Теорема Бруна

Сходимость к константе Бруна.

Теорема Бруна утверждает, что сумма чисел, обратных числам-близнецам (парам простых чисел, которые отличаются лишь на 2) сходится к конечному значению, известному как константа Бруна, которая обозначается как B₂ (последовательность A065421 в OEIS). Теорему Бруна доказал Вигго Брун в 1919 году, и она имеет историческое значение для методов решета.

Асимптотические границы чисел-близнецов

Сходимость суммы обратных к числам-близнецам следует из ограниченности плотности последовательности чисел-близнецов. Пусть <math>\pi_2(x)</math> означает число простых <math>p \leqslant x</math> чисел, для которых p + 2 тоже является простым (то есть <math>\pi_2(x)</math> является числом чисел-двойников, не превосходящих x). Тогда для <math>x \geqslant 3</math> мы имеем

<math> \pi_2(x) =O\left(\frac {x(\log\log x)^2}{(\log x)^2} \right).</math>

То есть числа-близнецы более редки по сравнению с простыми числами почти на логарифмический множитель. Из этого ограничения следует, что сумма обратных к числам-близнецам сходится, или, другими словами, числа-близнецы образуют Шаблон:Не переведено. Сумма в явном виде

<math> \sum\limits_{ p \, : \, p + 2 \in \mathbb{P} } {\left( {\frac{1}{p} + \frac{1}Шаблон:P + 2} \right)} = \left( {\frac{1}{3} + \frac{1}{5}} \right) + \left( {\frac{1}{5} + \frac{1}{7}} \right) + \left( {\frac{1}Шаблон:11 + \frac{1}Шаблон:13} \right) + \cdots </math>

либо имеет конечное число членов, либо имеет бесконечное число членов, но сходится к значению, известному как константа Бруна.

Из факта, что сумма обратных значений простым числам расходится, вытекает, что существует бесконечно много простых чисел. Поскольку сумма обратных значений чисел-близнецов сходится, из этого результата невозможно заключить, что существует бесконечно много чисел-близнецов. Константа Бруна иррациональна только в случае бесконечного числа чисел-двойников.

Числовые оценки

При вычислении чисел-двойников вплоть до 10¹⁴ (и обнаружении по пути ошибки Pentium FDIV), Томас Р. Найсли эвристически оценил константу Бруна примерно равной 1,902160578<ref>Шаблон:Cite web</ref>. Найсли расширил вычисления до 1,6Шаблон:E к 18 января 2010 года, но это не было самое большое вычисление этого типа.

В 2002 году Паскаль Себа и Патрик Демишель использовали все числа-двойники вплоть до 10¹⁶ и получили оценку<ref>Шаблон:Cite web</ref>

B₂ ≈ 1,902160583104.

Оценка опирается на оценку суммы в 1,830484424658... для чисел-двойников, меньших 10¹⁶. Доминик Клайв показал (в неопубликованных тезисах), что B₂ < 2,1754 в предположении, что верна расширенная гипотеза Римана<ref>Шаблон:Cite web</ref>, и что B₂ < 2,347 безотносительно верности расширенной гипотезы Римана<ref>Шаблон:Cite web</ref>.

Существует также константа Бруна для квадруплетов близнецов. Шаблон:Не переведено — это пара двух простых двойников, разделённых расстоянием 4 (наименьшее возможное расстояние). Несколько квадруплетов — (5, 7, 11, 13), (11, 13, 17, 19), (101, 103, 107, 109). Константа Бруна для квадруплетов, обозначаемая B₄, является суммой обратных чисел ко всем квадруплетам:

<math>B_4 = \left(\frac{1}{5} + \frac{1}{7} + \frac{1}{11} + \frac{1}{13}\right)

+ \left(\frac{1}{11} + \frac{1}{13} + \frac{1}{17} + \frac{1}{19}\right) + \left(\frac{1}{101} + \frac{1}{103} + \frac{1}{107} + \frac{1}{109}\right) + \cdots</math>

И эта сумма равна

B₄ = 0,87058 83800 ± 0,00000 00005, ошибка имеет уровень уверенности в 99 % (согласно Найсли)<ref>Шаблон:Cite web</ref>.

Эту константу не следует путать с константой Бруна для Шаблон:Не переведено, пар простых чисел вида (p, p + 4), поскольку эта константа тоже записывается как B₄.

Дальнейшие результаты

Пусть <math>C_2=0,6601\ldots</math> (последовательность A005597 в OEIS) — константа простых-близнецов. Есть гипотеза, что

<math>\pi_2(x)\sim2C_2\frac{x}{(\log x)^2}.</math>

В частности,

<math>\pi_2(x)<(2C_2+\varepsilon)\frac{x}{(\log x)^2}</math>

для любого <math>\varepsilon>0</math> и всех достаточно больших x.

Многие специальные случаи, упомянутые выше, были доказаны. Недавно Цзие У (Jie Wu) доказал, что для достаточно большого x,

<math> \pi_2(x) < 4,5 \frac {x}{(\log x)^2}</math>,

где 4,5 соответствует случаю <math>\varepsilon\approx3,18</math> выше.

В популярной культуре

Цифры константы Бруна были использованы в заявке в $1.902.160.540 на патентном аукционе Nortel. Заявка была опубликована компанией Google и была одной из трёх заявок Google, основанных на математических константах<ref>Шаблон:Cite web</ref>.

См. также

• Ряд обратных простых чисел
• Константа Майсселя — Мертенса

Литература

• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга Перепечатано в Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1990.
• Шаблон:Книга Содержит более современное доказательство.
• Шаблон:Статья
• В. И. Зенкин. Распределение простых чисел. Элементарные методы. Калининград, 2008.

Ссылки

• Шаблон:Mathworld
• Шаблон:Mathworld
• Шаблон:PlanetMath
• Sebah, Pascal and Xavier Gourdon, Introduction to twin primes and Brun's constant computation, 2002. A modern detailed examination.
• Wolf's article on Brun-type sums