Обсуждение:Неравенство Коши — Буняковского

Коши, Шварц или Буняковский?

A кто может объяснить какое отношение к этому неравенству имеет Коши? --Tosha 06:18, 10 Май 2005 (UTC)

В немецкой статье про Буняковского написано, что его работа на 50 лет старше работы Шварца. А здесь стоит 25 лет --Василий 20:03, 22 декабря 2005 (UTC)

'современная иллюстрированная энциклопедия. математика. информатика' [м.:зао'росмэн-пресс' м34 2007] гл.редактор и автор проекта профессор мгу а.п.горкин, науч. редактор профессор независимого московского университета в.в.прасолов: 'установлено в.я. буняковским в 1859г. и независимо г.шварцем в 1884г.' 81.200.20.180 11:04, 18 июня 2008 (UTC)

• Неравенство Коши — Шварца (называемое в отечественной литературе неравенством Коши — Буняковского) есть частный случай неравенства Гельдера. Это указано в источнике: Г. Корн и Т. Корн. Справочник по математике для научных работников. М., «Наука», 1978; стр. 129 (гл. 4, п. 4.6-19). Таким образом, именование формулы — лишь вопрос терминологии. Но источники имеются. --Владимир 18:10, 17 ноября 2010 (UTC)

Гильбертовость не нужна,

нужно лишь скалярное произведение и норма порождённая им. Полнота нигде не требуется. ПБХ 04:59, 2 июня 2006 (UTC)

Также

в неравенстве для <math>l^2</math> знаки модуля были не там, где надо. ПБХ 15:26, 2 июня 2006 (UTC)

Ещё одно неравенство?

Вопрос: неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим — это что, частный случай данного неравенства? Не вижу никакой связи. Между тем по ссылке в указанной статье написано, что именно это неравенство Коши опубликовал в 1821 году... Qwertic 11:22, 30 января 2007 (UTC)

Похоже это довольно большая книжка была - учебник по матанализу, там скорее всего много разного было. Ссылка на саму книжку есть на английской странице по неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим Mir76 14:06, 30 января 2007 (UTC).

'современная иллюстрированная энциклопедия. математика. информатика' [м.:зао'росмэн-пресс' м34 2007] гл.редактор и автор проекта профессор мгу а.п.горкин, науч. редактор профессор независимого московского университета в.в.прасолов: нер-во коши-буняковского равносильно алгебраическому нер-ву a1b1 + .. + anbn <= sqrt((a1)^2 + .. + (an)^2) * sqrt((b1)^2 + (bn)^2) доказанному о.л.коши в 1821г. извините за такой стиль записи: ai - a с индексом i, <= - меньше, либо равно, sqrt(a) - арифметический корень из а, (аi)^2 - ai в квадрате. 81.200.20.180 11:14, 18 июня 2008 (UTC)

Доказательство неравенства

По-моему, это просто дикость - доказывать это неравенство такими дикими способами. Не, это всё, конечно, очень остроумно: перестановочное неравенство, все дела... Серьезно, было интересно почитать. Но это же совершенно не в ту степь. И уводит далеко в сторону от того, зачем всё это было придумано. И как именно это было придумано. А самое главное, если подходить к этому вопросу с правильной стороны, доказательство можно упростить просто на несколько порядков...

_

Начинается всё с определения скалярного произведения. Скалярное произведение - это специальная функция (x;y) двух аргументов, которая двум объектам неопределенной природы, называемым векторами, ставит в соответствие число по некоторому правилу. Причем, само правило не уточняется, зато на первое место выходят свойства этой функции, иногда называемые аксиомами.

1) (x;ay) = (ax;y) =a(x;y)

2) (z;x+y) = (x+y;z) =(z;x) + (z;y)

3) (x;y) = (y;x)

4) (x;x)>0 для x≠0 и (x;x)=0 для x=0.

(жирным обозначены векторы)

_

Я не говорю, что аксиомы должны быть именно такими. Там ведь целая куча всяких пространств имеется: Евклидово, Гильбертово, Предгильбертово, Банахово, еще какое-то... (и т.д.) Просто начинаться всё должно с аксиом. Из этих аксиом затем неравенство Коши-Буняковского выводится почти в одну строчку. Это, наверное, самое простое, что из них вообще можно вывести.

Действительно, рассмотрим скалярное произведение векторной суммы x+ty с самой собой, где t - произвольное действительное число: (x+ty;x+ty). Тогда по свойствам скалярного произведения получаем неравенство (x+ty;x+ty)>=0, верное при любом значении t. Далее, пользуясь свойствами скалярного произведения, раскроем скобки и получим:

0<=(x+ty;x+ty) = (x;x) + (x;ty) + (ty;x) + (ty;ty) = (x;x) + 2t(x;y) + t²(y;y).

В правой части этого неравенства получился квадратный многочлен относительно t. Поскольку неравенство должно быть верным при любом значении t, то дискриминант этого многочлена должен быть неположительным: 4(x;y)²-4(x;x)(y;y)<=0. Отсюда уже получается неравенство Коши-Буняковского: (x;y)²<=(x;x)(y;y).

_

Остается только доказать, что сумма <math>\sum\limits_{i = 1}^n {{x_i}{y_i}}</math> является скалярным произведением соответствующих векторов. Отсюда уже автоматически следует неравенство

<math>{\left( {\sum\limits_{i = 1}^n {{x_i}{y_i}} } \right)^2} \le \left( {\sum\limits_{i = 1}^n {{y_i}^2} } \right)\left( {\sum\limits_{i = 1}^n {{x_i}^2} } \right)</math>.

