|
|
| Строка 1: |
Строка 1: |
| {{Фоторяд|Latex integers.svg|ш=60|color=white|align=right|borderstyle=none}} | | {{wikipedia}} |
| '''Це́лые чи́сла''' — расширение [[Множество|множества]] [[Натуральное число|натуральных чисел]]<ref>Здесь имеется в виду самое древнее понимание натуральных чисел с первым элементом единица: <math>1,2,3,4,5\dots</math></ref>, получаемое добавлением к нему [[0 (число)|нуля]] и [[Отрицательное число|отрицательных чисел]]{{sfn|Справочник по элементарной математике|1978|с=111—113|name=VYG111}}. Необходимость рассмотрения целых чисел продиктована невозможностью в общем случае вычесть из одного натурального числа другое — можно вычитать только меньшее число из большего. Введение нуля и отрицательных чисел делает вычитание такой же полноценной операцией, как сложение{{sfn|Элементарная математика с точки зрения высшей|1987|с=37}}.
| | = {{-ru-}} = |
| [[Файл:Number-line-2.svg|715x715px|мини|center|<center>Целые числа на [[Числовая ось|числовой прямой]]</center>]]
| |
|
| |
|
| [[Вещественное число]] является целым, если его [[Десятичная дробь|десятичное представление]] не содержит [[Дробная часть|дробной части]] (но может содержать знак). Примеры вещественных чисел:
| | === Тип и синтаксические свойства сочетания === |
| : Числа 142857; 0; −273 являются целыми.
| | {{phrase |
| : Числа 5½; 9,75; −12,07 не являются целыми.
| | |тип=термин |
| Множество целых чисел обозначается <math>\mathbb{Z}</math> (от {{lang-de|Zahlen}} — «числа»<ref>{{cite web|author=Paul Pollack|title=Earliest Uses of Symbols of Number Theory|url=http://jeff560.tripod.com/nth.html|access-date=2017-10-22|archive-url=https://web.archive.org/web/20100131022510/http://jeff560.tripod.com/nth.html|archive-date=2010-01-31|url-status=dead}}</ref>). Изучением свойств целых чисел занимается раздел математики, называемый [[Теория чисел|теорией чисел]].
| | |роль=иг |
| | |слово1={{по-слогам|це́|ло|.|е }} |
| | |лемма1=целый |
| | |слово2={{по-слогам|чис|ло́}} |
| | |лемма2=число |
| | |тип-кат=Устойчивые сочетания |
| | |lang=ru |
| | }} |
|
| |
|
| == Положительные и отрицательные числа == | | === Произношение === |
| Согласно своему построению, множество целых чисел состоит из трёх частей:
| | {{transcription-ru|це́лое число́|}} |
| # [[Натуральные числа]] (или, что то же самое, целые [[положительное число|положительные]]). Они возникают естественным образом при счёте (1,{{nbsp}}2, 3, 4,{{nbsp}}5…){{sfn|Элементарная математика|1976|с=18}}.
| |
| # [[0 (число)|Ноль]] — число, обозначаемое <math>0</math>. Его определяющее свойство: <math>0+n=n+0=n</math> для любого числа <math>n</math>.
| |
| # Целые [[отрицательные числа]].
| |
| [[Файл:Диаграмма4.svg|мини|240px|Противоположные числа (4 и –4)]]
| |
| Отрицательные числа при записи помечаются спереди знаком [[минус]]: <math>-1, -2, -3\dots</math> Для каждого целого числа <math>a</math> существует и единственно '''противоположное''' ему число, обозначаемое <math>-a</math> и обладающее тем свойством, что <math>a+(-a)=0.</math> Если <math>a</math> положительно, то противоположное ему отрицательно, и наоборот. Ноль противоположен самому себе<ref name=VYG111/>.
| |
|
| |
|
| [[Абсолютная величина|Абсолютной величиной]] целого числа <math>a</math> называется это число с отброшенным знаком{{sfn|Справочник по элементарной математике|1978|с=114}}. Обозначение: <math>\left| a \right|.</math>
| | === Семантические свойства === |
| : Примеры: <math>\left| 4 \right| = 4;\ \left| -5 \right| = 5;\ \left| 0 \right| = 0</math>
| |
|
| |
|
| == Алгебраические свойства == | | ==== Значение ==== |
| Во множестве целых чисел определены три основные арифметические операции: [[сложение]], обратное к сложению [[вычитание]] и [[умножение]]. Имеется также важная операция, специфическая для натуральных и целых чисел: [[деление с остатком]]. Наконец, для целых чисел определён [[Отношение порядка|порядок]], позволяющий сравнивать числа друг с другом.
