Числа Бернулли
| <math>B_0 = 1</math> |
| <math>B_1 = -\frac12</math> |
| <math>B_2 = \frac16</math> |
| <math>B_3 = 0</math> |
| <math>B_4 = -\frac1{30}</math> |
| <math>B_5 = 0</math> |
| <math>B_6 = \frac1{42}</math> |
| <math>B_7 = 0</math> |
| <math>B_8 = -\frac1{30}</math> |
| <math>B_9 = 0</math> |
| <math>B_{10} = \frac5{66}</math> |
| <math>B_{11} = 0</math> |
| <math>B_{12} = -\frac{691}{2730}</math> |
| <math>B_{13} = 0</math> |
| <math>B_{14} = \frac76</math> |
| <math>B_{15} = 0</math> |
| <math>B_{16} = -\frac{3617}{510}</math> |
| <math>B_{17} = 0</math> |
| <math>B_{18} = \frac{43867}{798}</math> |
| <math>B_{19} = 0</math> |
| <math>B_{20} = -\frac{174611}{330}</math> |
| <math>B_{22}=\frac{854513}{138}</math> |
| <math>B_{24}=-\frac{236364091}{2730}</math> |
| <math>B_{26}=\frac{8553103}{6}</math> |
| <math>B_{28}=-\frac{23749461029}{870}</math> |
| <math>B_{30}=\frac{8615841276005}{14322}</math> |
| <math>B_{32}=-\frac{7709321041217}{510}</math> |
| <math>B_{34}=\frac{2577687858367}{6}</math> |
| <math>B_{36}=-\frac{26315271553053477373}{1919190}</math> |
| <math>B_{38}=\frac{2929993913841559}{6}</math> |
| <math>B_{40}=-\frac{261082718496449122051}{13530}</math> |
| <math>B_{42}=\frac{1520097643918070802691}{1806}</math> |
| <math>B_{44}=-\frac{27833269579301024235023}{690}</math> |
| <math>B_{46}=\frac{596451111593912163277961}{282}</math> |
| <math>B_{48}=-\frac{5609403368997817686249127547}{46410}</math> |
| <math>B_{50}=\frac{495057205241079648212477525}{66}</math> |
Чи́сла Берну́лли — последовательность рациональных чисел <math>B_0, B_1, B_2, \dots</math>, впервые рассмотренная Якобом Бернулли в связи с вычислением суммы последовательных натуральных чисел, возведённых в одну и ту же степень:
- <math>\sum_{n=0}^{N-1} n^k = \frac1{k + 1} \sum_{s=0}^k \binom{k + 1}{s} B_s N^{k + 1 - s},</math>
где <math>\tbinom{k + 1}{s} = \tfrac{(k + 1)!}{s! \cdot (k + 1 - s)!}</math> — биномиальный коэффициент.
Некоторые авторы указывают другие определения, однако в большинстве современных учебников даётся такое же определение, как и здесь. При этом <math>B_1 = -\tfrac 1 2</math>. Часть авторов (например, трёхтомник Фихтенгольца) использует определение, которое отличается от этого только знаком <math>B_k</math>. Кроме того, так как за исключением <math>B_1</math> все числа Бернулли с нечётным номером равны 0, некоторые авторы используют обозначение «<math>B_n</math>» для <math>B_{2n}</math> или <math>|B_{2n}|</math>.
Рекуррентная формула
Для чисел Бернулли существует следующая рекуррентная формула:
- <math>B_0 = 1,</math>
- <math>B_n = \frac{-1}{n + 1} \sum_{k=1}^n \binom{n + 1}{k + 1} B_{n - k}, \quad n \in \mathbb{N}.</math>
Свойства
- Все числа Бернулли с нечётными номерами, кроме <math>B_1</math>, равны нулю, а знаки чисел Бернулли с чётными номерами чередуются.
- Числа Бернулли являются значениями многочленов Бернулли <math>B_n(x)</math> при <math>x = 0</math>:
- <math>B_n = B_n(0).</math>
- Числа Бернулли часто входят в коэффициенты разложения элементарных функций в степенной ряд. Например:
- Экспоненциальная производящая функция для чисел Бернулли:
- <math>\frac x{e^x - 1} = \sum_{n=0}^\infty \frac{B_n}{n!} x^n, |x| < 2\pi,</math>
- <math>x \operatorname{ctg} x = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n B_{2n} \frac{2^{2n}}{(2n)!} x^{2n}, |x| < \pi,</math>
- <math>\operatorname{tg} x = \sum_{n=1}^\infty |B_{2n}| \frac{2^{2n}(2^{2n} - 1)}{(2n)!} x^{2n-1}, |x| < \pi/2.</math>
- Экспоненциальная производящая функция для чисел Бернулли:
- Эйлер установил связь между числами Бернулли и значениями дзета-функции Римана ζ(s) при чётных s = 2k:
- <math>B_{2k} = 2(-1)^{k+1} \frac{\zeta(2k)\,(2k)!}{(2\pi)^{2k}}.</math>
- А также
- <math>B_n = -n\zeta(1 - n)</math> для всех натуральных n > 1.
- <math>\int\limits_0^\infty \frac{x^{2n-1}\,dx}{e^{2\pi x} - 1} = \frac1{4n}|B_{2n}|, \quad n = 1, 2, \dots.</math>
- Порядок роста чисел Бернулли даётся следующей асимптотической формулой:
- <math>|B_n| \sim \frac {2\cdot n!}{(2\pi)^n}</math> при чётных <math>n \to \infty</math>. Из формулы, написанной выше, следует равносильность этой асимптотики и равенства: <math>\lim\limits_{k\to \infty} {\zeta(2k)} =1 \; \text{по} \; k\in\mathbb{Z}</math>.
- Теорема Штаудта-Клаузена утверждает, что <math> B_{2n} + \sum_{(p-1)|2n} \frac1p \in \Z . </math>
- Из неё, в частности, следует, что знаменатель дроби <math>B_{2n}</math> есть произведение простых p таких, что p − 1 делит 2n.