Пятиугольник: различия между версиями
Перейти к навигации
Перейти к поиску
Нет описания правки |
imported>Alex NB OT м замена имён и значений устаревшего неподдерживаемого InternetArchiveBot формата параметров доступности ссылок (1) |
||
| Строка 1: | Строка 1: | ||
'''Пятиугольник''' — [[многоугольник]] с пятью углами. Также пятиугольником называют всякий предмет такой формы. | |||
== | == Площадь пятиугольника без [[Самопересечение (геометрия)|самопересечений]] == | ||
Площадь пятиугольника без самопересечений, заданного [[Система координат|координатами]] вершин, определяется по общей для многоугольников [[Формула площади Гаусса|формуле]]. | |||
| | |||
== [[Выпуклый многоугольник|Выпуклый]] пятиугольник == | |||
'''Выпуклым пятиугольником''' называется пятиугольник, такой, что все его [[Точка (геометрия)|точки]] лежат по одну сторону от любой [[прямая|прямой]], проходящей через две его соседние [[вершина|вершины]]. | |||
=== | Сумма внутренних углов выпуклого пятиугольника равна 540°. | ||
: <math> \sum_{i=1}^5 \alpha_i =(5 - 2) \cdot 180^\circ = 3 \cdot 180^\circ = 540^\circ</math> | |||
=== | Любые 9 точек в [[Общее положение|общем положении]] содержат вершины выпуклого пятиугольника, и существует множество из 8 точек в общем положении, в котором нет выпуклого пятиугольника<ref> | ||
{{ | {{citation | ||
| last1 = Kalbfleisch | first1 = J.D. | |||
| last2 = Kalbfleisch | first2 = J.G. | |||
| last3 = Stanton | first3 = R.G. | |||
| title = Proc. Louisiana Conf. Combinatorics, Graph Theory and Computing | |||
| publisher = Louisiana State Univ. | |||
| location = Baton Rouge, La. | |||
| series = Congressus Numerantium | |||
| pages = 180–188 | |||
| contribution = A combinatorial problem on convex regions | |||
| volume = 1 | |||
| year = 1970}}</ref>. | |||
Доказано также, что любые 10 точек на плоскости в общем положении содержат выпуклый пустой пятиугольник, и существует множество из 9 точек в общем положении, в котором нет выпуклого пустого пятиугольника<ref>{{citation | |||
| last = Harborth | first = Heiko | |||
| issue = 5 | |||
| journal = Elem. Math. | |||
| pages = 116–118 | |||
| title = Konvexe Fünfecke in ebenen Punktmengen | |||
| volume = 33 | |||
| year = 1978}}</ref>. | |||
[[Файл:Regular pentagon 1.svg|thumb|[[Правильный пятиугольник]] (пентагон)]] | |||
== | == Правильный пятиугольник == | ||
{{main|Правильный пятиугольник}} | |||
Пентагоном или правильным пятиугольником называется пятиугольник, у которого все стороны и углы равны. | |||
Если провести в пентагоне диагонали, то он разобьётся на<ref>{{Cite web |url=http://www.trinitas.ru/rus/doc/0232/004a/02320031.htm |title=Плитки Пенроуза |access-date=2011-02-09 |archive-date=2013-09-22 |archive-url=https://web.archive.org/web/20130922114012/http://www.trinitas.ru/rus/doc/0232/004a/02320031.htm |url-status=live }}</ref>: | |||
* меньший пентагон (образуеся точками пересечения диагоналей) — в центре | |||
* Вокруг меньшего пентагона — пять равнобедренных треугольников двух видов (с отношением бедра к основанию, равным [[Золотая пропорция|золотой пропорции]]): | |||
** 1) имеют острые углы в 36° при вершине и острые углы в 72° при основании | |||
** 2) имеют тупой угол в 108° при вершине и острые углы в 36° при основании | |||
При соединении двух первых и двух вторых треугольников их основаниями получатся два «[[Золотое сечение|золотых]]» [[ромб]]а (первый имеет острый угол в 36° и тупой угол в 144°). [[Пенроуз, Роджер|Роджер Пенроуз]] использовал «золотые» ромбы для конструирования «золотого» [[Паркет (геометрия)|паркета]] ([[Мозаика Пенроуза|мозаики Пенроуза]]). | |||
==== | == Звездчатые пятиугольники == | ||
[[Файл:Pentagram2.svg|thumb|200px|[[Золотое сечение|Золотые сечения]] пентаграммы]] | |||
{{main|Пентаграмма}} | |||
