Обсуждение:Логарифм

Определение

Предлагаю изменить определение логарифма на следующее:

<math>\ln{x}=\int_1^x\frac{dz}{z}</math>

--MDA 07:48, 1 июля 2008 (UTC)

?

Скобки забыли?:
… равен степени (показателю степени), …
snv 17:30, 13 Окт 2004 (UTC)

логарифм за основою а числа х записати через логарифм натуральний орт ---= шог

Основное логарифмическое тождество

Корректно ли употребление термина "тождество"? Ведь данное равенство имеет место не при всех значениях a и b. --Moonlight_14 15:45, 1 июня 2007 (UTC)

оно нарушается, только когда там нули (да и то получается что-то вроде бред=бред). А с комплексным логарифмом всё везде правильно, кроме упомянутых особых точек. ManN 17:23, 27 июня 2007 (UTC)

Данное равенство имеет "место" не при всех допустимых(!) значениях a и b. Такчто всё верно. Шаблон:Без подписи

Категория:Изобретения

Логарифм — изобретение?!

Mousy уже навёл порядок. Наверное, всё дело в том, что в статье упоминается известная цитата Лапласа об «изобретении логарифмов» (l'invention des logarithmes a double la vie des astronomes). На самом деле французское слово «invention» означает не только изобретение, но и находка, выдумка и т. д. Вообще в категории «Изобретения», извините, полный чердак: в числе изобретений - Десятичная система счисления, Железная колонна в Дели и даже игра Маджонг. Похоже, туда сваливали все статье, где имеется слово «изобретение» LGB 11:07, 4 июня 2009 (UTC)

Не понимаю...

Цитирую:

Комплексная логарифмическая функция — пример римановой поверхности; её мнимая часть (рис. 3) состоит из бесконечного числа ветвей, закрученных наподобие спирали. Эта поверхность односвязна; её единственный нуль (первого порядка) получается при <math>z=1</math>, особые точки: <math>z=0</math> и <math>z=\infty</math> (точки разветвления бесконечного порядка).

Риманова поверхность логарифма является универсальной накрывающей для комплексной плоскости без точки <math>0</math>.

Вопрос первый - как функция может быть поверхностью? Это же разные объекты, по типу? Функция - синоним отображения, а поверхность это пространство (или подпространство, это уж как рассматривать). Или я что-то не так понимаю?

Второй - проясните смысл последнего предложения.

Большое спасибо за ответ. Учитель Математики 19:55, 19 марта 2010 (UTC)

Слово поверхность в названии римановой поверхности - в общем-то дань традиции. Однако, с другой стороны, для исследования структуры таких отображений полезны геометрические и топологические методы. Наконец, такой термин - это попытка получить хоть какое-то наглядное представление, с которым в четырёхмерном пространстве напряжёнка.

Я сделал перенаправление для термина Универсальная накрывающая, почитайте. LGB 13:16, 20 марта 2010 (UTC)

Подраздел «Открытые проблемы»

Участник:Tosha выразил мнение, что содержание этого раздела не вполне по теме, скорее оно относятся к статье Трансцендентное число. Я склонен к этому мнению присоединиться. Есть ли у кого-нибудь возражения? LGB 11:58, 8 мая 2012 (UTC)

Я за. К тому же чисел, про которые не доказана трансцендентность несчетное количество. halyavin 18:15, 8 мая 2012 (UTC)

Убрал. LGB 16:04, 13 мая 2012 (UTC)

Ошибка

1.1.3 Логарифм произведения, частного от деления, степени и корня Логарифм(x/y) по основанию а = логaрифм(x) по основанию а - логарифм(y) по основанию а при x>0 и y>0 = логaрифм(-x) по основанию а - логарифм(-y) по основанию а при x<0 и y<0 Вот так правильно по-моему 178.129.59.24 10:36, 20 марта 2013 (UTC)Игорь

1.1.3 Логарифм произведения, частного от деления, степени и корня Логарифм (x в степени p) по основанию a = p логарифмов (x) пос основанию а, если p - нечетное Логарифм (x в степени p) по основанию a = p логарифмов (модуль(х)) пос основанию а, если p - четное

