Великая теорема Ферма

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Издание 1670 года «Арифметики» Диофанта включает комментарий Ферма, в частности его «последнюю теорему» (Observatio Domini Petri de Fermat)

Великая теорема Ферма́ (или последняя теорема Ферма) — одна из самых популярных теорем математики. Сформулирована французским математиком Пьером Ферма в 1637 году. Несмотря на простоту формулировки, буквально, на «школьном» арифметическом уровне, доказательство теоремы искали многие математики на протяжении более трёхсот лет. И только в 1994 году теорема была доказана английским математиком Эндрю Уайлсом с коллегами; публикация доказательства состоялась в 1995 году.

Формулировка

Теорема утверждает<ref>Шаблон:Книга</ref>, что для любого натурального числа <math>n > 2</math> уравнение

<math>a^n + b^n = c^n</math>

не имеет решений в целых ненулевых числах <math>a, b, c</math>.

Встречается более узкий вариант формулировки, утверждающий, что это уравнение не имеет натуральных решений. Однако очевидно, что если существует решение для целых чисел, то существует и решение в натуральных числах. В самом деле, пусть <math>a, b, c</math> — целые числа, дающие решение уравнения Ферма. Если <math>n</math> чётно, то <math>|a|, |b|, |c|</math> тоже будут решением, а если нечётно, то перенесём все степени отрицательных значений в другую часть уравнения, изменив знак. Например, если бы существовало решение уравнения <math>a^3 + b^3 = c^3</math> и при этом <math>a</math> отрицательно, а прочие положительны, то <math>b^3 = c^3 + |a|^3</math>, и получаем натуральные решения <math>c, |a|, b.</math> Поэтому обе формулировки эквивалентны.

Обобщениями утверждения теоремы Ферма являются опровергнутая гипотеза Эйлера и открытая гипотеза Ландера — Паркина — Селфриджа.

История

Для случая <math>n = 3</math> эту теорему в X веке пытался доказать ал-Худжанди, но его доказательство не сохранилось. Камал ад-Дин аль-Фариси расширил формулировку теоремы на <math>n = 4</math>.

В общем виде теорема была сформулирована Пьером Ферма в 1637 году на полях «Арифметики» Диофанта. Дело в том, что Ферма делал свои пометки на полях читаемых математических трактатов и там же формулировал пришедшие на ум задачи и теоремы. Теорему, о которой ведётся речь, он записал с припиской, что найденное им остроумное доказательство этой теоремы слишком длинно, чтобы его можно было поместить на полях книги: <templatestyles src="Шаблон:Начало_цитаты/styles.css" />{{#ifexpr: 0 mod 2 = 0 and 0 != 4 and 0 != 104 |

}}{{#if: |

:

}}

{{#ifexpr: 0 mod 2 = 0 and 0 != 4 and 0 != 104 |

}} Наоборот, невозможно разложить куб на два куба, биквадрат на два биквадрата и вообще никакую степень, большую квадрата, на две степени с тем же показателем. Я нашёл этому поистине чудесное доказательство, но поля книги слишком узки для него. Шаблон:Oq {{#if:

| <templatestyles src="Шаблон:Конец цитаты/styles.css" />

—

}}

Доказательство самого Ферма для случая <math>n = 4</math> в 45-м комментарии к «Арифметике» Диофанта

Ферма приводит только доказательство как решение задачи, сводимой к четвёртой степени теоремы, <math>n = 4</math>, в 45-м комментарии к «Арифметике» Диофанта<ref name=diophant>Diophantus of Alexandria. Arithmeticorum libri sex, et de numeris multangulis liber unus. Cum commentariis C. G. Bacheti V. C. & observationibus D. P. de Fermat senatoris Tolosani. Toulouse, 1670, p. 338—339.</ref> и в письме к Каркави (август 1659 года)<ref name=oeuvres_II>Fermat a Carcavi. Aout 1659. Oeuvres de Fermat. Tome II. Paris: Tannery & Henry, 1904, p. 431—436.</ref>. Кроме этого, Ферма включил случай <math>n = 3</math> в список задач, решаемых методом бесконечного спуска<ref name=oeuvres_II />.

Эйлер в 1770 году доказал теорему<ref>Шаблон:Статья Английский перевод: Шаблон:Статья</ref> для случая <math>n = 3</math>, Дирихле и Лежандр в 1825 году — для <math>n = 5</math>, Ламе — для <math>n = 7</math>. Куммер показал, что теорема верна для всех простых <math>n</math>, меньших 100, за возможным исключением так называемых иррегулярных простых 37, 59, 67.

