Гиперболическое число

Шаблон:О Гиперболическое число (двойное число, паракомплесное число, расщепляемое комплексное число, контркомплексное число<ref>Шаблон:Cite web</ref>) — гиперкомплексное число вида <math>a + jb</math>, где <math>a</math> и <math>b</math> — вещественные числа, а <math>j^2 = 1</math>, причём <math>j \neq \pm 1</math>.

Сложение и умножение гиперболических чисел определяются по правилам:

<math>(x + j y) + (x' + j y') = (x + x') + j(y + y')</math>,

<math>(x + j y) \cdot (x' + j y') = (x x' + y y') + j(x y' + y x')</math>,

деление на число, не являющееся делителем нуля:

<math>\frac{a+bj}{c+dj} = \frac{ac-bd}{c^2-d^2} + \frac{bc-ad}{c^2-d^2} j.</math>

Гиперболические числа можно представить как матрицы из вещественных чисел, при этом сложению и умножению гиперболических чисел будут соответствовать сложение и умножение соответствующих матриц:

<math> j = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}</math>,

<math>x + j y = \begin{pmatrix} x & y \\ y & x \end{pmatrix}</math>.

Название обусловлено следующей связью с гиперболическими функциями:

<math> \mathrm{e}^{j x} = \operatorname{ch} x + j \operatorname{sh} x</math>,

<math> \operatorname{sh}jx=j\operatorname{sh}x</math>,

<math> \operatorname{ch}jx=\operatorname{ch}x</math>.

Гиперболические числа образуют двумерную ассоциативно-коммутативную алгебру над полем вещественных чисел.

Алгебра гиперболических чисел содержит делители нуля (то есть такие ненулевые элементы <math>z</math> и <math>w</math>, что <math>zw=0</math>) и поэтому, в отличие от алгебры комплексных чисел, не является полем. Все делители нуля имеют вид <math>a \cdot (1\pm j)</math>.

Если взять <math>\alpha=(1+j)/2</math> и <math>\beta=(1-j)/2</math>, то <math>\alpha \beta=0</math>, <math>\alpha^2=\alpha</math> и <math>\beta^2=\beta</math>. Любое гиперболическое число может быть представлено как сумма <math>\alpha x + \beta y</math>, где <math>x</math> и <math>y</math> — вещественные числа. В таком представлении сложение и умножение производится покоординатно. Таким образом, алгебра гиперболических чисел может быть разложена в прямую сумму двух полей вещественных чисел.

Среди приложений гиперболических чисел — релятивистская кинематика (в частности, геометрический смысл быстроты).

Литература

• Шаблон:Книга
• Bencivenga, Uldrico (1946) «Sulla rappresentazione geometrica delle algebre doppie dotate di modulo», Atti della Reale Accademia delle Scienze e Belle-Lettere di Napoli, Ser (3) v.2 No7. Шаблон:MathSciNet.
• Walter Benz (1973) Vorlesungen uber Geometrie der Algebren, Springer
• N. A. Borota, E. Flores, and T. J. Osler (2000) «Spacetime numbers the easy way», Mathematics and Computer Education 34: 159—168.
• N. A. Borota and T. J. Osler (2002) «Functions of a spacetime variable», Mathematics and Computer Education 36: 231—239.
• K. Carmody, (1988) «Circular and hyperbolic quaternions, octonions, and sedenions», Appl. Math. Comput. 28:47-72.
• K. Carmody, (1997) «Circular and hyperbolic quaternions, octonions, and sedenions — further results», Appl. Math. Comput. 84:27-48.
• William Kingdon Clifford (1882) Mathematical Works, A. W. Tucker editor, page 392, «Further Notes on Biquaternions»
• V.Cruceanu, P. Fortuny & P.M. Gadea (1996) A Survey on Paracomplex Geometry, Rocky Mountain Journal of Mathematics 26(1): 83-115, link from Project Euclid.
• De Boer, R. (1987) «An also known as list for perplex numbers», American Journal of Physics 55(4):296.
• Anthony A. Harkin & Joseph B. Harkin (2004) Geometry of Generalized Complex Numbers, Mathematics Magazine 77(2):118-29.
• F. Reese Harvey. Spinors and calibrations. Academic Press, San Diego. 1990. Шаблон:Isbn. Contains a description of normed algebras in indefinite signature, including the Lorentz numbers.
• Hazewinkle, M. (1994) «Double and dual numbers», Encyclopaedia of Mathematics, Soviet/AMS/Kluwer, Dordrect.
• Kevin McCrimmon (2004) A Taste of Jordan Algebras, pp 66, 157, Universitext, Springer Шаблон:Isbn Шаблон:Lang-ref
• C. Musès, «Applied hypernumbers: Computational concepts», Appl. Math. Comput. 3 (1977) 211—226.
• C. Musès, «Hypernumbers II—Further concepts and computational applications», Appl. Math. Comput. 4 (1978) 45-66.
• Olariu, Silviu (2002) Complex Numbers in N Dimensions, Chapter 1: Hyperbolic Complex Numbers in Two Dimensions, pages 1-16, North-Holland Mathematics Studies #190, Elsevier Шаблон:Isbn.
• Poodiack, Robert D. & Kevin J. LeClair (2009) «Fundamental theorems of algebra for the perplexes», The College Mathematics Journal 40(5):322-35.
• Шаблон:Cite book