Дзета-функция Римана
Шаблон:Перенаправление Шаблон:Другие значения термина
Дзе́та-фу́нкция Ри́мана — функция ζ(s) комплексного переменного s = σ + it, при σ > 1, определяемая с помощью ряда Дирихле:
- <math>\zeta(s) = \frac{1}{1^s} + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} + \ldots.</math>
В комплексной полуплоскости <math>\{s \in \mathbb{C} \mid \operatorname{Re} s > 1\}</math> этот ряд сходится, является аналитической функцией от <math>s</math> и допускает аналитическое продолжение на всю комплексную плоскость, за исключением особой точки Шаблон:S
Дзета-функция Римана играет очень важную роль в аналитической теории чисел, имеет приложения в теоретической физике, статистике, теории вероятностей.
В частности, если будет доказана или опровергнута до сих пор ни доказанная, ни опровергнутая гипотеза Римана о положении всех нетривиальных нулей дзета-функции на прямой комплексной плоскости <math>\operatorname{Re} s = 1/2</math>, то многие важные теоремы о простых числах, опирающиеся в доказательстве на гипотезу Римана, станут либо истинными, либо ложными.
Тождество Эйлера
В области <math>\{s \mid \operatorname{Re} s > 1\}</math> также верно представление в виде бесконечного произведения (тождество Эйлера)
- <math>\zeta(s) = \prod_{\text{число }p \atop \text{простое}} \frac{1}{1 - p^{-s}}.</math>
Шаблон:Hider.</math>
Чтобы сделать доказательство строгим, необходимо потребовать только лишь, чтобы, когда <math>\operatorname{Re} s > 1</math>, просеиваемая правая часть приближалась к 1, что немедленно следует из сходимости ряда Дирихле для <math>\zeta(s)</math>. }}
Это равенство представляет собой одно из основных свойств дзета-функции.
Свойства
- Если взять асимптотическое разложение при <math>{N\rightarrow +\infty}</math> частичных сумм вида
- <math>\sum\limits_{n=1}^{N}\frac{1}{n^s} = \zeta(s) + \frac{1}{1-s}N^{1-s} + \frac{1}{2}N^{-s} - \frac{1}{12}sN^{-1-s} + \dots</math>,
справедливую для <math>{\rm Re}\, s>1</math>, она же останется верной и для всех <math>s</math>, кроме тех, для которых <math>2-s\in {\mathbb N}</math> (это тривиальные корни дзета-функции). Из этого можно получить следующие формулы для <math>\zeta(s)</math>:
- <math>\zeta(s) = \lim\limits_{N\rightarrow +\infty}\left(\sum\limits_{n=1}^{N}\frac{1}{n^s} - \frac{N^{1-s}}{1-s}\right)</math>, при <math>{\rm Re}\, s>0</math>, кроме <math>s=1</math>;
- <math>\zeta(s) = \lim\limits_{N\rightarrow +\infty}\left(\sum\limits_{n=1}^{N}\frac{1}{n^s} - \frac{N^{1-s}}{1-s} - \frac{1}{2}N^{-s}\right)</math>, при <math>{\rm Re}\, s>-1</math>, кроме <math>s=1</math> или <math>0</math>;
- <math>\zeta(s) = \lim\limits_{N\rightarrow +\infty}\left(\sum\limits_{n=1}^{N}\frac{1}{n^s} - \frac{N^{1-s}}{1-s} - \frac{1}{2}N^{-s} + \frac{1}{12}sN^{-1-s}\right)</math>, при <math>{\rm Re}\, s>-2</math>, кроме <math>s=1</math>, <math>0</math> или <math>-1</math> и т. д.
- Существуют явные формулы для значений дзета-функции в чётных целых точках:
- <math>\zeta(2m) = (-1)^{m+1} \frac{(2\pi)^{2m}}{2(2m)!} B_{2m}</math>, где <math>\displaystyle B_{2m}</math> — число Бернулли.