Принято называть утверждение, что уравнение <math>a^n + b^n = c^n</math> не может быть удовлетворено не делящимися на <math>n</math> числами, первым случаем теоремы Ферма, а утверждение, что уравнение <math>a^n + b^n = c^n</math> не может быть удовлетворено числами, одно из которых делится на <math>n</math>, — вторым случаем теоремы Ферма<ref>Шаблон:Статья</ref>. Первый случай теоремы Ферма для показателей в виде чисел Софи Жермен был доказан теоремой Софи Жермен.

Над полным доказательством Великой теоремы работало немало выдающихся математиков и множество дилетантов-любителей; считаетсяШаблон:Кем, что теорема стои́т на первом месте по количеству некорректных «доказательств». Тем не менее эти усилия привели к получению многих важных результатов современной теории чисел. Давид Гильберт в своём докладе «Математические проблемы» на II Международном конгрессе математиков (1900) отметил, что поиск доказательства для этой, казалось бы, малозначимой теоремы привёл к глубоким результатам в теории чисел<ref>Давид Гильберт. Математические проблемы Шаблон:Wayback: <templatestyles src="Шаблон:Начало_цитаты/styles.css" />{{#ifexpr: 0 mod 2 = 0 and 0 != 4 and 0 != 104 |

}}{{#if: |

:

}}

{{#ifexpr: 0 mod 2 = 0 and 0 != 4 and 0 != 104 |

}} Проблема доказательства этой неразрешимости являет разительный пример того, какое побуждающее влияние на науку может оказать специальная и на первый взгляд малозначительная проблема. Ибо, побуждённый задачей Ферма, Куммер пришёл к введению идеальных чисел и к открытию теоремы об однозначном разложении чисел в круговых полях на идеальные простые множители — теоремы, которая теперь, благодаря обобщениям на любую алгебраическую числовую область, полученным Дедекиндом и Кронекером, является центральной в современной теории чисел и значение которой выходит далеко за пределы теории чисел в область алгебры и теории функций. {{#if:

| <templatestyles src="Шаблон:Конец цитаты/styles.css" />

—

}}

</ref>.

В 1908 году немецкий любитель математики Пауль Вольфскель завещал 100 тысяч немецких марок тому, кто докажет теорему Ферма. Однако после Первой мировой войны премия обесценилась.

В 1980-х годах появился новый подход к решению проблемы. Из гипотезы Морделла, доказанной Фальтингсом в 1983 году, следует, что уравнение <math>a^n + b^n = c^n</math> при <math>n > 3</math> может иметь лишь конечное число взаимно простых решений.

В 1984 году немецкий математик Шаблон:Нп5 доказал, что решение уравнения Ферма, если оно существует, можно включить в некоторое эллиптическое уравнение и предположил, что Великая теорема Ферма является следствием гипотезы Таниямы — Симуры. Это предположение было доказано Шаблон:Нп5<ref name="sej9802">Шаблон:Статья</ref>, который показал, что это гипотетическое уравнение не может иметь двойника среди модулярных форм.

Последний важный шаг в доказательстве теоремы был сделан Уайлсом в сентябре 1994 года. Его 130-страничное доказательство гипотезы Таниямы — Симуры было опубликовано в журнале «Annals of Mathematics»<ref>Шаблон:Статья</ref>.

Первый вариант своего доказательства Уайлс опубликовал в 1993 году (после семи лет работы), но в нём вскоре был Николасом Кацем обнаружен серьёзный пробел, который с помощью Ричарда Лоуренса Тейлора удалось достаточно быстро устранить, заменив метод Эйлера на теорию Ивасавы<ref>Шаблон:Статья Шаблон:Cite web</ref>. В 1995 году был опубликован завершающий вариант<ref>Шаблон:Книга</ref>. В 2016 году за доказательство Великой теоремы Ферма Эндрю Уайлс получил Абелевскую премию<ref>Абелевскую премию получит британец, доказавший Великую теорему Ферма Шаблон:Wayback.</ref>.

Колин Мак-Ларти отметил, что, возможно, доказательство Уайлса удастся упростить, чтобы не предполагать существования так называемых «больших кардиналов»<ref>Шаблон:Статья</ref><ref>Шаблон:Cite web</ref>.

Теорема Ферма также тривиально следует из abc-гипотезы, о доказательстве которой заявил японский математик Синъити Мотидзуки; его доказательство отличается исключительной сложностью. В настоящее время в математическом сообществе нет чёткого консенсуса в отношении его работ<ref name="Roberts2019">Шаблон:Публикация</ref>.