178.129.59.24 10:41, 20 марта 2013 (UTC)Игорь

Не ошибка. В тексте ясно сказано, что все переменные в таблице считаются положительными. Чуть ниже указано, что приведенные правила допускают несложное обобщение для комбинаций отрицательных значений. Я не стал сразу давать общую формулировку с модулями — это было бы неоправданное усложнение, которое запутывает читателя-новичка и затушёвывает главнейшее свойство логарифма: логарифм произведения равен сумме логарифмов. Надо, в интересах читателя, постепенно идти от простого к сложному, а не давать сразу сложные формулировки. LGB 11:02, 20 марта 2013 (UTC)

Логарифм - это арифметика или матан?

subj --Nashev 15:22, 9 апреля 2013 (UTC)

Собственно говоря, разделы математики различаются не по объектам исследования, а по применяемым методам. Великая теорема Ферма — это арифметика, алгебра, теория чисел или теория эллиптических функций? Логарифм — это элементарная функция, а что мы с ней делаем, это отдельная статья. LGB 16:08, 9 апреля 2013 (UTC)

Если вы заметили, участник сейчас активн правит статью про Арифметику, видимо отсюда и вопрос. --Zanka 16:27, 9 апреля 2013 (UTC)

Там же в статье сказано, что некоторые относят логарифмирование к арифметическим операциям. Но это совсем не обязательно. Вообще говоря, и возведение в степень и взятие корня уже не совсем арифметика. --Zanka 16:27, 9 апреля 2013 (UTC)

Согласен. Каждая функция мечтает стать операцией, но не все этого заслуживают. Список арифметических операций давно сформирован и расширению не подлежит. LGB 16:40, 9 апреля 2013 (UTC)

Так я не понял, считается ли логарифм арифметической операцией или нет? --Nashev 18:06, 9 апреля 2013 (UTC)

Да нет, конечно. Не считается. LGB 10:57, 10 апреля 2013 (UTC)

Я б хотел этот факт упомянуть в статье Арифметика. Есть на него АИ? --Nashev 13:27, 11 апреля 2013 (UTC)

Ни в БСЭ, ни в мат. энциклопедии нет определения арифметической операции, но вот, скажем, в БСЭ, в статье Арифметика, при первом упоминании этого термина просто перечисляются 4 операции. Собственно, наилучшим АИ является тот факт, что ни в каком АИ нет иного подхода, по крайней мере, мне не попадался. LGB 16:45, 11 апреля 2013 (UTC)

Обратные операции и расширение чисел

В арифметике каждая обратная операция сначала приводила к объявлению части решений невозможными, а затем к конструированию таких новых видов чисел, которые при формальных вычислениях решениями являлись. Для вычитания — отрицательные числа, для деления — рациональные, для взятия корней — иррациональные и затем комплексные. Для логарифма такого не произошло почему-то, и мы видим в статье фразы, очень похожие на средневековую критику отрицательных чисел и прочей такой «ереси»:

Случай <math>~a=1</math> интереса не представляет, поскольку тогда при <math>~b \ne 1</math> это уравнение не имеет решения, а при <math>~b=1</math> любое число является решением; в обоих случаях логарифм не определён. Аналогично заключаем, что логарифм не существует при нулевом или отрицательном <math>a</math>; кроме того, значение показательной функции <math>a^x</math> всегда положительно, поэтому следует исключить также случай отрицательного <math>b</math>.