- В частности, <math>\zeta(2) = \frac{\pi^2}{6}</math> (ряд обратных квадратов), <math>\zeta(4) = \frac{\pi^4}{90},\ \ \zeta(6) = \frac{\pi^6}{945},\ \ \zeta(8) = \frac{\pi^8}{9450}, \ \ \zeta(10) = \frac{\pi^{10}}{93555}</math>
- Кроме того, получено значение <math>\zeta(3) = -\frac{\psi^{(2)}(1)}{2}</math>, где <math>\psi</math> — полигамма-функция;
- Про значения дзета-функции в нечётных целых точках известно мало: предполагается, что они являются иррациональными и даже трансцендентными, но пока (2019 г.) доказана только лишь иррациональность числа ζ(3) (Роже Апери, 1978), а также то, что среди значений ζ(5), ζ(7), ζ(9), ζ(11) есть хотя бы ещё одно иррациональное<ref>Шаблон:Статья</ref>.
- При <math>\operatorname{Re}\,s> 1</math>
- <math>\frac1{\zeta(s)}=\sum_{n=1}^\infty\frac{\mu(n)}{n^s}</math>, где <math>\displaystyle \mu(n)</math> — функция Мёбиуса
- <math>\frac{\zeta(2s)}{\zeta(s)}=\sum_{n=1}^\infty\frac{\lambda(n)}{n^s}</math>, где <math>\displaystyle \lambda(n)</math> — функция Лиувилля
- <math>\zeta^2(s)=\sum_{n=1}^\infty\frac{\tau(n)}{n^s}</math>, где <math>\displaystyle \tau(n)</math> — число делителей числа <math>\displaystyle n</math>
- <math>\frac{\zeta(s)}{\zeta(2s)}=\sum_{n=1}^\infty\frac{|\mu(n)|}{n^s}</math>
- <math>\frac{\zeta^2(s)}{\zeta(2s)}=\sum_{n=1}^\infty\frac{2^{\nu(n)}}{n^s}</math>, где <math>\displaystyle \nu(n)</math> — число простых делителей числа <math>\displaystyle n</math>
- <math>\frac{\zeta^3(s)}{\zeta(2s)}=\sum_{n=1}^\infty\frac{\tau(n^2)}{n^s}</math>
- <math>\frac{\zeta^4(s)}{\zeta(2s)}=\sum_{n=1}^\infty\frac{(\tau(n))^2}{n^s}</math>
- При <math>\operatorname{Re}\,s> 2</math>
- <math>\displaystyle \zeta(s)</math> имеет в точке <math>\displaystyle s=1</math> простой полюс с вычетом, равным 1.
- При натуральных <math>s</math> верна следующая формула:
- <math>\sum_{n=1}^\infty \frac{\lfloor \sqrt[s]{n}\rfloor}{n(n+1)} = \zeta(s)</math><ref>Шаблон:Cite web</ref>
- Шаблон:ЯкорьДзета-функция при <math>\displaystyle s\ne 0, s\ne 1</math> удовлетворяет уравнению:
- <math>\zeta(s) = 2^s \pi^{s-1} \sin\left( {\pi s \over 2} \right) \Gamma(1-s) \zeta(1-s)</math>,
- где <math>\displaystyle \Gamma(z)</math> — гамма-функция Эйлера. Это уравнение называется функциональным уравнением Римана, хотя последний и не является ни его автором, ни тем, кто его первым строго доказал<ref>Шаблон:Статья</ref>.
- Для функции
- <math>\xi(s)=\frac{1}{2}\pi^{-s/2}s(s-1)\Gamma\left(\frac{s}{2}\right)\zeta(s)</math>,
- введённой Риманом для исследования <math>\displaystyle \zeta(s)</math> и называемой кси-функцией Римана, это уравнение принимает вид:
- <math>\displaystyle \ \xi(s)=\xi(1-s)</math>.
Нули дзета-функции
Бернхард Риман представил Дзета-функцию в виде интеграла при <math>{\rm Re}\, s>1</math> :
<math>\zeta(s) = \frac{1}{\Gamma(s)}\int_{0}^{\infty}\frac{x^{s-1}}{e^{x} - 1}dx</math>
Из которого в последствии было получено аналитическое продолжение на всю комплексную плоскость.