| | # {{матем.|ru}} расширение [[множество|множества]] [[натуральное число|натуральных чисел]] [[ℕ]] путём добавления к [[ℕ]] [[нуль|нуля]] и [[отрицательное число|отрицательных чисел]] {{пример|Обычное деление не определено на множестве {{выдел|целых чисел}}, но определено так называемое деление с остатком}} |
| | # {{прогр.|ru}} особый тип данных, служащий для представления целых чисел в памяти компьютера {{пример|}} |
|
| |
|
| === Сложение и вычитание === | | ==== Синонимы ==== |
| Следующая таблица иллюстрирует основные свойства сложения{{sfn|Элементарная математика|1976|с=24—28|name=ELEM}} для любых целых <math>a,b,c</math>:
| | # [[ℤ]] |
| {| class="wikitable"
| | # [[целое]] |
| |-
| |
| ! Свойство !! Алгебраическая запись
| |
| |-
| |
| | [[Коммутативная операция|Коммутативность]] (''переместительность'') || <math>a+b = b+a</math>
| |
| |-
| |
| | [[Ассоциативная операция|Ассоциативность]] (''сочетательность'') || <math>a + \left( b+c \right) = \left( a+b \right) + c</math>
| |
| |-
| |
| | Свойство нуля || <math>a+0 = a</math>
| |
| |-
| |
| | Свойство [[Противоположный элемент|противоположного элемента]] || <math>a + \left( -a \right) = 0</math>
| |
| |}
| |
|
| |
|
| При сложении и вычитании целых чисел выполняются следующие ''правила знаков''<ref name=ELEM/>{{sfn|Элементарная математика с точки зрения высшей|1987|с=39}}, которые следует учитывать при раскрытии скобок:
| | ==== Антонимы ==== |
| : <math>- \left( -a \right) = a;\ - \left( a+b \right) = -a-b; \ - \left( a-b \right) = -a+b.</math>
| | # — |
| | # |
|
| |
|
| '''Правила сложения целых чисел'''{{sfn|Справочник по элементарной математике|1978|с=114—115}}.
| | ==== Гиперонимы ==== |
| # При сложении целых чисел с одинаковыми знаками надо сложить их абсолютные величины и приписать ей знак слагаемых. Пример; <math>-14 + \left( -28 \right) = -42</math>.
| | # [[число]] |
| # При сложении целых чисел с разными знаками надо сравнить их абсолютные величины, из большей вычесть меньшую и приписать результату знак того слагаемого, у которого абсолютная величина больше. Примеры: <math>-4+9 = 9-4 = 5;\ -9+4 = - \left( 9-4 \right) = -5</math>.
| | # |
| # Вычитание <math>a-b</math> для целых чисел всегда выполнимо, и результат можно найти как <math>a + \left( -b \right).</math> Пример: <math>26 - 51 = 26 + \left( -51 \right) = -25</math>.
| |
| # Геометрически сложение можно наглядно представить как смещение числа вдоль числовой оси (см. рисунок в начале статьи), причём прибавление положительного числа вызывает смещение направо, а отрицательного — налево. Например, для числа <math>-3</math> прибавление к нему <math>4</math> означает смещение его вправо на 4 единицы; наглядно видно, что получается <math>+1</math>. Аналогично <math>-3 + \left( -4 \right)</math>, смещая <math>-3</math> влево на 4 единицы, получим в результате <math>-7</math>. | |
| # Вычитание можно наглядно представить аналогично, но в этом случае, наоборот, вычитание положительного числа вызывает смещение влево, а отрицательного — вправо. Например, <math>5-7</math> смещает <math>5</math> на 7 единиц к числу <math>-2</math>, а <math>5 - \left( -7 \right)</math> смещает его вправо к числу <math>12</math>. | |
|
| |
|
| === Умножение и возведение в степень === | | ==== Гипонимы ==== |
| Умножение чисел <math>a,b</math> далее обозначается <math>a \times b</math> или (только в случае буквенных обозначений) просто <math>ab</math>. Следующая таблица иллюстрирует основные свойства умножения<ref name=ELEM/> для любых целых <math>a,b,c</math>:
| | # [[натуральное число]], [[ноль]], [[отрицательный|отрицательное]] целое число |
| {| class="wikitable"
| | # |
| |-
| |
| ! Свойство !! Алгебраическая запись
| |
| |-
| |
| | [[Коммутативная операция|Коммутативность]] (''переместительность'') || <math>a \times b = b \times a</math>
| |
| |-
| |
| | [[Ассоциативная операция|Ассоциативность]] (''сочетательность'') || <math>a \times \left( b \times c \right) = \left( a \times b \right) \times c</math>
| |
| |-
| |
| | Свойство единицы || <math>a \times 1 = a</math>
| |
| |-
| |
| | Свойство нуля || <math>a \times 0 = 0</math>
| |
| |-
| |
| | [[Дистрибутивность]] (распределительность) умножения относительно сложения || <math>a \times \left( b+c \right) = a \times b + a \times c</math>
| |
| |}
| |
|
| |
|
| При умножении целых чисел выполняются ''правила знаков''<ref name=ELEM/>{{sfn|Элементарная математика с точки зрения высшей|1987|с=39}}, которые следует учитывать при раскрытии скобок:
| | === Перевод === |
| : <math>\left( -a \right) b = a \left( -b \right) = -ab; \ \left( -a \right) \left( -b \right) = ab</math>
| | {{перев-блок| |
| '''Следствие''': произведение чисел с одинаковыми знаками положительно, с разными — отрицательно.
