Теорема Барбье
Теорема Барбье́ — теорема французского астронома и математика Шаблон:Не переведено 3, описывающая длину кривых постоянной ширины. Сформулирована и доказана Барбье в 1860 году.
Формулировка
Длина любой кривой постоянной ширины <math>a</math> равна <math>\pi a</math>.
Доказательства
Существует несколько доказательств теоремы Барбье:
- Основанное на методах выпуклой геометрии. С одной стороны, выпуклая фигура является фигурой постоянной ширины <math>a</math>, тогда и только тогда, когда сумма Минковского её и её образа при центральной симметрии оказывается кругом радиуса <math>a</math>. С другой стороны, при сумме по Минковскому плоских выпуклых фигур их периметры складываются, периметр фигуры постоянной ширины равен половине периметра круга радиуса <math>a</math>, то есть <math>\pi a</math>.<ref>Шаблон:Cite web</ref>
- Основанное на теории вероятностей или формуле Крофтона. Барбье доказал теорему, обобщающую известный ответ в задаче Бюффона о бросании иглы. Он показал, что при бросании выпуклой фигуры на плоскость, расчерченную линиями на расстоянии <math>d</math> друг от друга, если фигура не может пересечь более одной из этих линий, то вероятность, что фигура пересечёт одну из линий, оказывается равной <math>\frac{L}{\pi d}</math>, где <math>L</math> — периметр этой фигуры<ref>Шаблон:Статья</ref><ref>
Шаблон:Статья</ref>. Поскольку фигура постоянной ширины <math>a</math> удовлетворяет условию этой теоремы для <math>d=a</math>, а вероятность пересечения в этом случае равна единице, её периметр должен равняться <math>\pi a</math>.<ref>Шаблон:Cite web</ref>
Вариации и обобщения
- Теорема Барбье также выполняется для фигур постоянной ширины в плоскости Минковского.
- Формула Крофтона