Разбиение единицы

Разбиение единицы — конструкция, используемая в топологии для удобства работы с многообразием как с множеством карт.

С помощью разбиения единицы определяется, в частности, интеграл от дифференциальной формы на многообразии.

Конструкция

Пусть дано открытое покрытие топологического пространства <math>M</math> открытыми множествами <math>D_\alpha</math>. Разбиением единицы, подчиненным покрытию <math>\{ D_\alpha\}</math>, называется набор неотрицательных непрерывных вещественных функций <math>f_\beta</math> на <math>M</math>, обладающих следующими свойствами:

• <math>0\leqslant f_\beta\leqslant 1.</math>
• Носитель каждой из функций <math>f_\beta</math> целиком содержится в одном из множеств <math>D_\alpha</math>.
• Для любой точки <math>x\in M</math> имеем <math>\sum_{\beta}{f_{\beta}(x)=1}</math> (то есть при любом <math>x\in M</math> для не более, чем счётного множества функций <math>f_\beta(x)</math> отлично от нуля и ряд <math>\sum_{i=1}^{\infty}{f_{\beta_i}(x)}</math>, где <math> \{ \beta_1, \beta_2, ...\}=\{\beta:f_{\beta}(x)\neq 0\}</math> сходится к 1. Этот ряд абсолютно сходится, поэтому сумма ряда не зависит от порядка членов).

Если для любой точки <math>x\in M</math> существует окрестность <math>W\ni x</math>, такая что пересечение <math>W\cap\mathrm{supp}\,f_\beta</math> непусто не более чем для конечного числа индексов <math>\beta</math>, то такое разбиение единицы называется локально конечным.

Свойства

• Для всякого открытого покрытия паракомпактного [[аксиомы отделимости|Шаблон:Mathпространства]] существует подчинённое ему локально конечное разбиение единицы. Обратно, если для всякого открытого покрытия <math>T_1</math>-пространства существует подчинённое ему разбиение единицы, то это пространство паракомпактно.
• Для всякого открытого покрытия <math>C^\infty</math>-многообразия, существует подчинённое покрытию конечное или счётное локально конечное разбиение единицы, состоящее из функций класса <math>C^\infty</math>.