Дедекиндово сечение
Дедеки́ндово сече́ние — один из способов построения вещественных чисел из рациональныхШаблон:Sfn. Вещественное число определяется как сечение, то есть способ разделить рациональные числа на два множества определённого. На такие сечения продолжаются операции сложения и умножения.
История
Метод был введён в 1872 году Рихардом Дедекиндом<ref>Richard Dedekind. Stetigkeit und irrationale Zahlen. Friedrich Vieweg und Sohn, Braunschweig 1872. (online).</ref><ref>Шаблон:Книга</ref>.
Аналогичное построение для геометрических величин неявно присутствует в «Началах» Евклида, а именно, в книге V определение 5 звучит следующим образом:
Говорят, что величины находятся в том же отношении первая ко второй и третья к четвёртой, если равнократные первой и третьей одновременно больше, одновременно равны или одновременно меньше равнократных второй и четвёртой каждая каждой при какой бы то ни было кратности, если взять их в соответствующем порядке (9, 10, 11, 12)<ref>Начала Евклида. Перевод с греческого и комментарии Шаблон:Nobr при редакционном участии Шаблон:Nobr и Шаблон:Nobr. М.-Л.: ГТТИ, 1949—1951. книги I—VI на www.math.ru Шаблон:Wayback или на mccme.ru Шаблон:Wayback; книги VII—X на www.math.ru (Шаблон:Wayback) или на mccme.ru (Шаблон:Wayback); книги XI—XIV на www.math.ru (Шаблон:Wayback) или на mccme.ru (Шаблон:Wayback).</ref>.
Близкие идеи опубликовал в 1849 году французский математик Жозеф Бертран<ref>Шаблон:Cite book Шаблон:Wayback Шаблон:Cite web</ref>.
Определение
Дедекиндово сечение — это разбиение множества рациональных чисел <math>\mathbb{Q}</math> на два подмножества <math>A</math> (нижнее, или левое) и <math>B</math> (верхнее, или правое) такие, чтоШаблон:Sfn:
- <math>a<b</math> для любых <math>a\in A</math> и <math>b\in B</math>,
- <math>B</math> не имеет наименьшего элемента.
Далее дедекиндово сечение обозначается <math>(A, B)</math> (хотя было бы достаточно указать одно из этих множеств, второе дополняет его до <math>\mathbb Q</math>).
Если множество <math>A</math> имеет наибольший элемент, то дедекиндово сечение можно отождествить с этим рациональным числом. В противном случае сечение определяет иррациональное число, которое больше всех чисел множества <math>A</math> и меньше всех чисел множества <math>B</math>. Определив на полученном множестве сечений арифметические операции и порядок, мы получаем поле вещественных чисел, причём каждое сечение определяет одно и только одно вещественное число.
Пример
Вещественному числу <math>\sqrt 2</math> соответствует дедекиндово сечение, для которогоШаблон:Sfn:
- множество <math>A = \{x \in \mathbb Q \mid x < 0 \lor x^2 < 2\};</math>
- множество <math>B = \{x \in \mathbb Q \mid x > 0 \land x^2 > 2\}.</math>
Интуитивно можно представить себе, что для того, чтобы определить <math>\sqrt 2</math>, мы рассекли множество на две части: все числа, что левее <math>\sqrt 2</math>, и все числа, что правее <math>\sqrt 2</math>; соответственно, <math>\sqrt 2</math> равен точной нижней грани множества <math>B</math>.
Упорядоченность дедекиндовых сечений
Введём во множестве сечений порядок. Сначала определим, что два сечения <math>(A, B)</math> и <math>(C, D)</math> равны, если <math>A=C</math> (тогда и <math>B=D</math>). Далее определимШаблон:Sfn:
- <math>(A, B) < (C, D)</math>, если <math>A \subset C</math> и при этом <math>A \ne C.</math>
Нетрудно проверить, что все требования линейного порядка выполнены. Кроме того, для рациональных чисел новый порядок совпадает со старым.
Из данного определения порядка следует:
- Теорема о приближении. Любое вещественное число может быть с любой точностью приближено рациональными числами, то есть может быть заключено в интервал с рациональными границами произвольно малой длиныШаблон:Sfn.
Арифметика дедекиндовых сечений
Для определения арифметических действий с сечениями можно воспользоваться сформулированной в предыдущем разделе теоремой о приближении.
Пусть <math>\alpha, \beta</math> — вещественные числа. Согласно теореме о приближении, для них можно указать интервалы-приближения с рациональными границами:
- <math>a_1<\alpha<a_2\quad b_1<\beta<b_2.</math>
Тогда суммой <math>\alpha + \beta</math> называетсяШаблон:Sfn вещественное число, содержащееся во всех интервалах вида <math>(a_1+b_1, a_2+b_2).</math> Сумма вещественных чисел всегда существует, однозначно определена и для рациональных чисел совпадает с прежним определением суммы. Вычитание всегда возможно, поэтому относительно так определённой операции сложения вещественные числа образуют аддитивную группу.
Аналогично определяется умножение вещественных чисел, которое вместе со сложением превращает множество вещественных чисел в упорядоченное полеШаблон:Sfn.
Вариации и обобщения
- См. также: Шаблон:Iw
Дедекиндовы сечения можно аналогично определить не только для рациональных чисел, но и в любом другом линейно упорядоченном множестве. См. Шаблон:Iw. Можно показать, что применение этой процедуры к множеству вещественных чисел <math>\mathbb R</math> даёт снова <math>\mathbb R.</math>
Аналог дедекиндовых сечений используется для построения сюрреальных чисел<ref>Шаблон:Cite web</ref>.