Катеноид
Катеноид — минимальная поверхность, образуемая вращением цепной линии.
- <math>y=a\,\operatorname{ch}\,\frac{x}{a}</math> вокруг оси <math>OX</math>.
История
Катеноид был впервые описан Эйлером в 1744 году. Слово катеноид образовано от лат. catena означает цепь и греческого éidos — вид.
Уравнения
Катеноид можно задать и параметрически:
- <math>u\in\R, \quad v\in\left[0;2\pi\right),\qquad
\begin{cases} x=\operatorname{ch}(u)\,\cos(v)\\ y=\operatorname{ch}(u)\,\sin(v)\\ z=u\end{cases},</math> где <math>\operatorname{ch}</math> — гиперболический косинус.
Свойства
- Является минимальной поверхностью.
- В частности, форму катеноида принимает мыльная плёнка, натянутая на две близких проволочных окружности, плоскости которых перпендикулярны линии, соединяющей их центры.
- Не слишком большой участок катеноида можно изометрически (без сжатий и растяжений) преобразовать в участок геликоида.
- Общая кривизна равна <math>-4\cdot \pi</math>.
- Полная погруженная минимальная поверхность в <math>\R^3</math> с общей кривизны <math>-4\cdot \pi</math> является либо катеноидом либо поверхностью Эннепера.