Математический маятник

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Ошибка скрипта: Модуля «hatnote» не существует.{{#if: | }}

Файл:Pendulo simples.jpg
Математический маятник. Чёрный пунктир — положение равновесия, <math>\theta</math> — угол отклонения от вертикали в некоторый момент

Математи́ческий ма́ятник — осциллятор, представляющий собой механическую систему, состоящую из материальной точки на конце невесомой нерастяжимой нити или лёгкого стержня и находящуюся в однородном поле сил тяготения<ref name=FES>Шаблон:Книга — Статья в Физическом энциклопедическом словаре</ref>. Другой конец нити (стержня) обычно неподвижен. Период малых собственных колебаний маятника длины <math>L</math>, подвешенного в поле тяжести, равен

<math>T_0 = 2\pi \sqrt{L \over g}</math>

и не зависит, в первом приближении, от амплитуды колебаний и массы маятника. Здесь <math>g</math> — ускорение свободного падения.

Математический маятник служит простейшей моделью физического тела, совершающего колебания: она не учитывает распределение массы. Однако реальный физический маятник при малых амплитудах колеблется так же, как математический с приведённой длиной.

Характер движения маятника

Математический маятник со стержнем способен колебаться только в какой-то одной плоскости (вдоль какого-то выделенного горизонтального направления) и, следовательно, является системой с одной степенью свободы. Если же стержень заменить на нерастяжимую нить, получится система с двумя степенями свободы (так как становятся возможными колебания по двум горизонтальным координатам).

При колебаниях в одной плоскости маятник движется по дуге окружности радиуса <math>L</math>, а при наличии двух степеней свободы может описывать кривые на сфере того же радиуса<ref name=FES />. Нередко, в том числе в случае нити, ограничиваются анализом плоского движения; оно и рассматривается далее.

Уравнение колебаний маятника

Файл:Simple-Pendulum-Labeled-Diagram.png
Маятник (схема с обозначениями)

Если в записи второго закона Ньютона <math> m\vec{a} = \vec{F}</math> для математического маятника выделить тангенциальную составляющую (<math> ma_{\tau} = F_{\tau}</math>), получится выражение

<math> mL\ddot \theta = -mg\sin\theta </math>,

так как <math>a_{\tau} = \dot v = d/dt(Ld\theta/dt)</math>, а из действующих на точку сил тяжести и натяжения ненулевую компоненту <math>F_{\tau}</math> даёт только первая. Следовательно, колебания маятника описываются обыкновенным дифференциальным уравнением (ДУ) вида

<math>\ddot \theta + \frac{g}{L} \sin\theta = 0</math>,

где неизвестная функция <math>\theta(t)</math> ― это угол отклонения маятника в момент <math>t</math> от нижнего положения равновесия, выраженный в радианах, <math>L</math> ― длина подвеса, <math>g</math> ― ускорение свободного падения. Предполагается, что потерь энергии в системе нет. В области малых углов <math>\sin\theta\approx\theta</math> это уравнение превращается в

<math>\ddot \theta + \frac{g}{L} \theta = 0</math>.

Для решения ДУ второго порядка, то есть для определения закона движения маятника, необходимо задать два начальных условия — угол <math>\theta</math> и его производную <math>\dot\theta</math> при <math>t=0</math>.

Решения уравнения движения

Возможные типы решений

В общем случае решение ДУ с начальными условиями для маятника может быть получено численно. Варианты движения (в случае, если маятник — это материальная точка на лёгком стержне), качественно, представлены на анимации. В каждом окне вверху показана зависимость угловой скорости <math>\dot\theta</math> от угла <math>\theta</math>. По мере нарастания размаха поведение маятника всё сильнее отклоняется от режима гармонических колебаний.