| | |en={{t|en|integer}}, {{t|en|whole number}} |
| | |el={{t|el|ακέραιος αριθμός}} (akéraios arithmós) |
| | |es=[[entero]] |
| | |it=[[intero]] |
| | |de=[[ganze Zahl]] {{f}}, [[Integer-Zahl]] |
| | |fr=[[entier]], [[nombre entier]] |
| | |sv={{t|sv|heltal|n}} |
| | |zh-cn=[[整数]] |
| | }} |
|
| |
|
| [[Возведение в степень|Возведение в натуральную степень]] целых чисел определяется так же, как и для натуральных чисел:
| | {{unfinished||p=1|s=1|e=1}} |
| : <math>a^n = \underbrace{a\cdot a\cdot\ldots \cdot a}_{n}</math>
| |
| Свойства возведения в степень целых чисел такие же, как у натуральных:
| |
| : <math>\left( ab \right)^n = a^nb^n;\quad a^ma^n = a^{m+n};\quad \left( a^m \right)^n = a^{mn}</math>
| |
|
| |
|
| ==== Нулевая степень ====
| | {{Категория|язык=ru|Числа}} |
| {{См. также|Ноль в нулевой степени}} | |
| В дополнение к этому определению, принято соглашение о нулевой степени: <math>a^0 = 1</math> для любого целого <math>a</math> кроме нуля. Основанием для такого соглашения служит желание сохранить приведённые выше свойства и для нулевого показателя степени: <math>a^0a^n=a^{0+n}=a^n,</math> откуда ясно, что <math>a^0 =1.</math>
| |
| | |
| === Упорядоченность ===
| |
| {{См. также|Неравенство}}
| |
| <math>\mathbb{Z}</math> — [[линейно упорядоченное множество]]. Порядок в нём задаётся соотношениями:
| |
| : <math>\dots -2 < -1 < 0 < 1 < 2 < \dots</math>
| |
| Целое число '''положительно''', если оно больше нуля, '''отрицательно''', если меньше нуля. Положительными целыми числами являются [[Натуральное число|натуральные числа]] и только они. Отрицательные числа — это числа, противоположные положительным. Ноль не является ни положительным, ни отрицательным. Любое отрицательное число меньше любого положительного<ref name=VYG111/>.
| |
| | |
| Для любых целых чисел <math>a,b,c,d</math> справедливы следующие соотношения{{sfn|Справочник по элементарной математике|1978|с=172—173|name=VYG172}}.
| |
| # Если <math>a<b</math>, то для любого <math>c</math> будет <math>a+c<b+c</math>.
| |
| # Если <math>a<b</math> и <math>c<d</math>, то <math>a+c<b+d</math>.
| |
| # Если <math>a<b</math> и <math>c>0</math>, то <math>ac<bc</math>.
| |
| # Если <math>a<b</math> и <math>c<0</math>, то <math>ac>bc</math>.
| |
| | |
| Для сравнения двух отрицательных чисел существует правило: больше то число, у которого [[абсолютная величина]] ''меньше''<ref name=VYG172/>. Например, <math>-6 < -5</math>.
| |
| | |
| === Делимость ===
| |
| {{Основная статья|Делимость}}
| |
| | |
| ==== Деление с остатком ====
| |
| Операция [[Деление (математика)|деления]], вообще говоря, не определена на множестве целых чисел. Например, нельзя разделить <math>3</math> на <math>2</math> — нет такого целого числа, которое, умноженное на <math>2</math>, даст <math>3</math>. Но можно определить так называемое [[деление с остатком]]<ref name=BSE>{{книга |часть=Деление |заглавие=Математическая энциклопедия (в 5{{nbsp}}томах) |место=М. |ref=Математическая энциклопедия |том=2 |год=1979 |издательство=[[Большая Российская энциклопедия (издательство)|Советская энциклопедия]]}}</ref>:
| |
| : Для любых целых <math>a, b</math> (где <math>b \ne 0</math>) существует единственный набор целых чисел <math>q,r</math> такой, что <math>a = bq + r</math>, где <math>0 \leqslant r < \left| b \right|.</math>
| |
| Здесь ''a'' — [[делимое]], ''b'' — [[делитель]], ''q'' — (неполное) частное, ''r'' — остаток от деления (всегда неотрицателен). Если остаток равен нулю, говорят, что деление выполняется ''нацело''<ref name=BSE/>.
| |
| | |
| '''Примеры:'''
| |
| * При делении с остатком положительного числа <math>a = 78</math> на <math>b = 33</math> получаем неполное частное <math>q = 2</math> и остаток <math>r = 12</math>. Проверка: <math>78 = 33 \times 2 + 12.</math>
| |
| * При делении с остатком отрицательного числа <math>a = -78</math> на <math>b = 33</math> получаем неполное частное <math>q = -3</math> и остаток <math>r = 21</math>. Проверка: <math>-78 = 33 \times (-3) + 21.</math>
| |
| * При делении с остатком числа <math>a = 78</math> на <math>b = 26</math> получаем [[Деление (математика)|частное]] <math>q = 3</math> и остаток <math>r = 0</math>, то есть деление выполняется нацело. Для быстрого выяснения, делится ли заданное число <math>a</math> на (небольшое) число <math>b</math>, существуют [[признаки делимости]].
| |
| На операции деления с остатком основаны [[Сравнение по модулю|теория сравнений]] и [[алгоритм Евклида]].
| |
| | |
| ==== Деление нацело. Делители ====
| |
| {{also|Делимость#Свойства|l1=Свойства деления нацело}}
| |
| Как определено выше, число <math>a</math> делится (нацело) на число <math>b</math>, если существует целое число <math>q</math> такое, что <math>a=bq</math>. Символическая запись: <math>b|a</math>. Существуют несколько равносильных словесных формулировок указанной делимости<ref>{{книга|автор=Сушкевич А. К.|заглавие=Теория чисел. Элементарный курс|место=Х.|издательство=Изд-во Харьковского университета|год=1954|страницы=5}}</ref>:
| |
| * <math>a</math> делится (нацело) на <math>b</math>.
| |
| * <math>b</math> является [[делитель|делителем]] <math>a</math> (или: <math>b</math> делит <math>a</math>).
| |
| * <math>a</math> кратно <math>b</math>.
| |
| | |
| Каждое целое число <math>n</math>, не равное нулю или <math>\pm 1</math>, имеет 4 ''тривиальных'' делителя: <math>1, -1, n, -n</math>. Если других делителей нет, число называется [[Простое число|простым]]{{sfn|Элементарная математика|1976|с=20}}.
