Слегка избыточное число
Слегка избыточное число (квазисоверше́нное число) — избыточное число, сумма собственных делителей которого на единицу больше самого числа.
Шаблон:ЯкорьНесмотря на поиски таких чисел со времён Пифагора, по состоянию Шаблон:На не было найдено ни одного слегка избыточного числа. Установлен лишь следующий факт: если слегка избыточные числа существуют, то они должны быть больше 1035 и иметь не менее 7 различных простых делителей<ref>Шаблон:Cite journal</ref>.
Поскольку сумму собственных делителей <math>S</math> натурального числа <math>x </math> можно найти, отняв от суммы всех делителей исходное число — <math>S(x) = \sigma (x) - x </math>, так как по определению для слегка избыточных чисел <math>S(x) = x+1 </math>, то <math>\sigma (x) = 2x+1 </math> — нечётное. Таким образом, в произведении:
- <math>\sigma (x) = (1+p_1+p_1^2+ \ldots + p_1^{k_1})(1+p_2+p_2^2+ \ldots + p_2^{k_2}) \ldots (1+p_n+p_n^2+ \ldots + p_n^{k_n})</math>,
где <math>x= p_1^{k_1} p_2^{k_2} \ldots p_n^{k_n}</math>, все множители нечётные.
Для нечётного <math>p_i </math> сумма <math> 1+p_i+p_i^2+ \ldots + p_i^{k_i} </math> будет нечётной только при чётном <math>k_i </math>.
Единственное чётное простое число — это 2. Соответствующая сумма <math> 1+2+2^2+\ldots+2^k </math> всегда нечётна.
Слегка избыточное число является либо полным квадратом, либо удвоенным квадратом.