Пытался ли кто-нибудь сконструировать подобные числа для логарифма, и если нет — то почему? А если да — то кто, когда, и с каким результатом? Или я просто статью не дочитал, и про всё это ниже есть? ;) --Nashev 18:05, 9 апреля 2013 (UTC)

Опровергать начало процитированной фразы, скорее всего, никто не пытался, потому как зачем? Не всякое неразрешимое уравнение представляет интерес. Вот конец фразы относится только к вещественному случаю — для комплексного логарифма отрицательное <math>b</math> допустимо. LGB 10:57, 10 апреля 2013 (UTC)

Вы, кажется не поняли, о чём я спрашиваю. А то ответили бы, что понятие «трансцендентное число» образовалось как-раз в результате изучения результатов логарифмирования произвольных чисел, и что ограничения в этой фразе скорее ближе к аналогичному ограничению для деления — «на ноль делить нельзя», которое новых видов чисел тоже пока не дало. А так это я сам до этого сегодня докопался… --Nashev 12:50, 10 апреля 2013 (UTC)

По-моему, не там копаете. Первое исследование неалгебраических, то есть трансцендентных чисел выполнил Лиувилль (см. Теорема Лиувилля о приближении алгебраических чисел), логарифмы он не привлекал. Первые доказательства трансцендентности касались чисел <math>\pi; e</math> — тоже логарифмы ни при чём. LGB 16:03, 10 апреля 2013 (UTC)

А, то есть трансцендентные — это изначально просто результат дальнейшего присматривания к непрерывности числовой оси? Типа, присмотрелись внимательнее, и обнаружили между рациональными и иррациональными ещё промежуточные места, куда можно вписать кучу всяких чисел. Назвали их трансцендентными. И многие из них в последствии нашлись в результатах логарифмирования, но некоторые и там не нашлись. Так? --Nashev 16:47, 11 апреля 2013 (UTC)

Лучше сказать так: обнаружили между рациональными и алгебраическими ещё промежуточные места, которые и назвали трансцендентными. Примеры позже нашлись не только в значениях логарифма, но и почти во всех значениях многих других функций — синуса, например. LGB 17:02, 11 апреля 2013 (UTC)

"по вышеприведенной формуле перехода"

Эта фраза ссылается на то, что озаглавлено «Замена основания логарифма»? Если да, то хотелось бы либо использования в статье лишь одного из этих «синонимов», либо ввод второго синонима рядом с первым, если оба синонима - общеупотребимые термины в данной предметной области. --Nashev 18:16, 9 апреля 2013 (UTC)

Эта нестыковка — отражение небольшого конфликта годичной давности. Кто-то пытался согласовать терминологию статьи с одним из школьных учебников. Унифицировал. LGB 10:57, 10 апреля 2013 (UTC)

натуральный или десятичный?

Уточнить хочу про откат правки ln на lg под картинкой логарифмической шкалы, где на десятичной логарифмической шкале X график логарифма выпрямляется - разве это график не десятичного логарифма? Я уже и подписи в легенде на самой картинке на этот счёт исправил... --Nashev 16:43, 11 апреля 2013 (UTC)

Посмотрите внимательно на самый первый график, синяя кривая: логарифм 10 равен не 1, а 2 с хвостиком. Так что это не десятичный логарифм, а натуральный. А график логарифма по любому основанию на логарифмической шкале будет прямой — см. формулу замены основания. Значение основания определяет только наклон этой кривой. LGB 17:08, 11 апреля 2013 (UTC)

присмотрелся.. И впрямь, на десятичный синяя линия не похожа. Однако, и на натуральный тоже — потому как ln(10) = 2.7 (ближе к середине ячейки должно быть), а ln(1000) = 8.317766166719, а там линия явно ниже восьми проходит… что странно, оригинал такой же, и сказано, что рисовался через gnuplot программкой, в которой явно написан вызов функции log… В их доке сказано, что «log(x) это any log_ex, natural logarithm (base e) of x». Исправлю пойду подпись на картинке... Хотя, сначала Вашего ответа дождусь - как думаете, стоит подзадрать синюю линюю, чтоб она в тысяче над восьмёркой шла, а в десяти ближе к середние ячейки между 2 и 4? --Nashev 11:16, 12 апреля 2013 (UTC)

Какими таблицами пользовались? По моим, ln(10)=2,30259. Кстати, в статье это значение приведено. Соответственно, ln(1000)=6,9078. LGB 16:36, 12 апреля 2013 (UTC)

