ref name="mcintosh_story" />.

К 1940 году Фейнман и Тьюки разработали теорию флексагонов, заложив тем самым основания для всех последующих исследований. Теория не была опубликована полностью, хотя отдельные её части впоследствии были открыты заново<ref name="mcintosh_story" />. Нападение на Пёрл-Харбор приостановило работу «Флексагонного комитета», а война вскоре разбросала всех четырёх его учредителей в разные стороны<ref name="gardner" />.

Популярность флексагоны получили после появления в декабрьском номере журнала «Scientific American» за 1956 год первой колонки Мартина Гарднера «Mathematical Games», посвящённой гексафлексагонам<ref>Martin Gardner's Collections of "Mathematical Games" Columns Шаблон:Wayback. Muppetlabs</ref><ref>Шаблон:Статья</ref>.

Флексагоны неоднократно были запатентованы в виде игрушек, но не получили широкого коммерческого распространения<ref>Шаблон:Cite web</ref><ref>Шаблон:Cite web</ref>.

Виды флексагонов

Поверхности флексагона могут состоять из равносторонних или равнобедренных треугольников, квадратов, пятиугольников и т. д. Флексагон может допускать появление определённого числа поверхностей; некоторые из них могут быть аномальными (т. е. включающими в себя секторы с разными цифрами). Флексагон заданной формы с заданным количеством плоскостей может быть изготовлен из разных развёрток. Более того, даже одна и та же развёртка может допускать разные варианты сворачивания<ref name="gardner"/><ref name="loki3_naming" />.

Наименования флексагонов

Названия многих флексагонов образованы по принципу «приставка (число поверхностей) + приставка (форма) + „флексагон“». Таким образом, первая приставка обозначает, сколько у флексагона поверхностей, которые могут рано или поздно раскрыться, а вторая — на сколько частей разделена каждая такая поверхность. Например, тетратетрафлексагон — это флексагон с четырьмя поверхностями, каждая из которых состоит из четырёх квадратов; гексагексафлексагон — флексагон с шестью поверхностями, каждая из которых состоит из шести треугольников; додекагексафлексагон — флексагон с двенадцатью («додека») поверхностями, каждая из которых состоит из шести («гекса») секторов, Шаблон:Итд<ref name="nkj_1970_03" />

Впрочем, общепринятой системы наименований для флексагонов нет. Мартин Гарднер использовал термины «тетрафлексагон» и «гексафлексагон» для обозначения флексагонов, состоящих из квадратов и треугольников соответственно, причём поверхности тетрафлексагона могли состоять из четырёх или шести квадратов<ref name="gardner" />. В книге Flexagons Inside Out флексагоны обозначаются по форме секторов (квадратный, пятиугольный и т. п.)<ref name="pook_fio" /><ref name="loki3_triangles" />

В более позднее время окта- и додекафлексагонами стали называть флексагоны с 8 и 12 треугольными секторами соответственно<ref name="loki3_naming" />. Если секторы поверхностей флексагона представляют собой правильные или равнобедренные треугольники, то помимо гексафлексагонов существуют треугольные тетра-, пента-, гепта-, октафлексагоны<ref name="loki3_triangles" />.

В журналах «Наука и жизнь» использовалась в основном система приставок ИЮПАК<ref name="nkj_1975_09" /><ref name="nkj_1992_04" /><ref name="nkj_1993_11" /><ref name="nkj_1993_12" />.

Гексафлексагоны

Файл:Hexahexaflexagon - all sides - 01.jpg
Гексафлексагоны

Гексафлексагон — это флексагон, имеющий форму правильного шестиугольника. Каждая поверхность флексагона состоит из шести треугольных секторов.

Существует множество гексафлексагонов, различающихся по числу поверхностей. Известны гексафлексагоны с тремя, четырьмя, пятью, шестью, семью, девятью, двенадцатью, пятнадцатью, сорока восемью поверхностями; количество плоскостей ограничено лишь тем, что бумага имеет ненулевую толщину<ref name="nkj_1970_03" /><ref name="nkj_1970_01" /><ref name="gardner" /><ref name="basteleien" /><ref name="nkj_1970_02" />.

Число видов гексафлексагонов быстро растёт с увеличением числа его поверхностей: существуют 3 вида гексагексафлексагона, 4 вида гептагексафлексагона, 12 видов октагексафлексагонов, 27 видов эннагексафлексагонов и 82 вида декагексафлексагона<ref name="gardner" /><ref name="oeis_A000207" />.

