Свёртка тензора
Шаблон:Значения Свёртка в тензорном исчислении — операция понижения валентности тензора на 2, переводящая тензор валентности <math>(m, n)</math> в тензор валентности <math>(m-1, n-1)</math>.
Определение
В простейшем случае, свёртка для простого тензора <math>v\otimes f</math> типа <math>(1, 1)</math>, определяется как скаляр <math>f(v)</math>. Эта операция продолжается линейно на все тензоры типа <math>(1, 1)</math>.
В общем случае, тензор типа <math>(m, n)</math> можно рассматривать как линейное отображение из пространства тензоров валентности <math>(n-1,m-1)</math> в пространство тензоров валентности <math>(1, 1)</math>; для выбора такого представления надо выбрать ко- контравариантный индекс. Свёртка образа даёт отображение из пространства тензоров валентности <math>(n-1,m-1)</math> в скаляры, то есть тензор валентности <math>(m-1, n-1)</math>. Он и называется свёрткой тензора по двум данным индексам.
Обозначения
В координатах она записывается следующим образом:
- <math>{T^{i_1, \dots, \underline{i_0}, \dots, i_n}_{j_1, \dots, \underline{j_0}, \dots, j_n}} \rightarrow {T^{i_1, \dots, i_n}_{j_1, \dots, j_n}} = {T^{i_1, \dots, \underline{i_0}, \dots, i_n}_{j_1, \dots, \underline{i_0}, \dots, j_n}}</math>
где применено правило суммирования Эйнштейна по повторяющимся разновариантным (верхнему и нижнему) индексам, то есть в данном случае по <math>i_0</math>.
Часто операцию свёртки проводят над тензорами, являющимися произведениями тензоров, или, короче, производят свёртку двух или нескольких тензоров.
Например, <math>A^i_j B^j_k </math> есть запись обыкновенного перемножения матрицы A на матрицу B, то есть, в обычной матричной записи, записывая индексы внизу и не опуская знак суммы, это
- <math> \sum_{j=1}^N A_{ij} B_{jk}</math>.
В принципе свёртка всегда проводится по верхнему и нижнему индексам, однако в случае если задан метрический тензор, ко- и контравариантные индексы можно однозначно переводить друг в друга (поднимать и опускать), поэтому свёртку можно вести по любой паре индексов, используя метрический тензор, если оба индекса верхние или нижние. Например:
- <math>A_{ij} B_{jk} = A_{ij} g^{jm} B_{mk} = A_{ij} B^j_{\ k} = C_{ik}</math>
Замечание: операция свёртки определена и имеет смысл не только для тензорных объектов. Во всяком случае, в компонентах совершенно та же операция применяется для свертки с матрицами преобразования координат (матрицами Якоби) и с компонентами аффинной связности, не являющимися представлениями тензоров. Эти свёртки имеют так же ясный геометрический смысл и играют важную роль в тензорном анализе, к тому же используются для построения представления настоящих тензорных объектов, таких как тензор кривизны.
Примеры
- Свёртка тензора по паре индексов, по которым он анти(косо)симметричен, даёт нулевой тензор.
- Свёртка <math>A^i_{\ j} v^j</math> вектора v с тензором A ранга (1,1) представляет умножение вектора на линейный оператор, каковым такой тензор является по отношению к вектору.
- Свёртка <math>\ B_{ij} a^i b^j</math> векторов a и b с тензором B ранга (0,2) является билинейной формой; так свёртка двух векторов с метрическим тензором <math>\ g_{ij} a^i b^j</math> дает их скалярное произведение.
- В том числе <math>\ B_{ij} v^i v^j</math> — квадратичная форма; именно таким образом свертка с метрическим тензором дает квадрат нормы вектора.
- Свёртка <math>\ a_j b^j</math> ковариантного и контравариантного вектора дает действие 1-формы на вектор, или, если считать ковариантные компоненты просто дуальным представлением настоящего вектора, то это скалярное произведение двух векторов, один из которых представлен в дуальном базисе.
- Свёртка <math>A^j_{\ j}</math> тензора A ранга (1,1) (с собой) является следом матрицы <math>A^i_{\ j}</math>. Это простейший случай построения (скалярного) инварианта из тензора.
- Действие линейного оператора на пространстве тензоров некоторого определенного ранга есть свёртка с тензором вдвое большего ранга, столько же раз ковариантного, сколько контравариантного, например (в координатной записи): <math>B^i_{jk} = L^{i\ \ \ qr}_{jkp} A^p_{qr}</math>
Свойства
- Свёртка (корректная) одного или нескольких тензоров (в том числе векторов и скаляров) всегда дает тензор (в том числе, возможно, вектор или скаляр).