Программкой-калькулятором… ща с другого компа такой же посчитал — ответы ваши вышли. Наверно, там режим какой-нибудь выбран не тот… В общем, усё, вопрос закрыт. Таки подправлю надписи на ln, а линии двигать не буду. Но уже в понедельник. --Nashev 22:10, 12 апреля 2013 (UTC)

Шаблон:Od Если я правильно вас понял, вы хотите скорректировать картинку. Тогда проще вообще удалить все надписи наверху, поскольку они дублируют легенду. Просьба также пронумеровать все 4 графика (например, добавить сверху: Чертёж 1|2|3|4) и русифицировать в 8 местах слова Linear (Линейная шкала), Log (Логарифмическая шкала). Сумеете? LGB 11:00, 13 апреля 2013 (UTC)

не вижу смысла нумеровать графики, и не хотелось бы убирать легенду - картинка используется довольно активно в разных языковых разделах, и какие там подписи сделаны я разбираться не хочу. Руссифицировать тоже как-то не охота, ибо я в неё полез надписи log уточнить, что полезно для оригинала, а не копию русскоязычную делать... Не люблю дубли, даже если они ради перевода надписей сделаны. Хотя - одну копию вовсе без надписей сделать, с легендой в описании - наверно, неплохая идея... Прикину, как оно могло бы выглядеть. --Nashev 13:09, 13 апреля 2013 (UTC)

"Почему основание логарифма должно быть положительным"

Наверное, правильнее говорить, что основание функции логарифма должно быть положительным. Ведь в определении самого логарифма реально ничего нет: собственно того, что он не назван функцией по определению достаточно (подобные упрощения могут быть введены только для функции). Далее вспоминаем, что такое функции. А именно, что для тех x, для которых функция определена, каждому значению x соответствует одно значение y. Это-то и неверно для логарифма по основанию ≤ 0. То есть никаких упрощений, сплошные определения. Ну и если очень хочется, можно по изучать логогриф по основанию ≤ 0, но это будет не функция. Когда же пишут log, имеют ввиду именно логарифмическую функцию.

Если я прав, то это, возможно, стоит дать понять читателю где-то в начале статьи.
--Moscwich 13:36, 2 октября 2013 (UTC)

Однако же есть многозначные функции. А если мы работаем с комплексными числами, то логарифм становится многозначным даже и при положительном основании. — Monedula 15:34, 2 октября 2013 (UTC)

Ответ на вопрос значительно упрощается, если вернуться к определению вещественного логарифма: <math>~\log_a b</math> есть решение уравнения <math>a^x=b</math>, где — что важно — мы ищем неизвестное значение <math>x</math> среди вещественных чисел. Выражение <math>a^x</math> при отрицательном <math>a</math> и вещественном <math>x</math>, вообще говоря, не определено — точнее, определено только для целых <math>x</math>, поэтому ограничение положительными <math>a</math> естественно и необходимо. Единственный вариант его обойти — рассматривать не вещественный, а целый логарифм, где решения уравнения <math>a^x=b</math> ищутся среди целых чисел. Тогда отрицательные <math>a</math> становятся допустимы, но на практике такое понятие я ни разу не встречал, и ценность его представляется сомнительной. Таким образом, функция тут действительно подразумевается, но не логарифмическая, а показательная. LGB 16:02, 2 октября 2013 (UTC)

Спасибо за разъяснение :)
--Moscwich 18:14, 2 октября 2013 (UTC)

Есть такая штука, как Дискретное логарифмирование. Как раз для целых чисел подходит. — Monedula 05:32, 3 октября 2013 (UTC)

Да, конечно. Только известные мне источники не рассматривают отрицательных оснований. LGB 11:05, 3 октября 2013 (UTC)

Рассуждения (?!?) о преобразовании по другому основанию

[1] — честное пионерское, не совсем понятны ваши корректировки, и ихние обоснования (??)… --Chevalier de Riban 12:44, 5 февраля 2015 (UTC)

Вы дополнили формулу:

<math>\log_a b = \frac{\log_c b }{\log_c a}</math>

следующим образом:

<math>\log_a b = \frac{\log_c b }{\log_c a}</math> или <math>\log_a N = \frac{\log_b N }{\log_b a}</math>

и ещё дали к ней сноску с текстом: «Число <math>\log_b a ~ (</math>также <math>2{,}30259\dots</math> и <math>0{,}43429\dots )</math> называется модулем перехода от системы логарифмов с основанием <math>b</math> к системе с основанием <math>a .</math>».