Гармонические колебания

Уравнение малых колебаний маятника около нижнего положения равновесия, когда уместна замена <math>\sin\theta\approx\theta</math>, называется гармоническим уравнением:

<math>\ddot \theta + \omega_0^2 \theta = 0</math>,

где <math>\omega_0 = \sqrt{g/L}</math> ― положительная константа, определяемая только из параметров маятника и имеющая смысл собственной частоты колебаний. Кроме того, может быть осуществлён переход к переменной «горизонтальная координата» <math>x = L\sin\theta\approx L\theta</math> (ось <math>x</math> лежит в плоскости качания и ортогональна нити в нижней точке):

<math>\ddot x + \omega_0^2 x = 0</math>.

Малые колебания маятника являются гармоническими. Это означает, что смещение маятника от положения равновесия изменяется во времени по синусоидальному закону<ref>Скорость и ускорение маятника при гармонических колебаниях также изменяются во времени по синусоидальному закону.</ref>:

<math>x = A \sin(\omega_0 t + \alpha)</math>,

где <math>A</math> — амплитуда колебаний маятника, <math>\alpha</math> — начальная фаза колебаний.

Если пользоваться переменной <math>x</math>, то при <math>t=0</math> необходимо задать координату <math>x_0</math> и скорость <math>v_{x0}</math>, что позволит найти две независимые константы <math>A</math>, <math>\alpha</math> из соотношений <math>x_0 = A\sin\alpha</math> и <math>v_{x0} = A\omega_0\cos\alpha</math>.

Случай нелинейных колебаний

Вновь запишем полученное нами ДУ.

<math>\ddot \theta + \frac{g}{L} \sin\theta = 0</math>.

Выполним интегрирование обеих частей уравнения по <math>\theta</math>:

<math>\int \ddot{\theta}d\theta +\int \frac{g}{L}\sin\theta d\theta = \int 0d\theta</math>.

Легко видеть, что

<math>\int \ddot{\theta}d\theta=\int \dot{\theta}d\dot{\theta}=\frac{\dot{\theta}^2}{2}</math>.

Тогда

<math>\frac{\dot{\theta}^2}{2}-\frac{g}{L}\cos\theta={\rm const}</math>.

Получившаяся постоянная интегрирования равна<math>\,\varepsilon = \frac{E}{mL^2}</math>, где <math>E</math> — энергия математического маятника. Теперь подставим <math>\omega_0 = \sqrt{g/L}</math>:

<math>\frac{\dot{\theta}^2}{2}-\omega_0^2\cos\theta=\varepsilon</math>.

Прибавим к обеим частям <math>\omega_0^2</math>:

<math>\frac{\dot{\theta}^2}{2}+\omega_0^2(1-\cos\theta)=\varepsilon+ \omega_0^2</math>.

С учётом соотношения <math>1-\cos\theta=2\sin^2 \frac{\theta}{2}</math>,

<math>\frac{\dot{\theta}^2}{2}+2\omega_0^2\sin^2 \frac{\theta}{2}=\varepsilon+ \omega_0^2</math>.

Как легко видеть, в этом уравнении можно разделить переменные. Для этого заметим, что

<math>{d\theta \over dt} = \sqrt{2\varepsilon+ 2\omega_0^2-4\omega_0^2\sin^2 \frac{\theta}{2}}</math>.

Теперь разделяем переменные:

<math>\int {d{\theta\over 2} \over \sqrt{{\varepsilon+ \omega_0^2 \over 2}-\omega_0^2\sin^2 \frac{\theta}{2}}} =t+{\rm const} </math>.

Если умножить обе части уравнения на <math>\omega_0</math> и обозначить <math>\varkappa^2 = \frac{\varepsilon+\omega_0^2}{2\omega_0^2}</math> (физический смысл этого коэффициента — максимальный синус угла отклонения маятника), имеем:

<math>\int {d{\theta\over 2} \over \sqrt{\varkappa^2-\sin^2 \frac{\theta}{2}}} = \omega_0 t+{\rm const} </math>.

С заменой <math>\sin\varphi={\sin \frac{\theta}{2} \over \varkappa}</math> получается

<math>\int {\varkappa \cos\varphi d{\varphi} \over \varkappa\sqrt{1 - \sin^2\varphi} \sqrt{1 - \varkappa^2 \sin^2\varphi}} = \int {d{\varphi} \over\sqrt{1 - \varkappa^2 \sin^2\varphi}} = \omega_0 t+{\rm const}</math>.

