Избыточное число
Избыточное число — положительное целое число <math>n</math>, сумма положительных собственных делителей (всех делителей, отличных от <math>n</math>) которого превышает <math>n</math>.
Любое натуральное число относится к одному из трёх классов: избыточные числа, совершенные числа, недостаточные числа.
Первые избыточные числа<ref>Шаблон:OEIS long</ref>:
Число 48, например, является избыточным, поскольку Шаблон:Nums = 76, 76 > 48.
Наименьшим избыточным числом является Шаблон:Num1. Наименьшим нечётным избыточным числом является Шаблон:Num1.
Существует бесконечно много как чётных, так и нечётных избыточных чисел. Почти каждое четвёртое натуральное число является избыточным. Более точно, произвольно взятое натуральное число является избыточным с вероятностью (см. асимптотическая плотность), лежащей между 0,2474 и 0,2480.
Индексом избыточности называется величина <math>I(N)=\sigma(N)/N</math>, где <math>\sigma(N)</math> — сумма делителей числа (для совершенных чисел <math>I(N)=2</math>).
Существуют числа со сколь угодно большим индексом избыточности. Последовательность <math>\{a_k\}</math> минимальных чисел <math>N</math>, таких что <math>I(N)>k</math><ref>последовательность A134716 в OEIS</ref>.
Шнирельман доказал, что любое натуральное число, большее Шаблон:Num1, может быть представлено в виде суммы двух избыточных чисел.
Специальные классы избыточных чисел — сверхизбыточные числа и слегка избыточные числа (существование последних — открытая проблема).