Как следует из функционального уравнения Римана, в полуплоскости <math>\operatorname{Re}\,s < 0</math> функция <math>\zeta(s)</math> имеет лишь простые нули в отрицательных чётных точках: <math>0 = \zeta(-2) = \zeta(-4) = \zeta(-6) = \dots</math>. Эти нули называются «тривиальными» нулями дзета-функции. Далее, <math>\zeta(s) \neq 0</math> при вещественных <math>s \in (0,1)</math>. Следовательно, все «нетривиальные» нули дзета-функции являются комплексными числами. Кроме того, они обладают свойством симметрии относительно вещественной оси и относительно вертикали <math>\operatorname{Re}\,s = \frac 1 2</math> и лежат в полосе <math>0 \leqslant \operatorname{Re}\,s \leqslant 1</math>, которая называется критической полосой. Согласно гипотезе Римана, они все находятся на критической прямой <math>\operatorname{Re}\,s = \frac 1 2</math>.
Представления конкретных значений
ζ(1/2)
Шаблон:Main Значение <math>\zeta\bigl(\tfrac12\bigr)</math> определяется через аналитическое продолжение дзета-функции Римана; в частности, его можно выразить через эта-функцию Дирихле:
- <math>\zeta\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\eta\left(\frac{1}{2}\right)}{1-\sqrt{2}} = (1+\sqrt{2})\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}=-\frac{1+\sqrt{2}}{\sqrt{\pi}}\int\limits_0^\infty \frac{1}{\sqrt{x}(1+e^x)} \, dx \approx -1.46035450880958681288...</math><ref>Шаблон:Cite web</ref><ref>Шаблон:Cite web</ref>.
ζ(2)
Шаблон:См. также Из формулы <math>2\zeta(2m) = (-1)^{m+1} \frac{(2\pi)^{2m}}{(2m)!} B_{2m}</math>, где <math>\displaystyle B_{2m}</math> — число Бернулли, получаем, что <math>\zeta(2) = \frac{\pi^2}{6}</math>.
Другие представления в виде рядов
Ниже приведены другие ряды, сумма которых равна <math>\zeta(2)</math><ref name="MWZETA2">Шаблон:Cite web</ref>:
- <math>\begin{align}
\zeta(2) &= 3 \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2 \binom{2k}{k}} \\
\end{align}</math>
- <math>\begin{align}
\zeta(2) &= \sum_{i=1}^\infty \sum_{j=1}^\infty \frac{(i-1)! (j-1)!}{(i+j)!}
\end{align}</math>
Существуют также представления для <math>\zeta(2)</math> вида формулы Бэйли — Боруэйна — Плаффа, позволяющие в некоторых системах счисления вычислять <math>k</math>-й знак его записи без вычисления предыдущих<ref name="MWZETA2" />:
- <math>\begin{align}
\zeta(2)=\frac{27}{4} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{64^{k}}\left[\frac{16}{(6 k+1)^{2}}-\frac{24}{(6 k+2)^{2}}-\frac{8}{(6 k+3)^{2}}-\frac{6}{(6 k+4)^{2}}+\frac{1}{(6 k+5)^{2}}\right]
\end{align}</math>
- <math>\begin{align}
\zeta(2)=\frac{4}{9} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{729^{k}}\left[\frac{243}{(12 k+1)^{2}}-\frac{405}{(12 k+2)^{2}}-\frac{81}{(12 k+4)^{4}}-\frac{27}{(12 k+5)^{2}}-\right.\\
-\left.\frac{72}{(12 k+6)^{2}}-\frac{9}{(12 k+7)^{2}}-\frac{9}{(12 k+8)^{2}}-\frac{5}{(12 k+10)^{2}}+\frac{1}{(12 k+11)^{2}}\right] \end{align}</math>
Интегральные представления
Ниже приведены формулы для <math>\zeta(2)</math> с участием интегралов, полученные с использованием дзета-функции Римана<ref>Шаблон:Cite arXiv</ref><ref>Шаблон:Cite web</ref><ref>Шаблон:Cite web</ref>:
- <math> \begin{align}
\zeta(2) & = -\int_0^1 \frac{\log x}{1-x} \, dx \\[6pt]
& = \int_0^{\infty} \frac{x}{e^x-1} \, dx \\[6pt]
& = \int_0^1 \frac{(\log x)^2}{(1+x)^2} \, dx \\[6pt]
& = 2 + 2\int_1^{\infty} \frac{\lfloor x \rfloor -x}{x^3} \, dx \\[6pt]
& = \exp\left(2 \int_2^{\infty} \frac{\pi(x)}{x(x^2-1)} \,dx\right) \\[6pt]
& = \int_0^1 \int_0^1 \frac{dx \, dy}{1-xy} \\[6pt]
& = \frac{4}{3} \int_0^1 \int_0^1 \frac{dx \, dy}{1-(xy)^2} \\[6pt]
& = \int_0^1 \int_0^1 \frac{1-x}{1-xy} \, dx \, dy + \frac{2}{3}.
