Неравенство Бернулли

Нера́венство Берну́лли утверждает<ref name=BS212/>: если вещественное число <math>x > -1</math>, то:

<math>(1+x)^n\geqslant 1 + nx</math> для всех натуральных <math>n\geqslant 1.</math>

Доказательство

Доказательство неравенства проводится методом математической индукции по n. При n = 1 неравенство, очевидно, верно. Допустим, что оно верно для n, докажем его верность для n+1:

<math>(1+x)^{n+1} = (1+x)(1+x)^n \geqslant (1+x)(1+nx) \geqslant (1+nx)+x = 1+(n+1)x</math>,

ч.т.д.

Обобщенное неравенство Бернулли

Обобщенное неравенство Бернулли утверждаетШаблон:Sfn, что при <math>x > - 1 \!\ </math> и <math>n\in\mathbb{R}</math>:

• если <math> n\in(-\infty ;0)\cup(1;+\infty )</math>, то <math>(1+x)^n\geqslant 1 + nx</math>
• если <math> n\in(0;1) \!\ </math>, то <math>(1+x)^n\leqslant 1+nx</math>
• при этом равенство достигается в двух случаях: <math>\left[\begin{matrix} \forall x\neq -1, n=0, n=1 \\ \forall n\neq 0, x=0 \end{matrix}\right.</math>

Замечания

• Неравенство также справедливо для <math>x\geqslant -2</math> (при <math>n\in\mathbb{N}_0</math>), если исключить случай, когда получается ноль в степени ноль. Доказательство для случая <math>x\in\left[-2,-1\right)</math> можно провести тем же методом математической индукции:

<math>(1+x)^{n+1} + (1+x)^n = (1+x)^n(1+x+1) \geqslant (1+nx)(1+x+1) = 1+(n+1)x+1+nx(1+x).</math>

Так как при <math>x\in\left[-2,-1\right)</math> выполняется <math>(1+x)^n \leqslant 1 \leqslant 1+nx(1+x)</math>, то <math>(1+x)^{n+1} \geqslant 1+(n+1)x</math>.

• Неравенство Бернулли также может быть представлено в виде:

<math>(1+x)^{n} > 1+nx, \text{ где }

\begin{cases}

   x>-1 \\
   x\neq 0 \\
  n > 1, n\in \mathbb{N} \\

\end{cases}.</math>

Литература

• Шаблон:Книга