Выпуклый функционал
Перейти к навигации
Перейти к поиску
Выпуклый функционал — функционал, являющийся выпуклой функцией, то есть, надграфик которого является выпуклым множеством.
Формально, функционал <math>p</math>, определённый на линейном пространстве <math>L</math>, называется выпуклым, если выполненоШаблон:Sfn:
- <math>p(\alpha x + \beta y) \le \alpha p(x) + \beta p(y)\ , \forall x, y \in L, \forall \alpha, \beta \geqslant 0, \alpha + \beta = 1</math>.
Примерами выпуклых функционалов являются полунорма, норма, линейный функционал и функционал Минковского выпуклого и симметричного множества.
Если <math>p</math> и <math>q</math> — выпуклые функционалы, <math>\alpha</math> — положительное число, то следующие функционалы являются выпуклыми:
- <math>(p+q)(x)=p(x)+q(x)</math>
- <math>(\alpha p)(x)=\alpha p(x)</math>
- <math>(p\vee q)(x)=\max (p(x),q(x))</math>
- Инфимальная конволюция: <math>(p\oplus q)(x)=\inf_{y+z=x}(p(y)+q(z))</math>
Теория выпуклых функционалов используется в выпуклом программированииШаблон:Sfn.
Ссылки
- Половинкин Е. С, Балашов М. В. Элементы выпуклого и сильно выпуклого анализа. — М.: Физматлит, 2004. — 416 с. — ISBN 5-9221-0499-3.
- [[Категория:Слова {{ #switch: МЭ|ar =арабского|de =немецкого|el =греческого|en =английского|es =испанского|it =итальянского|ja =японского|fa =персидского|fr =французского|la =латинского|nl =нидерландского|pl =польского|ru=русского|uk=украинского|cs=чешского|lt=литовского|grc=греческого|zh=китайского|неопределённого}} происхождения{{#if:|{{ #switch: |да=/ru|нет=|/}}|/ru}}]]