\end{align}</math>
Цепные дроби
Некоторые из представлений <math>\zeta(2)</math> в виде цепных дробей были получены в связи с аналогичными представлениями для константы Апери <math>\zeta(3)</math>, дающими возможность доказать её иррациональность.
- <math>\zeta(2) = \cfrac{2}{1 + \cfrac{1^4}{3+\cfrac{2^4}{5+\cfrac{3^4}{7+\cfrac{\dots}{\dots+\cfrac{n^4}{(2n-1)+\dots}}}}}} </math> <ref name="Mathematical Constants">Шаблон:Cite web</ref>
- <math>\zeta(2) = 1+\cfrac{1}{1 + \cfrac{1^2}{1+\cfrac{1\cdot2}{1+\cfrac{2^2}{1+\cfrac{2\cdot3}{1+\cfrac{3^2}{1+\cfrac{\dots}{\dots+\cfrac{n^2}{1+\cfrac{n\cdot (n+1)}{1+\dots}}}}}}}}} </math> <ref name="Mathematical Constants" />
- <math>\zeta(2) = \cfrac{5}{3 + \cfrac{1^4}{25+\cfrac{2^4}{69+\cfrac{3^4}{135+\cfrac{\dots}{\dots+\cfrac{n^4}{(11n^2-11n+3)+\dots}}}}}} </math><ref>Шаблон:Cite web</ref>Шаблон:Unreliable source
- <math>\zeta(2) = \frac{5}{3}+\cfrac{1}{25 + \cfrac{1^4}{69+\cfrac{2^4}{135+\cfrac{3^4}{223+\cfrac{\dots}{\dots+\cfrac{n^4}{(11n^2+11n+3)+\dots}}}}}} </math><ref name="автоссылка1">Шаблон:Citation</ref>
ζ(3)
Ошибка скрипта: Модуля «Основная статья» не существует. Одним из наиболее коротких представлений является <math>\zeta(3) = -\frac{\psi^{(2)}(1)}{2}</math>, получаем, что <math>\zeta(3) \approx 1.2020569031595942853997381615114499907649862923404988817922715553...</math> , где <math>\psi</math> — полигамма-функция.
Интегральные представления
<math> \begin{align}
\zeta(3) & = \int_0^1 \frac{\ln x \ln(1-x)}{x} \, dx \\[6pt]
& = \frac{1}{2} \int_0^1 \frac{\ln^2 x}{1-x} \, dx \\[6pt]
& = - \frac{1}{6} \int_0^1 \frac{\ln^3 x}{(1-x)^2} \, dx
\end{align}</math>
Цепные дроби
Цепная дробь для константы Апери (последовательность A013631 в OEIS) выглядит следующим образом:
- <math>\zeta(3) = [1; 4, 1, 18, 1, 1, 1, 4, 1, 9, 9, 2, 1, 1, 1, 2, 7, 1, 1, 7, 11, 1, 1, 1,\cdots] =</math>
- <math>= 1+\cfrac{1}{4+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{18+\cfrac{1}{1+\ldots}}}}\;</math>
Первую обобщённую цепную дробь для константы Апери, имеющую закономерность, открыли независимо Стилтьес и Рамануджан:
- <math>\zeta(3) = 1 + \cfrac{1}{4+\cfrac{1^3}{1+\cfrac{1^3}{12+\cfrac{2^3}{1 + \cfrac{2^3}{20+\cfrac{3^3}{1+\cfrac{3^3}{28+\cfrac{\dots}{\dots+\cfrac{n^3}{1+\cfrac{n^3}{4(2n+1)+\dots}}}}}}}}}} </math>
Она может быть преобразована к виду:
- <math>\zeta(3) = 1 + \cfrac{1}{5-\cfrac{1^6}{21-\cfrac{2^6}{55-\cfrac{3^6}{119-\cfrac{4^6}{225-\cfrac{\dots}{\dots+\cfrac{n^6}{(2n^3+3n^2+11n+5)+\dots}}}}}}} </math>
Апери смог ускорить сходимость цепной дроби для константы:
- <math>\zeta(3) = \frac{6}{5}-\cfrac{1^6}{117 - \cfrac{2^6}{535-\cfrac{3^6}{1436-\cfrac{4^6}{3105-\cfrac{\dots}{\dots+\cfrac{n^6}{(34n^3+51n^2+27n+5)+\dots}}}}}} </math><ref name="автоссылка1" /><ref>Шаблон:Cite web</ref>
ζ(4)
Из формулы <math>2\zeta(2m) = (-1)^{m+1} \frac{(2\pi)^{2m}}{(2m)!} B_{2m}</math>, где <math>\displaystyle B_{2m}</math> — число Бернулли, получаем, что <math>\zeta(4) = \frac{\pi^4}{90}</math>.
