Кривая Леви
Кривая Леви — фрактал. Предложен французским математиком П. Леви. Получается, если взять половину квадрата вида /\, а затем каждую сторону заменить таким же фрагментом, и, повторяя эту операцию, в пределе получим кривую Леви.
L-система, порождающая кривую Леви:
- переменные : F
- константы : + −
- начало : F
- правила : −F++F−
- угол : 45°
Свойства
- Кривая Леви нигде не дифференцируема и не спрямляема.
- На любом интервале кривой Леви есть точки самопересечения.
- Хаусдорфова размерность границы кривой Леви приблизительно равна 1,9340. (Кривая Леви состоит из двух равных частей, каждая из которых подобна всей кривой с коэффициентом подобия <math>1/\sqrt2</math>, из-за отсутствия существенных самопересечений её размерность в точности равна <math>2=\ln 2/\ln \sqrt 2</math>.)
- Кривая Леви — крона дерева Пифагора.
Вариации
Стандартная кривая Леви строится с помощью равнобедренных треугольников с углами при основании 45°. Вариации кривой Леви можно построить с помощью равнобедренных треугольников с другими, отличными от 45° углами. До тех пор, пока угол меньше 60°, каждая новая линия короче той линии, из которой она образована, так что процесс строительства стремится к предельной кривой. Углы менее 45° производят фрактал, который менее плотно «свёрнут».
Пример алгоритма на PHP
<source lang="PHP"> <?php
$i = 10;
$image = imagecreatetruecolor(640, 480);
imagefilledrectangle($image, 0, 0, imagesx($image) - 1, imagesy($image) - 1,
imagecolorresolve($image, 255, 255, 255));
$color = imagecolorresolve($image, 0, 0, 0);
drawLevy($image, imagesx($image) * 3/8, imagesy($image) * 3/8,
imagesx($image) * 5/8, imagesy($image) * 5/8, $i, $color);
/**
* Draws levy curve between two points.
* @return void
*/
function drawLevy($image, $xa, $ya, $xc, $yc, $i, $color) {
if($i == 0)
imageline($image, $xa, $ya, $xc, $yc, $color);
else {
// A---B
// |
// C
$xb = ($xa + $xc) / 2 + ($yc - $ya) / 2;
$yb = ($ya + $yc) / 2 - ($xc - $xa) / 2;
drawLevy($image, $xa, $ya, $xb, $yb, $i - 1, $color);
drawLevy($image, $xb, $yb, $xc, $yc, $i - 1, $color);
}
}
header('Content-type: image/png');
imagepng($image);
imagedestroy($image);
?> </source>
Пример алгоритма на Python 3
<source lang="python"> import turtle
turtle.hideturtle() turtle.tracer(0) turtle.penup() turtle.setposition(-100, 0) turtle.pendown()
axiom, tempAx, logic, iterations = 'F', , {'F': '-F++F-'}, 15
for i in range(iterations):
for j in axiom:
tempAx += logic[j] if j in logic else j
axiom, tempAx = tempAx,
for k in axiom:
if k == '+':
turtle.right(45)
elif k == '-':
turtle.left(45)
else:
turtle.forward(1)
turtle.update() turtle.mainloop() </source>