| |
| | |
| Понятие [[Наибольший общий делитель|наибольшего общего делителя]] двух целых чисел, разложение целого числа на [[простые множители]] и [[основная теорема арифметики]] для целых чисел практически совпадают (с возможным учётом знака) с аналогами этих понятий для натуральных чисел<ref>{{книга |ответственный=сост. С. В. Поморцева, О. В. Иванова |часть=Понятие делимости |заглавие=Элементы теории делимости: Методические рекомендации для студентов факультета педагогики и психологии детства |ссылка часть=http://test.ya-znau.ru/znaniya/zn/121 |место=Омск |издательство=Омский гос. пед. университет |год=2008 |страниц=37 |isbn=}}</ref>.
| |
| | |
| == Целые и вещественные числа ==
| |
| Существуют практические задачи, в которых необходимо [[Округление|округлить]] [[Вещественное число|вещественное значение]] до целого, то есть заменить его на ближайшее (в ту или иную сторону) целое. Поскольку выполнять округление можно разными способами, для уточнения можно использовать «[[символы Айверсона]]»<ref>{{книга |автор=[[Кнут, Дональд Эрвин|Кнут Д.]] |заглавие=Искусство программирования для ЭВМ. Т.{{nbsp}}1. Основные алгоритмы |место=М. |издательство=[[Мир (издательство)|Мир]] |год=1976 |страниц=735 |страницы=68}}</ref>:
| |
| : <math>\lfloor x \rfloor</math> — ближайшее к <math>x</math> целое в меньшую сторону (функция «пол», {{lang-en|floor}}, или «[[целая часть]]»). Традиционно используются также обозначение [[Гаусс, Карл Фридрих|Гаусса]] <math>[x]</math> или обозначение [[Лежандр, Адриен Мари|Лежандра]] <math>E\left(x\right)</math>.
| |
| : <math>\lceil x \rceil</math> — ближайшее к <math>x</math> целое в бо́льшую сторону (функция «потолок», {{lang-en|ceiling}}).
| |
| В зависимости от особенностей постановки задачи, могут встретиться и другие методы: округлить до ближайшего целого или отсечь дробную часть (последний вариант для отрицательных <math>x</math> отличается от функции «целая часть»).
| |
| | |
| Другой класс задач, связывающих целые и вещественные числа — приближение вещественного числа отношением целых, то есть [[Рациональное число|рациональным числом]]. Доказано, что любое вещественное число можно с любой желаемой точностью приблизить рациональным, наилучшим инструментом для такого приближения служат [[Непрерывная дробь|непрерывные (цепные) дроби]]<ref>{{книга|автор=Хинчин А. Я.|заглавие=Цепные дроби|место=М.|издательство=ГИФМЛ|год=1960|ссылка=http://ilib.mccme.ru/djvu/hinchin-cep-dr.htm|archive-date=2021-11-02|archive-url=https://web.archive.org/web/20211102145127/http://ilib.mccme.ru/djvu/hinchin-cep-dr.htm}}</ref>.
| |
| | |
| == История ==
| |
| {{См. также|Возникновение математики|История арифметики}}
| |
| Развитие математики началось с навыков практического счёта (один, два, три, четыре…), поэтому [[натуральные числа]] возникли ещё в доисторический период как [[идеализация]] конечного [[Множество|множества]] однородных, устойчивых и неделимых предметов (людей, овец, дней и т. п.). [[Сложение]] появилось как математическая модель таких важных событий, как объединение нескольких множеств (стад, мешков {{итд}}) в одно, а [[вычитание]] отражало, наоборот, отделение части множества. [[Умножение]] для натуральных чисел появилось в качестве, так сказать, пакетного сложения: 3{{nbsp}}×{{nbsp}}4 означало сумму «{{num|3|раза}} по{{nbsp}}4», то есть {{nobr|4 + 4 + 4}}. Свойства и взаимосвязь операций открывались постепенно<ref>{{книга|автор=Мах Э.|часть=Познание и заблуждение|заглавие=Альберт Эйнштейн и теория гравитации|место=М.|издательство=Мир|год=1979|страницы=74 (подстрочное примечание)|страниц=592}}: «прежде чем возникнет понятие о числе, должен существовать опыт, что в известном смысле ''равноценные'' объекты существуют ''множественно и неизменно''».</ref><ref>{{книга |автор=[[Клайн, Морис|Клайн М.]] |заглавие=Математика. Утрата определённости |ссылка=https://archive.org/details/mathematicslossc00libg |издательство=Мир |место=М. |год=1984 |страниц=446 |страницы=[https://archive.org/details/mathematicslossc00libg/page/n108 109]—112}}</ref>.
| |
| | |
| Начальным шагом на пути расширения натуральных чисел стало появление нуля; первыми этот символ стали применять, по-видимому, [[История математики в Индии|индийские]] математики. Вначале ноль применялся не как число, а как цифра при позиционной записи чисел, затем постепенно стал признаваться и как полноценное число, обозначающее отсутствие чего-либо (например, полное разорение торговца)<ref>{{Книга|автор=Ламберто Гарсия дель Сид|часть=Особые числа других культур|заглавие=Замечательные числа. Ноль, 666 и другие бестии|издательство=DeAgostini|год=2014|том=21|страницы=115|страниц=159|серия=Мир математики|isbn=978-5-9774-0716-8}}</ref>.