Учитывая произвольность константы, можно утверждать, что

<math>\sin \varphi = \operatorname{sn}(\omega_0 t + {\rm const}; \varkappa)</math>,

где <math>\operatorname {sn}</math> — это синус Якоби. Для <math>\varkappa < 1</math> он является периодической функцией, при малых <math>\varkappa</math> совпадает с обычным тригонометрическим синусом. Выполняя обратную замену и полагая константу равной нулю(чего всегда можно добиться правильным выбором начала отсчёта времени), получим закон движения для больших амплитуд

<math>\sin \frac{\theta}{2} = \varkappa \cdot \operatorname{sn}(\omega_0 t; \varkappa),</math>.

Период колебаний нелинейного маятника составляет

<math>T = \frac{2\pi}{\Omega}, \quad \Omega = \frac{\pi}{2}\frac{\omega_0}{K(\varkappa)}</math>,

где K — эллиптический интеграл первого рода.

Для вычислений практически удобно разлагать эллиптический интеграл в ряд:

<math>T = T_0 \left\{1 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 \sin^{2}\left(\frac{\theta_0}{2}\right) + \left(\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4}\right)^2 \sin^{4}\left(\frac{\theta_0}{2}\right) + \dots + \left[\frac{\left(2n - 1\right)!!}{\left(2n\right)!!}\right]^2 \sin^{2n}\left(\frac{\theta_0}{2}\right) + \dots \right\}

</math> где <math>T_0 = 2\pi \sqrt\frac{L}{g}</math> — период малых колебаний, <math>\theta_0</math> — максимальный угол отклонения маятника от вертикали.

При углах до 1 радиана (≈ 60°) с приемлемой точностью (ошибка менее 1 %) можно ограничиться первым приближением:

<math>T = T_0 \left( 1 + \frac{1}{4}\sin^{2}\left(\frac{\theta_0}{2}\right) \right)</math>.

Точная формула периода, с квадратичной сходимостью для любого угла максимального отклонения, обсуждается на страницах сентябрьского выпуска журнала «Заметки американского математического общества» 2012 года<ref>Шаблон:Статья</ref>:

<math>T = \frac{2\pi}{M\big(\cos(\theta_0/2)\big)} \sqrt\frac{L}{g}</math>,

где <math>M(s)</math> — арифметико-геометрическое среднее чисел 1 и <math>s</math> (здесь <math>s = \cos(\theta_0/2)</math>).

Движение по сепаратрисе

Движение маятника по сепаратрисе является непериодическим. В бесконечно далёкий момент времени он начинает падать из крайнего верхнего положения в какую-то сторону с нулевой скоростью, постепенно набирает её, а затем останавливается, возвратившись в исходное положение.

Факты

Несмотря на свою простоту, математический маятник связан с рядом интересных явлений.

  • Если амплитуда колебания маятника близка к <math>\pi</math>, то есть движение маятника на фазовой плоскости близко к сепаратрисе, то под действием малой периодической вынуждающей силы система демонстрирует хаотическое поведение. Это одна из простейших механических систем, в которой хаос возникает под действием периодического возмущения<ref>Шаблон:Статья</ref>.
  • Если точка подвеса не неподвижна, а совершает колебания, то у маятника может появиться новое положение равновесия. Если точка подвеса достаточно быстро колеблется вверх-вниз, то маятник приобретает устойчивое положение «вверх тормашками». Такая система называется маятником Капицы.
  • В условиях вращения Земли при достаточно длинной нити подвеса плоскость, в которой маятник совершает колебания, будет медленно поворачиваться относительно земной поверхности в сторону, противоположную направлению вращения Земли (маятник Фуко).

См. также

Примечания

Шаблон:Примечания

Ссылки

Шаблон:Нет источников

Источник — https://camokathomelab.servebeer.com/mediawiki/index.php?title=Математический_маятник&oldid=3115