Я не против ввести термин «модуль перехода», он иногда встречается в справочниках (не во всех), но он должен быть не в комментарии, а в самом тексте, Правда, в разных источниках <math>\log_b a</math> называют по-разному: в вашем любимом Справочнике юного математика это модуль перехода от основания <math>b</math> к основанию <math>a</math>, а в Справочнике Зайцева и некоторых других — наоборот, от основания <math>a</math> к основанию <math>b.</math> Я решил вставить нейтральную фразу. Что касается повторения формулы с заменой <math>b</math> на <math>N</math> и каких-то несусветных упоминаний: «также <math>2{,}30259\dots</math> и <math>0{,}43429\dots</math>», видимо, для следующей сноски, то это безобразие я вычеркнул. В статье, тем более избранной, текст должен быть понятен читателю, а не приводить его в недоумение. LGB 13:56, 5 февраля 2015 (UTC).

<math>\log_a N = \frac{\log_b N }{\log_b a}</math>… — число <math> N </math> (иногда <math> M </math>, чаще <math> x </math> (неизвестный)), в отличие от каких-то <math> a, b, c </math> (данных, заданных), берётся вероятно для того чтобы показать что это натуральное число, точнее любое положительное действительное число (отличное от единицы)… и мы логарифмируем числа — неизвестные, т.е. любые (а не основания; хотя и можем перейти от одного основания к другому). Число (обозначение) <math> M </math> редко используется ввиду того, что она же <math> M </math> часто обозначает сам Модуль перехода.
число <math>\log_b a</math> (в знаменателе) из вышеприведённой дроби обзывают модулем перехода (!), а не дробь с 1 (единицей) в числителе — как ныне в статье (коэффициент), — или может я не прав?
Мы его поместили в комментарии поскольку он в статье встречается дважды (посредством <ref name="module"></ref>). И не важно какой источник-литературу брать — хоть Энциклопедию математики для предпенсионного возраста (для полковников) (важно выдержать саму суть). …И несусветные безобразия: таблица умножения на Шаблон:Abbr = log е = 0,434294481... / таблица умножения на 1/Шаблон:Abbr = In 10 = 2,3025851… (также то же см. у Цыпкина А.Г. стр. 468 & 65, 448) С почтением --Chevalier de Riban 09:51, 7 февраля 2015 (UTC)

Вещественный логарифм всегда берётся от положительного действительного числа, и специально оговаривать это или подчёркивать обозначениями нет необходимости. Натуральные числа здесь тоже ни при чём, ни в каких свойствах логарифмов натуральные числа ничем не выделяются от прочих положительных вещественных. Ваше предположение «число <math>\log_b a</math> обзывают модулем перехода (!), а не дробь» основано на Справочнике юного математика, но я уже писал, что в других справочниках даётся иное определение модуля перехода. Большого значения это не имеет, потому что важно уяснить только одно: надо ли делить на модуль или умножать для смены основания, сама формула фактически двунаправленная. Не понял, зачем вы дали ссылки на таблицы Брадиса, но если вы эти ссылки укажете в статьях Натуральный логарифм и Десятичный логарифм (в списке литературных ссылок), возможно, это будет полезно читателю. Хотя не уверен. LGB 17:35, 8 февраля 2015 (UTC)