| |
| | |
| [[Отрицательные числа]] впервые стали использовать в [[Математика в Древнем Китае|древнем Китае]] и в Индии, где их рассматривали как математический образ «долга». [[Математика в Древнем Египте|Древний Египет]], [[Вавилонская математика|Вавилон]] и [[Математика в Древней Греции|Древняя Греция]] не использовали отрицательных чисел, а если получались отрицательные корни уравнений (при вычитании), они отвергались как невозможные. Исключение составлял [[Диофант Александрийский|Диофант]], который в III веке уже знал «правило знаков» и умел умножать отрицательные числа. Однако он рассматривал их лишь как промежуточный этап, полезный для вычисления окончательного, положительного результата. Полезность и законность отрицательных чисел утверждались постепенно. Индийский математик [[Брахмагупта]] (VII век) уже рассматривал их наравне с положительными<ref name=GLE1964>{{книга|автор=[[Глейзер, Герш Исаакович|Глейзер Г. И.]]|заглавие=История математики в школе|издательство=Просвещение|место=М.|год=1964|страницы=132—135|страниц=376}}</ref>.
| |
| | |
| В Европе признание наступило на тысячу лет позже, да и то долгое время отрицательные числа называли «ложными», «мнимыми» или «абсурдными». Первое описание их в европейской литературе появилось в «[[Книга абака|Книге абака]]» [[Фибоначчи|Леонарда Пизанского]] (1202 год), который также трактовал отрицательные числа как долг. [[Бомбелли, Рафаэль|Бомбелли]] и [[Жирар, Альбер|Жирар]] в своих трудах считали отрицательные числа вполне допустимыми и полезными, в частности, для обозначения нехватки чего-либо. Свободно использовали отрицательные числа [[Шюке, Никола|Никола Шюке]] (1484 год) и [[Штифель, Михаэль|Михаэль Штифель]] (1544)<ref name=GLE1964/>.
| |
| | |
| В XVII веке, с появлением [[Аналитическая геометрия|аналитической геометрии]], отрицательные числа получили наглядное геометрическое представление на [[Числовая ось|числовой оси]]. С этого момента наступает их полное равноправие. Легализация отрицательных чисел привела к многочисленным удобствам — например, перенос слагаемых уравнения в другую его часть стал возможен независимо от знака этого слагаемого (ранее, скажем, уравнения <math>x^3+ax=b</math> и <math>x^3=ax+b</math> считались принципиально различными){{sfn|Справочник по элементарной математике|1978|с=113—114}}.
| |
| | |
| Тем не менее теория отрицательных чисел долго находилась в стадии становления. [[Паскаль, Блез|Паскаль]], например, считал, что <math>0-4=0</math>, так как «ничто не может быть меньше, чем ничто»<ref>''Сухотин А. К.'' Превратности научных идей. М.: Мол. гвардия. 1991, стр. 34.</ref>. Оживлённо обсуждалась странная пропорция <math>1:\left(-1\right) = \left(-1\right):1</math> — в ней первый член слева больше второго, а справа — наоборот, и получается, что большее равно меньшему («парадокс [[Арно, Антуан (сын)|Арно]]»). [[Валлис, Джон|Валлис]] считал, что отрицательные числа меньше нуля, но в то же время больше, чем бесконечность<ref>{{книга|часть=Отрицательные числа|автор=Панов В. Ф.|заглавие=Математика древняя и юная|издание=Изд. 2-е, исправленное|место=М.|издательство=[[МГТУ им. Баумана]]|год=2006|страниц=648|страницы=399|isbn=5-7038-2890-2}}</ref>. Непонятно было также, какой смысл имеет умножение отрицательных чисел, и почему произведение отрицательных положительно; на эту тему проходили жаркие дискуссии. Отголоском тех времён является то обстоятельство, что в современной арифметике операция вычитания и знак отрицательных чисел обозначаются одним и тем же символом ([[минус]]), хотя алгебраически это совершенно разные понятия. [[Гаусс, Карл Фридрих|Гаусс]] в 1831 году считал нужным разъяснить, что отрицательные числа принципиально имеют те же права, что и положительные, а то, что они применимы не ко всем вещам, ничего не означает, потому что дроби тоже применимы не ко всем вещам (например, неприменимы при счёте людей)<ref>''Александрова Н. В.'' Математические термины.(справочник). М.: Высшая школа, 1978, стр. 164.</ref>.
| |
| | |
| Полная и вполне строгая теория отрицательных чисел была создана только в XIX веке ([[Гамильтон, Уильям Роуэн|Уильям Гамильтон]] и [[Грассман, Герман Гюнтер|Герман Гюнтер Грассман]])<ref>{{книга |часть=Математика XVIII столетия |заглавие=История математики |ответственный=Под редакцией [[Юшкевич, Адольф Павлович|А. П. Юшкевича]], в трёх томах |место=М. |издательство=Наука |год=1972 |том=III |страницы=48—49}}</ref>.
| |
| | |
| == Применение ==
| |
| | |
| === В прикладных науках ===
| |
| [[Файл:US Navy 070317-N-3642E-379 During the warmest part of the day, a thermometer outside of the Applied Physics Laboratory Ice Station's (APLIS) mess tent still does not break out of the sub-freezing temperatures.jpg|thumb|240px|Отметки целых значений температуры на шкале [[термометр]]а]]
| |
| Целые числа широко применяются при исследовании объектов, которые по своей природе или по особенностям постановки задачи неделимы (например, люди, суда, строения, иногда дни и т. п.). Отрицательные числа также могут найти применение в таких моделях — скажем, при планировании торговых сделок можно продажи обозначать положительными числами, а покупки — отрицательными. Пример из физики — [[Квантовое число|квантовые числа]], играющие фундаментальную роль в микромире; все они — целые (или [[Полуцелое число|полуцелые]]) числа со знаком<ref>{{Сивухин|5|2005|часть=§{{nbsp}}38. Четыре квантовых числа электрона и тонкая структура спектральных термов|страницы=226}}</ref>.