Некоторые вариации и обобщения

Одна из гипотез, выдвинутых Эйлером (1769 год), утверждала, что уравнение <math>a^4 + b^4 + c^4 = d^4</math> не имеет натуральных решений <math>a, b, c, d.</math> Только в XX веке, с помощью мощных компьютеров, удалось найти контрпримеры, опровергающие гипотезу. В 1988 году Ноам Элкис обнаружил следующее решение<ref>Шаблон:Книга</ref>:

<math>2\,682\,440^4 + 15\,365\,639^4 + 18\,796\,760^4 = 20\,615\,673^4.</math>

Позднее были найдены и другие решения; простейшее из них:

<math>95\,800^4 + 217\,519^4 + 414\,560^4 = 422\,481^4.</math>

Ещё одним популярным обобщением теоремы Ферма является гипотеза Била, сформулированная в 1993 году американским математиком-любителем, пообещавшим за её доказательство или опровержение 1 миллион долларов США.

«Ферматисты»

Авторское свидетельство, выданное Министерством образования и науки Украины Г. А. Середкину и Л. В. Шаповаловой на работу с «доказательством» теоремы Ферма

Простота формулировки теоремы Ферма (доступная в понимании даже школьнику) вдохновляла многих недостаточно компетентных людей на попытки её доказать. Это явление не исчезло даже после того, как доказательство было найдено, поскольку некоторые любители либо не знают о результатах Уайлса, либо хотят найти более простое доказательство. Людей, пытающихся доказать теорему Ферма элементарными методами, называют «ферматистами» или «ферматиками»<ref name="KvantoFLT"/>. Ферматисты зачастую не являются профессионалами и допускают ошибки в арифметических действиях или логических выводах, хотя некоторые представляют весьма изощрённые «доказательства», в которых трудно найти ошибку.

Доказывать теорему Ферма в среде любителей математики было настолько популярно, что в 1972 году журнал «Квант», публикуя статью о теореме Ферма, сопроводил её следующей припиской<ref name="KvantoFLT">Шаблон:Статья</ref>: «Редакция „Кванта“ со своей стороны считает необходимым известить читателей, что письма с проектами доказательств теоремы Ферма рассматриваться (и возвращаться) не будут».

Немецкому математику Эдмунду Ландау очень докучали «ферматисты». Чтобы не отвлекаться от основной работы, он заказал несколько сотен бланков с шаблонным текстом, сообщающим, что на определённой строке на некоторой странице находится ошибка, при этом находить ошибку и заполнять пробелы в бланке он поручал своим аспирантам.

Отдельные ферматисты добиваются публикации своих (неверных) «доказательств» в ненаучной прессе, которая раздувает их значение до научной сенсации<ref name=andreev>Шаблон:Cite web</ref><ref name=ilin>Шаблон:Cite web</ref>. Впрочем, иногда такие публикации появляются и в уважаемых научных изданиях<ref>Человечество может расслабиться Шаблон:Wayback. Сайт Российской академии наук.</ref>, как правило, с последующими опровержениями<ref>Теорема Ферма доказала, что попытки доказать её не прекратятся никогда Шаблон:Wayback. Сайт Российской академии наук.</ref>. Среди других примеров:

  • Брошюра В. И. Будкина, изданная в Ярославле под названием «Методика познания „истины“. Доказательство Великой теоремы Ферма» (47 с., 5000 экз., Верхне-Волжское книжное издательство, 1975)<ref>Пионеры Шаблон:Wayback.</ref>.
  • Книга Л. Ш. Райхеля «Великая теорема», изданная в Ленинграде в 1990 году<ref>Лазарь Шлёмович Райхель. Великая теорема: (Повесть) [Об учителе физики Л. Г. Марголине] / Л. Райхель — Л.: Б. м. Б. и. 252 с., 1990 (обл. 1991).</ref>.
  • Свидетельство о регистрации авторских прав на произведение «доказательство теоремы Ферма», выданное Министерством образования и науки Украины Л. В. Шаповаловой и Г. А. Середкину. Документ не удостоверяет каким-либо образом правильность доказательства, а лишь регистрирует авторские права на поданный в Министерство образования и науки печатный труд; на это министерство возложена обязанность ведения реестра таких свидетельств<ref>Постановление Кабинета министров Украины от 27.12.2001 г. № 1756 «О государственной регистрации авторского права…».</ref>.

Теорема Ферма в культуре и искусстве

Почтовая марка Чехии 2000 года ко Всемирному году математики, посвящённая теореме

Великая теорема Ферма стала символом труднейшей научной проблемы и в этом качестве часто упоминается в беллетристике. Далее перечислены некоторые произведения, в которых теорема не просто упомянута, но является существенной частью сюжета или идеологии произведения.