Вещественный логарифм всегда берётся от положительного действительного числа, и специально оговаривать это или подчёркивать обозначениями нет необходимости. — оговаривать для нас (математиков) может быть и не важно, но мы с вами пишем народную энциклопедию - для народа; и во всех (мн.) энциклопедиях оно оговаривается.
„интуитивное“ предположение «число <math>\log_b a</math> обзывают модулем перехода (!), а не дробь», к которому сразу была ссылка-примечание, в каковой оговаривалось о каком числе речь (надеюсь, вы меня понимаете) — основано на не едином источнике-литературе (важно выдержать суть); да к тому же в Энциклопедическом словаре юного математика в последней строчке „Соотношения“ (раздела Логарифмы) эти числа и даются двояко, но в сноске оговаривается о чём (о каком числе) речь
тут <math>\log_b x = \frac{\log_a x }{\log_a b}</math> для любого <math>b > 0, b \not= 1</math> это число другое… логарифмируемое число (неизвестное <math>x</math>) в числителе остаётся то же, меняется лишь основание (логарифма); число <math>(\log_a b)^{-1}</math> (в знаменателе) и есть ни что иное как модуль перехода
<math>\ln x = \frac {\log_{10} x} {\boldsymbol{\log_{10} e}} = \log_{e} 10 \cdot \log_{10} x = (2{,}302585\dots) \cdot \lg x</math>
<math>\lg x = \frac {\log_{e} x} {\log_{e} 10} = \boldsymbol{\log_{10} e} \cdot \log_{e} x = (0{,}43429\dots) \cdot \ln x</math>
число <math>\log_{10} e = 0{,}4342944819</math> либо самостоятельно (см. последнюю формулу), либо в знаменателе (а не вся дробь! (см. предпоследнюю формулу)), называется Модулем перехода от десятичного основания к натуральному. Хотя зачастую также число <math>\log_{e} 10 = 2{,}30258509299</math> (в последней формуле-равенстве оно также есть — в знаменателе) называют тоже модулем перехода. Ссылки на таблицы Брадиса были даны для того, чтобы показать, что М — Модуль перехода… В остальном-прочем англ. Шаблон:Lang-en2, относительно согласен. С почтением --Chevalier de Riban 13:13, 9 февраля 2015 (UTC)

То, что вещественный логарифм всегда берётся от положительного действительного числа, ясно указано в статье, и повторять это ещё раз нет смысла. Если у вас нет возражений против текущих формулировок обсуждаемого текста, можно сворачивать данное обсуждение. LGB 17:19, 10 февраля 2015 (UTC)

В нашей версии по ходу повторной оговорки и не было. С наилучшими --Chevalier de Riban 12:26, 11 февраля 2015 (UTC)

a>0

Чего-то я не догоняю. Разве -1 (a=-1) в любой четной целой положительной степени не даёт единицу? Почему же непременно a>0?

Формально, конечно, можно определить <math>\log_{-2} 16 = 4,</math> только какая может получиться практическая польза от такого определения? Тем более что малейшее изменение как основания, так и логарифмируемого выражения сразу же делает логарифм несуществующим. LGB 12:18, 28 июня 2015 (UTC)

пределы

"Приведём несколько полезных пределов, содержащих логарифмы" - последние два логарифмов не содержат.-- Зануда 13:10, 23 октября 2017 (UTC)

То есть как? В левой части стоит натуральный логарифм. Я не считаю, что полезны только те соотношения, где логарифм стоит внутри предела. LGB (обс.) 13:22, 23 октября 2017 (UTC)

• • И я не считаю.))) Просто надо переформулировать, кмк. Не «содержащих логарифмы», а «связанные с логарифмами», например. «Пределы, содержащие логарифм» — это всё таки только первые три.-- Зануда 13:42, 23 октября 2017 (UTC)
  • Вообще-то раздел называется «Предельные соотношения», но не будем мелочны. Внёс предложенное вами уточнение. LGB (обс.) 13:54, 23 октября 2017 (UTC)

Файл с Викисклада, используемый на текущей странице, или его элемент из Викиданных номинирован к удалению

Следующий файл с Викисклада, используемый на текущей странице, или его элемент из Викиданных номинирован к удалению:

• Binary logarithm plot with ticks.svg

Участвуйте в обсуждении удаления на странице номинации. —Community Tech bot (обс.) 11:53, 23 августа 2022 (UTC)

Не число, а функция или

Тогда уж не число, а операнд уравнения или компонент функции 2A00:1FA0:86C0:E9A4:0:6A:8526:B801 15:39, 27 марта 2024 (UTC)