Постулат Бертрана
Постулат Бертрана (теорема Бертрана — Чебышёва, теорема Чебышёва) — теоретико-числовое утверждение о том, что для любого натурального <math>n \geqslant 2</math> найдётся простое число <math>p</math> в интервале <math>(n, 2n)</math>.
Сформулирован в качестве гипотезы в 1845 году французским математиком Бертраном (проверившим её до <math>n = 3 \cdot 10^{6}</math>) и доказан в 1852 годуШаблон:Sfn Чебышёвым. В 1919 году Рамануджан нашёл более простое доказательство и доказал, что количество простых чисел в интервале <math>(n; 2n)</math> можно ограничить снизу неубывающей последовательностью, которая стремится к бесконечности, такой что в простых числах Рамануджана достигается равенство. Эрдёш в 1932 году ещё более упростил доказательство.
Теорема Сильвестра о простых числах (1892) обобщает постулат Бертрана: согласно её утверждению для <math>n \geqslant 2k</math> среди чисел <math>n-k+1, \dots, n-1, n</math> всегда существует число с простым делителем больше <math>k</math>; при <math>n=2k</math> оно даёт гипотезу Бертрана как частный случай. Из теоремы о распределении простых чисел следует, что для любого <math>\varepsilon > 0</math> существует число <math>n_0</math> такое, что для любых <math>n \geqslant n_0</math> существует простое число <math>p</math>, удовлетворяющее <math>n < p < (1 + \varepsilon) n</math>, более того, для фиксированного <math>\varepsilon</math> количество простых чисел в этом интервале стремится к бесконечности с ростом <math>n</math><ref>G. H. Hardy and E. M. Wright, An Introduction to the Theory of Numbers, 6th ed., Oxford University Press, 2008, p. 494.</ref>, в частности, например, при <math>n\geqslant25</math> всегда найдётся простое число между <math>n</math> и <math>\frac{6}{5}n</math><ref>Шаблон:Публикация</ref> — соответственно, постулат Бертрана естественным образом следует из неё.
Связанные гипотезы
Гипотеза Лежандра гласит, что для любого <math>n \geqslant 2</math> найдётся простое число <math>p</math> в интервале <math>n^2 < p < (n + 1)^2</math>. Гипотеза Оппермана и гипотеза Андрицы задают такой же порядок роста интервала, включающего хотя бы одно простое число.
Наиболее сильной является гипотеза Крамера, согласно которой:
- <math>p_{n+1} - p_n = O(\ln^2 p_n)</math>.
По состоянию Шаблон:На все эти гипотезы не доказаны и не опровергнуты.