Двенадцатигранники
Двенадцатигра́нник — многогранник с двенадцатью гранями.
Существует несколько объёмных фигур с двенадцатью гранями.
С древнейших времён известна фигура, у которой 12 граней, это правильный додекаэдр. Такой додекаэдр — одно из пяти платоновых тел и обладает симметрией вращения пятого порядка. Однако, у этого во многих отношениях идеального многогранника есть недостаток. Дело в том, что правильными пятиугольниками нельзя без зазоров покрыть плоскость. Также додекаэдрами невозможно плотно заполнить пространство. Из этого следует невозможность существования кристаллов с осями симметрии пятого порядка и невозможность существования кристаллов в форме платонова додекаэдра. Однако, известны вирусы и белки́ в форме такого додекаэдра, с осями симметрии пятого порядка. Предполагают, что они приобрели такую форму во избежание кристаллизации. Также известны квазикристаллы в форме правильного додекаэдра (такие как Шаблон:Нп5) с икосаэдральной симметрией, котроая включает истинные оси вращения пятого порядкаШаблон:R.
Три из четырёх тел Кеплера-Пуансо также являются правильными додекаэдрами.
Фигура, огранённая равными ромбами и являющаяся двойственным кубооктаэдру многогранником.
Гексагональная бипирамида
Фигура, получающаяся при соединении двух одинаковых правильных шестиугольных пирамид через их основания.
-
Гексагональная бипирамида
Другие додекаэдры с пятиугольными гранями
В кристаллографии два важных додекаэдра встречаются в виде кристаллических форм в некотором классе симметрий кубической сингонии, которая топологически эквивалентна правильному додекаэдру, но менее симметрична — пиритоэдр с пиритоэдральной симметрией и тетартоид с тетраэдральной симметрией.
Пентагондодекаэдр (пиритоэдр)
Визуально очень похож на платоново тело, но имеет совсем другую симметрию — центральный вид симметрии кубической сингонии (Th). Подобно правильному додекаэдру он имеет двенадцать одинаковых пятиугольных граней при трёх сходящихся в каждой из 20 вершин гранях. Однако не требуется, чтобы пятиугольники были правильными. Грани симметричны относительно плоскости, проходящей через центр фигуры. 30 рёбер многогранника делятся на два множества, содержащих 24 и 6 рёбер с одинаковыми длинами. Единственные оси вращения — три попарно перпендикулярные второго порядка и четыре оси третьего порядкаШаблон:R. Хотя правильный додекаэдр не встречается в кристаллах, пиритоэдр является одной из простых форм кристаллов, встречается в кристаллах пиритаШаблон:R и это может послужить источником вдохновения для открытия формы правильного многогранникаШаблон:R.
_-Krantz_375-_(2),_crop.jpg){kind=link}
Кристалл пирита
Название Кристалл пирита пришло из одного из двух габитусов (обликов) кристаллов, образованных пиритом (другой - куб). В пиритоэдральном пирите грани имеют индекс Миллера (210), что означает, что двугранный угол равен 2·arctan(2) ≈ 126.87° и каждая пятиугольная грань имеет один угол примерно 121.6° между двумя углами примерно в 106.6°, а противоположные два угла равны примерно 102.6°. Следующие формулы показывают размеры граней в идеальном кристалле (который редко встречается в природе).
<math>\text{Высота} = \frac{\sqrt{5}}{2} \cdot \text{Длинная сторона}</math>
<math>\text{Ширина} = \frac{4}{3} \cdot \text{Длинная сторона}</math>
<math>\text{Короткие стороны} = \sqrt{\frac{7}{12}} \cdot \text{Длинная сторона}</math>
Декартовы координаты
Восемь вершин куба имеют координаты (±1, ±1, ±1).
Координаты 12 других вершин (0, ±(1 + h), ±(1 − h2)), (±(1 + h), ±(1 − h2), 0) и (±(1 − h2), 0, ±(1 + h)).
Здесь h — высота клиновидной «крыши» над гранью губа со стороной длины 2.
Важный случай — h = Шаблон:Sfrac (четверть длины куба) для идеального природного пирита (also the pyritohedron in the Шаблон:Нп5).
Другой важный случай — h = Шаблон:Sfrac = 0.618... для правильного додекаэдра. Смотрите раздел Геометрическая свобода для других вариантов.
Два пиритоэдра с обмененными ненулевыми координатами находятся в двойственных позиция друг друга как додекаэдры в Шаблон:Нп5.
| Анимация | |
|---|---|
| Файл:Endo-dodecahedron honeycomb.gif | Файл:Pyritohedron animation.gif |
| Соты из чередующихся выпуклых и вогнутых перитоэдров с высотой между ±Шаблон:Sfrac | Высоты между 0 (куб) и 1 (ромбододекаэдр) |
Геометрическая свобода
Пиритоэдр имеет геометрическую свободу с предельными случаями - кубическая выпуклая оболочка с коллинеарными рёбрами в качестве одного предела и ромбододекаэдр в качестве другого предела, когда 6 рёбер вырождаются до нулевой длины. Пиритоэдр получается из ромбододекаэдра, если отклонить грань ромбододекаэдра в сторону вершины. Правильный додекаэдр представляет специальный промежуточный случай, когда все рёбра и углы равны.
