Признак д’Аламбера

При́знак д’Аламбе́ра (или Признак Даламбера) — признак сходимости числовых рядов, установлен Жаном д’Аламбером в 1768 г.

Если для числового ряда

<math>\sum_{n=0}^\infty a_n</math>

существует такое число <math>q</math>, <math>0<q<1</math>, что, начиная с некоторого номера, выполняется неравенство

<math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\leqslant q,</math>

то данный ряд абсолютно сходится; если же, начиная с некоторого номера

<math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\geqslant 1</math>,

то ряд расходится.

Если же, начиная с некоторого номера, <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|<1</math>, при этом не существует такого <math>q </math>, <math>0<q<1 </math>, что <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\leqslant q</math> для всех <math>n</math>, начиная с некоторого номера, то в этом случае ряд может как сходиться, так и расходиться.

Признак сходимости д’Аламбера в предельной форме

Если существует предел

<math>\rho=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|,</math>

то рассматриваемый ряд абсолютно сходится если <math>\rho<1</math>, а если <math>\rho>1</math> — расходится.

Замечание 1. Если <math>\rho=1</math>, то признак д′Аламбера не даёт ответа на вопрос о сходимости ряда.

Замечание 2. Если <math>\rho=1</math>, и последовательность <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|</math> стремится к своему пределу <math>\rho</math> сверху, то про ряд всё-таки можно сказать, что он расходится.

Доказательство

1. Пусть, начиная с некоторого номера <math>N</math>, верно неравенство <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\leqslant q</math>, где <math>0<q<1</math>. Тогда можно записать <math>\left| {\frac{{{a_{N + 1}}}}{{{a_N}}}} \right| \le q</math>, <math>\left| {\frac{{{a_{N + 2}}}}{{{a_{N+1}}}}} \right| \le q</math>, …, <math>\left| {\frac{{{a_{N + n}}}}{{{a_{N + n - 1}}}}} \right| \le q</math> , и так далее. Перемножив первые n неравенств, получим <math>\left| {\frac{{{a_{N + 1}}}}{{{a_N}}}} \right|\times\left| {\frac{{{a_{N + 2}}}}{{{a_{N + 1}}}}} \right|\times...\times\left| {\frac{{{a_{N + n}}}}{{{a_{N + n - 1}}}}} \right| = \left| {\frac{{{a_{N + n}}}}{{{a_N}}}} \right| \le {q^n}</math>, откуда <math>\left| {{a_{N + n}}} \right| \le |{a_N}|{q^n}</math>. Это означает, что ряд <math>\left| {{a_{N + 1}}} \right| + \left| {{a_{N + 2}}} \right| + \left| {{a_{N + 3}}} \right| + ...</math> меньше или равен суммы бесконечной убывающей геометрической прогрессии, и поэтому по признаку сравнения он сходится. Полный ряд из модулей тоже сходится, поскольку первые <math>N-1</math> членов (последовательности <math>\{ a\} </math>) роли не играют (их конечное число). Поскольку сходится ряд из модулей, то сходится и сам ряд по признаку абсолютной сходимости. Сходится он при этом абсолютно.
2. Пусть <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\ge1</math> (начиная с некоторого N): тогда можно записать <math>\left| {{a_{n + 1}}} \right| \ge \left| Шаблон:A n \right|</math>. Это означает, что модуль членов последовательности <math>\{ a\} </math> не стремится к нулю на бесконечности, а значит, и сама последовательность <math>\{ a\} </math> не стремится к нулю. Тогда необходимое условие сходимости любого ряда не выполняется, и ряд поэтому расходится.
3. Пусть <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|<1</math>, начиная с некоторого <math>n=N</math>. При этом не существует такого <math>q </math>, <math>0<q<1 </math>, что <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\leqslant q</math> для всех <math>n</math>, начиная с некоторого номера <math>N</math>. В этом случае ряд может как сходиться, так и расходиться. Например, оба ряда <math>\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n}</math> и <math>\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2}</math> удовлетворяют этому условию, причём первый ряд (гармонический) расходится, а второй сходится. Действительно, для ряда <math>\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n}</math> верно <math>\left| {\frac{{{a_{n + 1}}}}{{{a_n}}}} \right| = \frac{n}Шаблон:N + 1 = 1 - \frac{1}Шаблон:N + 1 < 1</math> для любого натурального <math>n</math>. В то же время, поскольку <math>\lim_{n\to\infty}\left| {\frac{{{a_{n + 1}}}}{{{a_n}}}} \right| = 1</math>, это означает, что для любого <math>q </math>, <math>0<q<1 </math> можно подобрать такое число <math>\varepsilon</math>, что <math>1 - \varepsilon > q</math> , и при этом, начиная с некоторого номера, все члены последовательности <math>\{ b\} </math>, где <math>{b_n} = \left| {\frac{{{a_{n + 1}}}}{{{a_n}}}} \right|</math>, будут находиться на интервале <math>(1 - \varepsilon ;1)</math>, то есть <math>{b_n} >q</math>. А это и означает, что не существует такого <math>q </math>, <math>0<q<1 </math>, что <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\leqslant q</math> для всех <math>n>N</math>. Эти рассуждения можно повторить и для второго ряда.

Примеры

• Ряд <math>\sum_{n=1}^\infty\frac{z^n}{n!}</math> абсолютно сходится для всех комплексных <math>z</math>, так как <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{{z^{n+1}}/{(n+1)!}}{{z^n}/{n!}}\right|=\lim_{n\to\infty}\frac{|z|}{n+1}=0.</math>
• Ряд <math>\sum_{n=0}^\infty n!\;z^n</math> расходится при всех <math>z\neq0</math>, так как <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{(n+1)!\;z^{n+1}}{n!\;z^n}\right|=\lim_{n\to\infty}|(n+1)z|=\infty.</math>
• Если <math>\rho=1</math>, то ряд может как сходиться, так и расходиться: оба ряда <math>\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n}</math> и <math>\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2}</math> удовлетворяют этому условию, причём первый ряд (гармонический) расходится, а второй сходится. Другой пример, для которого нужен признак Раабе: <math>\sum _{n=1}^{\infty } \left(1-\frac{\ln n}{n}\right)^{2 n}</math>

Ссылки

• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation: § 3.3, 5.4.
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Springer
• Шаблон:Springer
• Шаблон:Springer
• Шаблон:Citation