ВСЁ! Больше здесь вообще ничего не требуется.

_

Теперь о том, почему сумма <math>\sum\limits_{i = 1}^n {{x_i}{y_i}}</math> является скалярным произведением. Так уж исторически сложилось, что сначала было трехмерное Евклидово пространство. В котором векторы на самом деле были физическими векторами, в смысле направленными отрезками (имеющими начало и конец). Любые два таких вектора a и b можно соединить началами, и тогда они образуют некоторый угол <math>\phi</math>. В то же время между концами векторов можно провести третью сторону треугольника. И обозначить ее (по правилу сложения векторов) тоже можно с помощью вектора - вектора a-b. Или b-a - в данном случае это всё равно.

Далее, модулем вектора называется его длина. В смысле, длина того самого направленного отрезка. Модули векторов a и b обозначают |a| и |b| соответственно. Часто можно встретить обозначение a=|a|, b=|b|, где a>=0, b>=0. Ну и понятно также, что |a-b|=|b-a| (это очевидно).

В таком случае для нашего треугольника можно записать теорему косинусов:

|a-b|²=|a|²+|b|²-2|a||b|cos<math>\phi</math>

На доказательстве теоремы косинусов я не останавливаюсь, это уже чистая геометрия. Это знали еще в древней Греции, и всё это было задолго до появления понятия вектора.

Далее нужно учесть, что любой геометрический вектор можно разложить в сумму векторов. Обычно вектор раскладывают в сумму т.н. ортов: единичных векторов, коллинеарных и сонаправленных с осями координат. Практически, это, наверное, самое главное, что здесь есть. Любой вектор можно спроецировать на ось координат. В результате получится проекция: некоторое число, которое может быть и отрицательным, если угол между вектором и осью больше прямого. Сам вектор полностью определяется своими проекциями, которые еще называют координатами вектора: a=(a₁;a₂;a₃). А также с помощью этих проекций он раскладывается по ортам:

a=a₁e_x+a₂e_y+a₃e_z.

Всё это достаточно трудно доказать, поскольку это и так практически очевидно. Тут и доказывать особо нечего. Собственно говоря, Гильбертово пространство - это что-то вроде попытки обобщить свойства векторов на объекты произвольной природы и изучать эти свойства в отрыве от самих объектов. Как бы абстрагироваться от них. В частности, a+b=(a₁;a₂;a₃)+(b₁;b₂;b₃)=(a₁+b₁;a₂+b₂;a₃+b₃). Ну и самое главное, конечно, что теперь модуль вектора можно выразить через его координаты по теореме Пифагора: <math>a = \sqrt {{a_1}^2 + {a_2}^2 + {a_3}^2}</math>.

Но в таком случае теорему косинусов можно переписать так: <math>{({a_1} - {b_1})^2} + {({a_2} - {b_2})^2} + {({a_3} - {b_3})^2} = {a_1}^2 + {a_2}^2 + {a_3}^2 + {b_1}^2 + {b_2}^2 + {b_3}^2 - 2ab\cos \varphi</math>.

Дальше раскрываем скобки, сокращаем подобные члены и получаем <math>{a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} + {a_3}{b_3} = ab\cos \varphi</math>.

Произведение a∙b∙cos<math>\phi</math> затем назвали скалярным. И очевидно, что оно всегда равно сумме <math>\sum\limits_{i = 1}^3 {{a_i}{b_i}}</math> - это только что было доказано. Значит, скалярное произведение можно определять и так, и эдак. Можно через модули и угол (геометрически, так сказать), а можно через координаты (алгебраически).

_

Ну ладно, а как теперь задать скалярное произведение для общего случая n-мерного пространства? Ведь в таком пространстве уже нет никаких физических векторов, как и углов между ними. Как в том анекдоте:

- Профессор, помогите! Я не могу представить себе четырехмерную сферу!

- Хорошо. Представьте себе n-мерную сферу.

- Ок

- А теперь задайте n=4.

Да очень просто. Просто назначим (усилием воли) сумму <math>\sum\limits_{i = 1}^n {{a_i}{b_i}}</math> скалярным произведением векторов (a₁;a₂;...;a_n) и (b₁;b₂;...;b_n). А затем докажем, что эта сумма обладает всеми свойствами скалярного произведения, т.е. удовлетворяет всем аксиомам. Предлагаю каждому проделать это самостоятельно. А значит, и неравенство Коши-Буняковского для нее тоже будет верным! Вот и все дела. Далее можно ввести также и понятие модуля вектора, как квадратного корня из его скалярного произведения на себя. Ну и т.д.

PS

Любопытно, что угол между векторами иногда вводят и для n-мерного пространства. Не уточняя, что это такое, просто задают формулу для расчета косинуса угла между ними:

<math>\cos \varphi = \frac{{\sum\limits_{i = 1}^n {({a_i}{b_i})} }}{{\sqrt {\sum\limits_{i = 1}^n {{a_i}^2} \sum\limits_{i = 1}^n {{b_i}^2} } }}</math>

И хотя в общем случае эта формула не имеет физического смысла, для случаев n=3, n=2 и даже n=1 она действительно позволяет вычислить косинус угла между этими двумя векторами (с заданными координатами). И конечно, именно вследствие неравенства Коши-Буняковского эта формула никогда не выдаст значение больше единицы. А значит, невозможен случай, когда косинус угла между векторами приравняют к числу больше единицы по модулю.

Clothclub (обс.) 13:19, 14 мая 2025 (UTC)