| |
| | |
| Для решения возникающих при этом задач разработаны специальные математические методы, учитывающие специфику проблем. В частности, решение в целых числах алгебраических уравнений (разных степеней) рассматривает теория «[[Диофантово уравнение|диофантовых уравнений]]»<ref>{{книга|автор=[[Гельфонд А. О.]]|заглавие=Решение уравнений в целых числах|серия=[[Популярные лекции по математике]]|место=М.|издательство=Наука|год=1978|ссылка=http://ilib.mccme.ru/plm/ann/a08.htm|archive-date=2017-07-28|archive-url=https://web.archive.org/web/20170728061517/http://ilib.mccme.ru/plm/ann/a08.htm}}</ref>. Вопросы целочисленной оптимизации исследует [[целочисленное программирование]]<ref>{{книга|автор=Карманов В. Г.|заглавие=Математическое программирование|место=М.|издательство=[[Наука (издательство)|Наука]]|год=1986|страниц=288}}</ref>.
| |
| | |
| === В информатике ===
| |
| {{Основная статья|Целое (тип данных)}}
| |
| [[Целый тип|Тип целое число]] — зачастую один из основных [[тип данных|типов данных]] в [[Язык программирования|языках программирования]]. Целые типы данных обычно реализуются как фиксированный набор [[бит]]ов, один из которых кодирует знак числа, а прочие — двоичные цифры. Современные [[компьютер]]ы имеют богатый набор команд для арифметических операций с целыми числами<ref>{{книга|автор=М. Бен-Ари.|часть=Глава{{nbsp}}4. Элементарные типы данных|заглавие=Языки программирования. Практический сравнительный анализ|ссылка=https://archive.org/details/isbn_5030033149|оригинал=Understanding Programming Language|место=М.|издательство=Мир|год=2000|страницы=[https://archive.org/details/isbn_5030033149/page/n172 53]—74|страниц=366|isbn=5-03-003314-9|ref=Бен-Ари}}</ref>.
| |
| | |
| == Место в общей алгебре ==
| |
| [[Файл:Set of real numbers (diagram).svg|мини|320px|Иерархия числовых множеств:<br><math>\mathbb{N}</math> — [[натуральные числа]]<br><math>\mathbb{Z}</math> — целые числа<br><math>\mathbb{Q}</math> — [[рациональные числа]]<br><math>\mathbb{R}</math> — [[вещественные числа]]<br><math>\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}</math> — [[иррациональные числа]]]]
| |
| С точки зрения [[Общая алгебра|общей алгебры]], <math>\mathbb{Z}</math> относительно сложения и умножения является бесконечным [[Коммутативная операция|коммутативным]] [[Кольцо (математика)|кольцом]] с единицей, без [[Делитель нуля|делителей нуля]] ([[область целостности]]). Кольцо целых чисел является [[Евклидово кольцо|евклидовым]] (и, следовательно, [[Факториальное кольцо|факториальным]]) и [[Нётерово кольцо|нётеровым кольцом]], но не является [[Артиново кольцо|артиновым]]. Если расширить это кольцо, добавив к нему всевозможные [[Дробь (математика)|дроби]] (см. [[поле частных]]), получится [[Поле (алгебра)|поле]] [[Рациональное число|рациональных чисел]] (<math>\mathbb{Q}</math>); в нём уже выполнимо любое деление, кроме деления на ноль<ref name=VIN>{{книга|автор=Винберг Э. Б.|заглавие=Курс алгебры. 2-е изд|место=М.|издательство=Изд-во МЦНМО|год=2013|страницы=15—16, 113—114 |страниц=590 |isbn=978-5-4439-0209-8}}</ref><ref>{{книга |автор=[[Атья, Майкл|Атья М.]], [[Макдональд, Иэн (математик)|Макдональд И.]] |заглавие=Введение в коммутативную алгебру |место=М. |издательство=Мир |год=1972 |страницы=94 |страниц=160}}</ref>.
| |
| | |
| Относительно операции сложения <math>\mathbb{Z}</math> является [[Абелева группа|абелевой группой]], и, следовательно, также [[Циклическая группа|циклической группой]], так как каждый ненулевой элемент <math>\mathbb{Z}</math> может быть записан в виде конечной суммы {{nobr|1 + 1 + … + 1}} или {{nobr|(−1) + (−1) + … + (−1)}}. Фактически, <math>\mathbb{Z}</math> является ''единственной'' бесконечной циклической группой по сложению в силу того, что любая бесконечная циклическая [[группа (математика)|группа]] [[Изоморфизм (математика)|изоморфна]] группе <math>(\mathbb{Z},+)</math>. Относительно умножения <math>\mathbb{Z}</math> не образует группу, поскольку во множестве целых чисел деление, вообще говоря, невозможно<ref name=VIN/>.
