Среднее квадратическое

Среднее квадратическое (квадратичное)<ref>Шаблон:Книга</ref> — число <math>s</math>, равное квадратному корню из среднего арифметического квадратов данных чисел <math>a_1, a_2,\ldots, a_n</math>:

<math>s=\sqrt{\frac {a_1^2+ a_2^2+ \ldots+ a_n^2} {n}}</math>

Среднее квадратическое — частный случай среднего степенного и потому подчиняется неравенству о средних. В частности, для любых чисел оно не меньше среднего арифметического:

<math>\frac{a_1+a_2+\ldots+a_n}{n}\leqslant\sqrt{\frac {a_1^2+ a_2^2+ \ldots+ a_n^2} {n}}</math>

Среднее квадратическое находит широкое применение во многих науках. В частности, через него определяется основное понятие теории вероятностей и математической статистики — дисперсия (квадратный корень из которой называется среднеквадратическим отклонением). Также тесно связан с этим понятием метод наименьших квадратов, имеющий общенаучное значение.

Свойства

• Среднее квадратическое набора неотрицательных чисел лежит между минимальным и максимальным числами из этого набора.

Параметр RMS

В разных технических приложениях вводится параметр RMS (англ. Шаблон:Lang-en2). Для дискретной величины <math>a</math> он вычисляется по вышеприведённой формуле <math>s</math>, а для непрерывной или считающейся непрерывной — как

<math> \mathrm{RMS} = \left(\frac{1}{X}\displaystyle\int_0^X a^2(x)\mathop{}\!\mathrm{d}x\right)^{1/2}</math>,

где <math>a</math> — исследуемая величина, изменяющаяся в зависимости от другой величины <math>x</math> при пробегании последней значений от 0 до <math>X</math>.

Так, для измерения напряжения переменного тока простые измерительные приборы преобразуют сигнал <math>I(t)</math> в постоянный ток <math>I_{\text{eff}}</math> эквивалентной величины — среднеквадратичного значения RMS. То есть в данном случае роль <math>x</math> играет время <math>t</math>, роль <math>a</math> — мгновенное значение тока <math>I</math>, роль <math>X</math> — достаточно большой интервал времени обработки сигнала. Сигнал фильтруется в среднее выпрямленное значение с поправочным коэффициентом. Как правило, при этом значение коэффициента отвечает именно синусоидальному сигналу. Однако, есть приборы, способные учесть произвольную форму сигнала; тогда даётся маркировка «True RMS» — истинное (англ. Шаблон:Lang-en2) среднеквадратичное значение.

Ещё один пример — использование RMS как показателя шероховатости поверхности<ref name="rms_surf">И. Д. Бурлаков, И. А. Денисов, А. Л. Сизов, А. А. Силина, Н. А. Смирнова Исследование шероховатости поверхности подложек... Шаблон:Wayback — журн. «Прикладная физика», No. 4, с. 80-84 (2014).</ref>. Тогда роль <math>x</math> может играть декартова координата вдоль исследуемой поверхности в пределах <math>0...l</math>, а роль <math>a</math> — отклонение высоты точки на поверхности от номинального положения (при абсолютной гладкости всюду <math>a = 0</math>). Зависимость <math>a(x)</math> может быть получена, скажем, с помощью атомно-силового микроскопа: вначале записывается профиль рельефа <math>z(x)</math>, затем находится среднее значение <math>\langle z\rangle = l^{-1}\displaystyle\int z(x)\mathop{}\!\mathrm{d}x</math> и далее <math>a(x) = z(x)-\langle z\rangle</math>, после чего рассчитывается RMS.