-
индекс грани {10,9,0}
-
индекс грани {2,1,0}
-
индекс грани {7,1,0}
Можно обойти эти предельные случаи, создавая вогнутые или невыпуклые пиритоэдры. Эндододекаэдр является вогнутым и равносторонним, вместе с выпуклым правильным додекаэдром он может заполнять пространство. Продолжая в том же направлении мы проходим вырожденный случай, когда двенадцать вершин оказываются в центре, и получаем правильный большой звёздчатый додекаэдр, когда все рёбра и углы снова становятся равными, а грани превращаются в правильные пентаграммы. В другую сторону проходим ромбододекаэдр и получаем невыпуклый равносторонний додекаэдр с похожими на рыбки самопересекающимися равносторонними пятиугольными гранями.
| Специальные случаи пиритоэдра | |||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Версии с равными по абсолютной величине и противоположными знаками вместе образуют соты. (Сравните эту анимацию.) Показанное отношение — отношение длин, а именно длин из множества 24 рёбер к длинам рёбер из множества 6 рёбер. | |||||||
| Отношение | 1 : 1 | 0 : 1 | 1 : 1 | 2 : 1 | 1 : 1 | 0 : 1 | 1 : 1 |
| h | −Шаблон:Sfrac | −1 | Шаблон:Sfrac | 0 | Шаблон:Sfrac | 1 | Шаблон:Sfrac |
| −1.618... | −0.618... | 0.618... | 1.618... | ||||
| Изображение | Файл:Great stellated dodecahedron.png Правильная звезда, большой звёздчатый додекаэдр, с гранями в виде пентаграмм |
Файл:Degenerate-pyritohedron.png Вырожденный додекаэдр, 12 вершин в центре |
Файл:Concave pyritohedral dodecahedron.png Вогнутый равносторонний додекаэдр, называемый эндододекаэдром. |
Файл:Pyritohedron cube.png куб может быть разделён в пиритоэдр путём деления пополам всех рёбер и деления граней в чередующихся направлениях. |
Файл:Dodecahedron.png Правильный додекаэдр является промежуточным случаем с равными длинами рёбер. |
Файл:Rhombicdodecahedron.jpg Ромбододекаэдр является вырожденным случаем, когда 6 рёбер сокращаются до нулевой длины. |
Файл:Exo-dodecahedron.png Самопересекающийся равносторонний додекаэдр |
Тетартоид (пентагонтритетраэдр)
Тетартоид (также пентагонтритетраэдр) — это додекаэдр с хиральной тетраэдральной симметрией (T). Подобно правильному додекаэдру, он имеет двенадцать одинаковых пятиугольных граней, которые по три встречаются в каждой из 20 вершин. Однако пятиугольники не являются правильными и фигура не обладает осями симметрии порядка 5.
Хотя правильный додекаэдр в кристаллах не существует, тетартоидная форма встречается. Название тетартоид происходит от греческого «одна четвёртая», поскольку он имеет четверть полной октаэдральной симметрии и половину пирамидальной<ref>Dutch, Steve. The 48 Special Crystal Forms Шаблон:Webarchive. Natural and Applied Sciences, University of Wisconsin-Green Bay, U.S.</ref> Минерал кобальтин может иметь симметрию этого вида<ref>Crystal Habit. Galleries.com. Retrieved on 2016-12-02.</ref>.
Абстракции, имеющие ту же топологию и симметрию, что и тело, могут быть созданы из куба и тетраэдра. В кубе каждая грань делится пополам наклонным ребром. В тетраэдре каждое ребро делится на три части и каждая новая вершина соединяется с центром одной из граней. (В нотации Конвея это гиротетраэдр.)
| Связь с диакисдодекаэдром | ||
|---|---|---|
|
Тетартоид может быть создан путём удлинения 12 из 24 граней Шаблон:Нп5. (Тетартоид, показанный здесь, сам получен путём увеличения 24 из 48 граней дисдакисдодекаэдра.)
Шаблон:Нп5 справа показывает тетартоид, созданный путём удлинения синих граней диакисдодекаэдра. Поэтому рёбра между синими гранями покрыты красными скелетными рёбрами. |
.jpg){kind=link}
Декартовы координаты
Следующие точки являются вершинами тетартоида с тетраэдральной симметрией:
- (a, b, c); (−a, −b, c); (−Шаблон:Sfrac, −Шаблон:Sfrac, Шаблон:Sfrac); (−c, −a, b); (−Шаблон:Sfrac, Шаблон:Sfrac, Шаблон:Sfrac),
при следующих условиях:<ref>The Tetartoid. Demonstrations.wolfram.com. Retrieved on 2016-12-02.</ref>
- Шаблон:Nowrap,
- n = a2c − bc2,
- d1 = a2 − ab + b2 + ac − 2bc,
- d2 = a2 + ab + b2 − ac − 2bc,
- Шаблон:Nowrap.
Геометрическая свобода
Правильный додекаэдр — это тетартоид с большей симметрией, чем требуется. Триакистетраэдр является вырожденным случаем с 12 рёбрами нулевой длины. (В терминах цветов, использованных выше, это означает, белые вершины и зелёные рёбра поглощаются зелёными вершинами.)