| |
| | |
| Множество целых чисел с обычным [[Отношение порядка|порядком]] является [[Упорядоченное кольцо|упорядоченным кольцом]], но не является [[Вполне упорядоченное множество|вполне упорядоченным]], так как, например, среди отрицательных чисел нет наименьшего. Однако его можно сделать вполне упорядоченным, если определить нестандартное отношение «меньше или равно»<ref>{{книга |автор=[[Дональд Кнут]] |место=М. |издательство=[[Мир (издательство)|Мир]] |год=1976 |страницы=571 (15b) |заглавие=Искусство программирования, том I. Основные алгоритмы |страниц=736 }}</ref>, которое обозначим <math>\preccurlyeq</math> и определим следующим образом:
| |
| : <math>a \preccurlyeq b,</math> если либо <math>a=b,</math> либо <math>|a|<|b|,</math> либо <math>|a|=|b|</math> и <math>a<0<b.</math>
| |
| Тогда порядок целых чисел будет таким: <math>0 \preccurlyeq -1 \preccurlyeq 1 \preccurlyeq -2 \preccurlyeq 2 \dots</math> В частности, <math>-1</math> будет наименьшим отрицательным числом. <math>\mathbb{Z}</math> с новым порядком будет вполне упорядоченным множеством, но уже не будет упорядоченным кольцом, так как этот порядок не согласован с операциями кольца: например, из <math>1 \preccurlyeq -2</math>, прибавив слева и справа 1, получаем неверное неравенство <math>2 \preccurlyeq -1.</math>
| |
| | |
| Любое упорядоченное кольцо с единицей и без [[Делитель нуля|делителей нуля]] содержит одно и только одно подкольцо, изоморфное <math>\mathbb{Z}</math>{{sfn|Числовые системы|1975|с=100}}.
| |
| | |
| == Логические основания ==
| |
| Расширение натуральных чисел до целых, как и любое другое расширение алгебраической структуры, ставит множество вопросов, основные из которых — как определить операции над новым типом чисел (например, как определить умножение отрицательных чисел), какие свойства они тогда будут иметь и (главный вопрос) допустимо ли такое расширение, не приведёт ли оно к неустранимым противоречиям. Для анализа подобных вопросов надо сформировать набор аксиом для целых чисел.
| |
| | |
| === Аксиоматика целых чисел ===
| |
| Проще всего определить аксиоматику множества целых чисел <math>\mathbb{Z}</math>, если опираться на уже построенное множество натуральных чисел <math>\mathbb{N}</math> (которое предполагается непротиворечивым, а свойства его — известными). Именно, определим <math>\mathbb{Z}</math> как минимальное [[Кольцо (алгебра)|кольцо]], содержащее множество натуральных чисел. Более строго, аксиомы целых чисел следующие{{sfn|Числовые системы|1975|с=95—96}} {{sfn|Энциклопедия элементарной математики|1951|с=160—162}}.
| |
| | |
| : '''Z1''': Для всяких целых чисел <math>a,b</math> определена их сумма <math>a+b</math>.
| |
| : '''Z2''': Сложение [[Коммутативная операция|коммутативно]]: <math>a+b = b+a</math>. Для краткости оговорку «для всяких <math>a,b\dots</math>» далее, как правило, опускаем.
| |
| : '''Z3''': Сложение [[Ассоциативная операция|ассоциативно]]: <math>\left( a+b \right) + c = a + \left( b+c \right).</math>
| |
| : '''Z4''': Существует элемент 0 (ноль) такой, что <math>a+0 = a</math>.
| |
| : '''Z5''': Для всякого целого числа <math>a</math> существует ''противоположный ему'' элемент <math>-a</math> такой, что <math>a + \left( -a \right) = 0.</math>
| |
| : '''Z6''': Для всяких целых чисел <math>a,b</math> определено их произведение <math>ab</math>.
| |
| : '''Z7''': Умножение [[Ассоциативная операция|ассоциативно]]: <math>\left( ab \right) c = a \left( bc \right).</math>
| |
| : '''Z8''': Умножение связано со сложением [[Дистрибутивность|распределительными]] (дистрибутивными) законами: <math>\left( a+b \right) c = ac + bc;\ c \left( a+b \right) = ca+cb.</math>
| |
| : '''Z9''': Множество целых чисел <math>\mathbb{Z}</math> содержит подмножество, [[Изоморфизм|изоморфное]] множеству натуральных чисел <math>\mathbb{N}</math>. Для простоты далее это подмножество обозначается той же буквой <math>\mathbb{N}</math>.
| |
| : '''Z10''' (''аксиома минимальности''): Пусть <math>M</math> — подмножество <math>\mathbb{Z}</math>, включающее <math>\mathbb{N}</math> и такое, что операция вычитания не выводит за пределы <math>M</math>. Тогда <math>M</math> совпадает со всем <math>\mathbb{Z}</math>.
| |
| | |
| Из этих аксиом вытекают как следствия все прочие свойства целых чисел, в том числе коммутативность умножения, упорядоченность, правила [[Делимость|деления нацело]] и [[Деление с остатком|деления с остатком]]{{sfn|Числовые системы|1975|с=96—98}}. Покажем, например, как вводится [[Отношение порядка|порядок]] целых чисел. Будем говорить, что <math>a<b</math>, если <math>b-a</math> есть натуральное число. Аксиомы порядка легко проверяются. Из определения сразу следует, что все натуральные числа больше нуля (''положительны''), а все противоположные им меньше нуля (''отрицательны''). Для натуральных чисел новый порядок совпадает со старым{{sfn|Энциклопедия элементарной математики|1951|с=170—171}}.
| |
| | |
| Приведённая аксиоматика целых чисел ''категорична'', то есть любые её [[Логика высказываний|модели]] [[Изоморфизм колец|изоморфны как кольца]]{{sfn|Числовые системы|1975|с=98}}.