Тригексафлексагон

Соответственно названию, тригексафлексагон — это шестиугольный флексагон с тремя поверхностями. Это самый простой из всех гексафлексагонов (не считая унагексафлексагона и дуогексафлексагона). Он представляет собой сплющенную ленту Мёбиуса<ref name="nkj_1970_01" /><ref name="gardner" />. Тригексафлексагон можно свернуть из полоски бумаги, разделённой на десять равносторонних треугольников<ref name="basteleien" /><ref name="nkj_1970_01" />. Складывание тригексафлексагона осуществляется методом<ref name="basteleien" /><ref name="nkj_1970_01" /><ref name="nkj_1977_02" />, носящим название pinch flex<ref name="loki3_pinch" />, с поворотом на 60° после каждого складывания.

Шаблон:Родственный проект{{#if:||{{#if:Изготовление тригексафлексагона||}}}}

Гексагексафлексагон

Гексагексафлексагон — флексагон с шестью шестиугольными поверхностями. Гексагексафлексагон можно изготовить из полоски длиной в 19 треугольников<ref name="nkj_1970_03" /><ref name="nkj_1977_02" /><ref name="nkj_1970_02" />.

Тетрафлексагоны

Шаблон:External media Простейший тетрафлексагон (флексагон с квадратными поверхностями) — тритетрафлексагон, имеющий три поверхности. В любой момент видимыми являются лишь две из трёх поверхностей.

Более сложные гексатетрафлексагон и декатетрафлексагон собираются из крестообразной развёртки без использования клея<ref name="nkj_1975_09" />. Тетрафлексагоны с числом плоскостей 4n + 2 также можно изготавливать из квадратных рамок<ref name="gardner" />.

Из зигзагообразных полосок бумаги можно изготовить тетратетрафлексагон и другие тетрафлексагоны с числом плоскостей, кратным 4<ref name="nkj_1972_03" />.

Кольцевые флексагоны

Кольцевой флексагон — флексагон, поверхность которого представляет собой «кольцо» из многоугольников. Для наименования кольцевых флексагонов может быть использована приставка «цирко», например, пентациркодекафлексагон — кольцевой флексагон с пятью плоскостями, состоящими из десяти многоугольников (пятиугольников) каждая<ref name="nkj_1977_08" />; тригемициркогексафлексагон — флексагон с тремя поверхностями, каждая из которых представляет собой кольцо (цирко) из половинок (геми) правильных шестиугольников (гекса)<ref name="nkj_1993_11" />.

Путь Таккермана

Файл:Путь Такермана для гексафлексагонов.svg
Диаграмма пути Таккермана для гексагексафлексагона

Простой способ обнаружить все поверхности гексафлексагона — обход Таккермана — заключается в том, чтобы держать флексагон за один угол и раскрывать модель до тех пор, пока она не перестанет раскрываться, затем повернуть флексагон на 60° по часовой стрелке, взяться за соседний угол и повторить то же самое<ref name="nkj_1977_02" /><ref name="nkj_1970_02" />.

При обходе Таккермана плоскости гексагексафлексагона будут раскрываться в порядке: 1,2,5,1,2,3,4,2,3,1,6,3 (или в обратном порядке), после чего последовательность повторится. Эту последовательность называют путём Таккермана<ref name="nkj_1977_02" /><ref name="nkj_1970_02" />.

Методы складывания («флексы»)

Гексафлексагоны

Шаблон:External media Описанный выше метод складывания гексафлексагона, используемый для обхода всех плоскостей (пути Таккермана), носит название pinch flex<ref name="loki3_pinch" />. Существуют следующие методы складывания гексафлексагонов:

  • pinch flex<ref name="loki3_pinch" /> (выполним на гексафлексагонах с тремя и более плоскостями)
  • v-flex<ref name="fnet_vflex" /><ref name="loki3_vflex" /> (выполним на гексафлексагонах с четырьмя и более плоскостями)
  • tuck flex<ref name="loki3_tuck" />, «лодочка-гексаэдр»<ref name="nkj_1977_02" /> (выполним на гексафлексагонах с четырьмя плоскостями и более)

и др.<ref name="loki3_flexes" />

Аномалии

Плоскость флексагона (совокупность секторов), на которой присутствуют разные цифры, называется аномальной плоскостью, а флексагон с видимой аномальной плоскостью (в аномальном положении) — аномальным флексагоном<ref name="nkj_1977_02" /><ref name="nkj_1970_02" /><ref name="kvant_1992_10" />. Появление аномальных плоскостей возможно на флексагонах достаточно высокого порядка, например, на гексагексафлексагоне<ref name="nkj_1977_02" />, додекагексафлексагоне<ref name="kvant_1992_10" />. Простейшим гексафлексагоном, допускающим появление аномалий, является тетрагексафлексагон<ref name="nkj_1977_08" />. Для достижения аномальных плоскостей используются методы складывания, отличные от «стандартного» pinch flex<ref name="nkj_1977_02" />.

См. также

Примечания

Шаблон:Примечания

Литература

Книги

Статьи

Ссылки

Шаблон:Навигация

Шаблон:Внешние ссылки

Источник — https://camokathomelab.servebeer.com/mediawiki/index.php?title=Флексагон&oldid=52761