Многоугольник, у которого все стороны и углы равны, а вершины совпадают с вершинами правильного многоугольника называется [[Звёздчатый многоугольник|звёздчатым]]. Помимо правильного существует ещё один звёздчатый пятиугольник — [[пентаграмма]]. | |||
Пентаграмма, как полагал Пифагор, представляет собой математическое совершенство, поскольку демонстрирует [[золотое сечение]] (φ = (1+√5)/2 = 1,618…). Если разделить длину любого цветного отрезка на длину самого длинного из оставшихся меньших отрезков, то будет получено золотое сечение φ. | |||
=== | : <math>\varphi = \frac{\mathrm{\color{red}red}}{\mathrm{\color{Blue}blue}} = \frac{\mathrm{\color{Blue}blue}}{\mathrm{\color{Green}green}} = \frac{\mathrm{\color{Green}green}}{\mathrm{\color{Magenta}magenta}}</math> | ||
== | == См. также == | ||
{{ | {{Викисловарь|пятиугольник}} | ||
| | * [[Правильный пятиугольник]] | ||
* [[Пентагон]] | |||
* [[Пентаграмма]] | |||
* [[Пятиугольный паркет]] | |||
== | == Примечания == | ||
{{примечания}} | |||
{{math-stub}} | |||
{{Многоугольники}} | |||
{{ | |||
}} | |||
[[Категория:Многоугольники]] | |||
Текущая версия от 13:13, 16 июля 2025
Пятиугольник — многоугольник с пятью углами. Также пятиугольником называют всякий предмет такой формы.
Площадь пятиугольника без самопересечений
Площадь пятиугольника без самопересечений, заданного координатами вершин, определяется по общей для многоугольников формуле.
Выпуклый пятиугольник
Выпуклым пятиугольником называется пятиугольник, такой, что все его точки лежат по одну сторону от любой прямой, проходящей через две его соседние вершины.
Сумма внутренних углов выпуклого пятиугольника равна 540°.
- <math> \sum_{i=1}^5 \alpha_i =(5 - 2) \cdot 180^\circ = 3 \cdot 180^\circ = 540^\circ</math>
Любые 9 точек в общем положении содержат вершины выпуклого пятиугольника, и существует множество из 8 точек в общем положении, в котором нет выпуклого пятиугольника<ref>
Шаблон:Citation</ref>.
Доказано также, что любые 10 точек на плоскости в общем положении содержат выпуклый пустой пятиугольник, и существует множество из 9 точек в общем положении, в котором нет выпуклого пустого пятиугольника<ref>Шаблон:Citation</ref>.
Правильный пятиугольник
Шаблон:Main Пентагоном или правильным пятиугольником называется пятиугольник, у которого все стороны и углы равны. Если провести в пентагоне диагонали, то он разобьётся на<ref>Шаблон:Cite web</ref>:
- меньший пентагон (образуеся точками пересечения диагоналей) — в центре
- Вокруг меньшего пентагона — пять равнобедренных треугольников двух видов (с отношением бедра к основанию, равным золотой пропорции):
- 1) имеют острые углы в 36° при вершине и острые углы в 72° при основании
- 2) имеют тупой угол в 108° при вершине и острые углы в 36° при основании
При соединении двух первых и двух вторых треугольников их основаниями получатся два «золотых» ромба (первый имеет острый угол в 36° и тупой угол в 144°). Роджер Пенроуз использовал «золотые» ромбы для конструирования «золотого» паркета (мозаики Пенроуза).
Звездчатые пятиугольники
Шаблон:Main Многоугольник, у которого все стороны и углы равны, а вершины совпадают с вершинами правильного многоугольника называется звёздчатым. Помимо правильного существует ещё один звёздчатый пятиугольник — пентаграмма.
Пентаграмма, как полагал Пифагор, представляет собой математическое совершенство, поскольку демонстрирует золотое сечение (φ = (1+√5)/2 = 1,618…). Если разделить длину любого цветного отрезка на длину самого длинного из оставшихся меньших отрезков, то будет получено золотое сечение φ.
- <math>\varphi = \frac{\mathrm{\color{red}red}}{\mathrm{\color{Blue}blue}} = \frac{\mathrm{\color{Blue}blue}}{\mathrm{\color{Green}green}} = \frac{\mathrm{\color{Green}green}}{\mathrm{\color{Magenta}magenta}}</math>
См. также
Шаблон:Родственный проект{{#if:||}}{{#if: пятиугольник || {{#ifeq: Пятиугольник | пятиугольник | | }} }}