В рассказе Артура Порджеса «Саймон Флэгг и дьявол»<ref>Шаблон:Статья Русский перевод: Шаблон:Статья</ref> профессор Саймон Флэгг обращается за доказательством теоремы к дьяволу. По этому рассказу снят короткометражный игровой научно-популярный фильм «Математик и чёрт» (СССР, 1972, киностудия «Центрнаучфильм», творческое объединение «Радуга», режиссёр Райтбурт).

Александр Казанцев в романе «Острее шпаги» в 1983 году предложил оригинальную версию отсутствия доказательства самого Пьера Ферма.

В телесериале «Звёздный Путь» капитан космического корабля Жан-Люк Пикар был озадачен разгадкой Великой теоремы Ферма во второй половине XXIV века. Таким образом, создатели фильма предполагали, что решения у Великой теоремы Ферма не будет в ближайшие 400 лет. Серия «Рояль» с этим эпизодом была снята в 1989 году, когда Эндрю Уайлс был в самом начале своих работ. В действительности решение было найдено всего спустя пять лет.

В посвящённой Хэллоуину 1995 года серии «Симпсонов» двухмерный Гомер Симпсон случайно попадает в третье измерение. Во время его путешествия в этом странном мире в воздухе парят геометрические тела и математические формулы, включая неверное равенство <math>1782^{12} + 1841^{12} = 1922^{12}</math>. Калькулятор с точностью не более 10 значащих цифр «подтверждает» это равенство:

<math>\begin{align}

1782^{12} + 1841^{12} &= 2\,541\,210\,258\,614\,589\,176\,288\,669\,958\,142\,428\,526\,657 \approx 2{,}541\,210\,259\cdot 10^{39}, \\ 

  1922^{12} &= 2\,541\,210\,259\,314\,801\,410\,819\,278\,649\,643\,651\,567\,616  \approx  2{,}541\,210\,259\cdot 10^{39}.

\end{align}</math> Тем не менее, даже без вычисления точных значений легко видеть, что равенство неверно: левая часть — нечётное число, а правая часть — чётное.

В первом издании «Искусства программирования» Дональда Кнута теорема Ферма приведена в качестве упражнения с математическим уклоном в самом начале книги и оценена максимальным числом (50) баллов, как «исследовательская проблема, которая (насколько это было известно автору в момент написания) ещё не получила удовлетворительного решения. Если читатель найдёт решение этой задачи, его настоятельно просят опубликовать его; кроме того, автор данной книги будет очень признателен, если ему сообщат решение как можно быстрее (при условии, что оно правильно)». В третьем издании книги это упражнение уже требует знаний высшей математики и оценивается лишь в 45 баллов.

В книге Стига Ларссона «Девушка, которая играла с огнём»<ref>В 2010 году книга вышла на русском языке в издательстве «Эксмо», в оригинале название «Шаблон:Lang-sv2», в английском переводе «Шаблон:Lang-en2».</ref> главная героиня Лисбет Саландер, обладающая редкими способностями к аналитике и фотографической памятью, в качестве хобби занята доказательством Великой теоремы Ферма, на которую она наткнулась, читая фундаментальный труд «Измерения в математике», в котором приводится и доказательство Эндрю Уайлса. Лисбет не хочет изучать готовое доказательство, а главным интересом становится поиск собственного решения. Поэтому всё своё свободное время она посвящает самостоятельному поиску «замечательного доказательства» теоремы великого француза, но раз за разом заходит в тупик. В конце книги Лисбет находит доказательство, которое не только совершенно отлично от предложенного Уайлсом, но и является настолько простым, что сам Ферма мог бы его найти. Однако после ранения в голову она его забывает, и Ларссон не приводит никаких подробностей этого доказательства.

Мюзикл «Последнее танго Ферма» создан в 2000 году Шаблон:Нп5 и Джоан Лесснер по мотивам реальной истории Эндрю Уайлса. Главный герой по имени Дэниел Кин завершает доказательство теоремы, а дух самого Ферма старается ему помешать. Мюзикл был представлен в театре York Theatre в Нью-Йорке, затем записан и издан институтом Клэя<ref>Шаблон:Публикация</ref>.

За несколько дней до своей смерти Артур Кларк успел отрецензировать рукопись романа «Последняя теорема», над которой он трудился в соавторстве с Фредериком Полом. Книга вышла уже после смерти Кларка.

Примечания

Шаблон:Примечания

Литература

На русском

На английском

Ссылки

  • Andrey J. Hanson. Шаблон:Youtube: [пер. с англ.] — Indiana University Department of Computer Sience and the Center for Innovative Computer Applications. (1990)

Шаблон:Внешние ссылки

Источник — https://camokathomelab.servebeer.com/mediawiki/index.php?title=Великая_теорема_Ферма&oldid=9074