ζ(5)
Одним из наиболее коротких представлений является <math>\zeta(5) = -\frac{\psi^{(4)}(1)}{24}</math>, получаем, что <math>\zeta(5) \approx 1.0369277551433699263313654864570341680570809195019128119741926779...</math> , где <math>\psi</math> — полигамма-функция.
Обобщения
Существует довольно большое количество специальных функций, связанных с дзета-функцией Римана, которые объединяются общим названием дзета-функции и являются её обобщениями. Например:
- Дзета-функция Гурвица:
- <math>\zeta(s,q) = \sum_{k=0}^\infty (k+q)^{-s},</math>
- которая совпадает с дзета-функцией Римана при Шаблон:Math = 1 (так как суммирование ведётся от 0, а не от 1).
- Полилогарифм:
- <math>\mathrm{Li}_s(z) = \sum_{k=1}^\infty {z^k \over k^s},</math>
- который совпадает с дзета-функцией Римана при Шаблон:Math = 1.
- Дзета-функция Лерха:
- <math>\Phi(z, s, q) = \sum_{k=0}^\infty \frac { z^k} {(k+q)^s},</math>
- которая совпадает с дзета-функцией Римана при Шаблон:Math = 1 и Шаблон:Math = 1 (так как суммирование ведётся от 0, а не от 1).
- Квантовый аналог (Шаблон:Math-аналог).
Аналогичные конструкции
В теории гауссовых интегралов по траекториям возникает задача регуляризации детерминантов. Одним из подходов к её решению является введение дзета-функции оператораШаблон:Sfn. Пусть <math>A</math> — неотрицательно определённый самосопряжённый оператор, имеющий чисто дискретный спектр <math>\mathrm{spec} A = \mathrm{diag} \{\lambda_1, \lambda_2, \dots \}</math>. Причём существует вещественное число <math>\alpha > 0</math>, такое, что оператор <math>(I + A)^{- \alpha}</math> имеет след. Тогда дзета-функция <math>\zeta_A(s)</math> оператора <math>A</math> определяется для произвольного комплексного числа <math>s</math>, лежащего в полуплоскости <math>\mathrm{Re} s > \alpha</math>, может быть задана сходящимся рядом
- <math>\zeta_A(s) = \sum_{\lambda_n \neq 0} \frac{1}{\lambda_n^s}</math>
Если заданная таким образом функция допускает аналитическое продолжение на область, содержащую некоторую окрестность точки <math>s = 0</math>, то на её основе можно определить регуляризованный детерминант оператора <math>A</math> в соответствии с формулой
- <math>\det \,'A = e^{- \frac{d\zeta_A}{ds}(0)}.</math>
История
Как функция вещественной переменной дзета-функция была введена в 1737 году Эйлером, который и указал её разложение в произведение. Затем эта функция рассматривалась Дирихле и, особенно успешно, Чебышёвым при изучении закона распределения простых чисел. Однако наиболее глубокие свойства дзета-функции были обнаружены позднее, после работы Римана (1859), где дзета-функция рассматривалась как функция комплексного переменного.