| |
| | |
| === Непротиворечивость ===
| |
| Стандартный способ доказать непротиворечивость новой структуры — [[Логика высказываний|смоделировать]] (''интерпретировать'') её аксиомы с помощью объектов другой структуры, чья непротиворечивость сомнений не вызывает. В нашем случае мы должны реализовать эти аксиомы на базе пар натуральных чисел{{sfn |Числовые системы|1975|с=100—102|name=NECH100}}.
| |
| | |
| Рассмотрим всевозможные [[Упорядоченная пара|упорядоченные пары]] натуральных чисел <math>\left(a,b\right)</math>. Чтобы смысл дальнейших определений стал понятен, сразу поясним, что мы намерены в дальнейшем каждую такую пару рассматривать как целое число <math>a-b,</math> например, пары <math>\left(3,2\right)</math> или <math>\left(6,5\right)</math> будут изображать единицу, а пары <math>\left(1,4\right)</math> или <math>\left(8,11\right)</math> будут изображать <math>-3.</math>
| |
| | |
| Далее определим{{sfn|Энциклопедия элементарной математики|1951|с=162—168|name=EEM162}}:
| |
| # Пары <math>\left(a,b\right)</math> и <math>\left(c,d\right)</math> считаются равными, если <math>a+d=b+c</math>. Это связано с тем, что, как показано в примерах, любое целое число можно представить бесконечным числом пар.
| |
| # '''Сложение''': сумма пар <math>\left(a,b\right)</math> и <math>\left(c,d\right)</math> определяется как пара <math>\left(a+c,b+d\right)</math>.
| |
| # '''Умножение''': произведение пар <math>\left(a,b\right)</math> и <math>\left(c,d\right)</math> определяется как пара <math>\left(ac+bd, ad+bc\right)</math>.
| |
| Нетрудно проверить, что результаты сложения и умножения не меняются, если любую пару мы заменим на равную ей, то есть новая пара-результат будет равна прежней (в указанном определением{{nbsp}}1 смысле равенства). Несложно также убедиться, что описанная структура пар удовлетворяет всему приведённому перечню аксиом целых чисел. Положительные числа моделируются парами <math>\left(a,b\right)</math>, в которых <math>a>b</math>, ноль изображают пары вида <math>\left(a,a\right)</math>, а пары <math>\left(a,b\right)</math> с <math>a<b</math> соответствуют отрицательным числам<ref name=EEM162/>.
| |
| | |
| Эта модель позволяет прояснить, как из аксиом целых чисел однозначно следуют их свойства; покажем это для «правила знаков». Например, умножив два «отрицательных числа» <math>\left(a,b\right)</math> и <math>\left(c,d\right)</math>, у которых <math>a<b,\ c<d</math>, мы по определению получим пару <math>\left(ac+bd, ad+bc\right)</math>. Разность <math>ac+bd - \left(ad+bc\right)</math> равна <math>\left(b-a\right)\left(d-c\right)</math>, это число положительно, поэтому пара-произведение изображает положительное целое число, следовательно, произведение отрицательных чисел положительно. Любое другое правило (скажем, «произведение отрицательных чисел отрицательно») сделало бы теорию целых чисел противоречивой.
| |
| | |
| Описанная модель доказывает, что приведённая аксиоматика целых чисел непротиворечива. Потому что если бы в ней было противоречие, то это означало бы противоречие и в базовой для данной модели арифметике натуральных чисел, которую мы заранее предположили непротиворечивой<ref name=NECH100/>.
| |
| | |
| == Мощность множества ==
| |
| Множество целых чисел бесконечно. Хотя натуральные числа составляют лишь часть множества целых чисел, целых чисел столько же, сколько натуральных, в том смысле, что [[мощность множества]] целых чисел такая же, как и множества натуральных — оба они [[Счётное множество|счётные]]<ref>{{публикация|1=книга|автор=[[Виленкин, Наум Яковлевич|Н. Я. Виленкин]]|заглавие=Рассказы о множествах|ссылка=http://ilib.mccme.ru/pdf/rasomn.pdf|место=М.|издательство=[[МЦНМО]]|год=2005|isbn=5-94057-036-4|издание=3-е изд.|страницы=65—66|страниц=150|архив дата=2017-12-15|архив=https://web.archive.org/web/20171215021038/http://ilib.mccme.ru/pdf/rasomn.pdf}}</ref>.
| |
| | |
| == Вариации и обобщения ==
| |
| Некоторые алгебраические структуры по своим свойствам похожи на кольцо целых чисел <math>\mathbb{Z}</math>. Среди них:
| |
| * [[Гауссовы целые числа]]. Это [[комплексные числа]] <math>a+bi</math>, где <math>a,b</math> — целые числа. Для гауссовых чисел, как и для обычных целых, можно определить понятия [[делимость|делителей]], [[Простое число|простого числа]] и [[Сравнение по модулю|сравнения по модулю]]. Справедлив аналог [[Основная теорема арифметики|основной теоремы арифметики]]<ref>{{книга|автор=Окунев Л. Я.|заглавие=Целые комплексные числа|место=М.|год=1941|издательство=Гос. уч.-пед. изд-во Наркомпроса РСФСР|страниц=56}}</ref>.
| |
| * [[Целые числа Эйзенштейна]]<ref>{{cite web|title=Eisenstein Integer|url=http://mathworld.wolfram.com/EisensteinInteger.html|author=Eric W. Weisstein|access-date=2017-08-19|archive-date=2020-12-15|archive-url=https://web.archive.org/web/20201215163827/https://mathworld.wolfram.com/EisensteinInteger.html|url-status=live}}</ref>.
| |
| | |
| == Примечания ==
| |
| {{примечания}}
| |
| | |
| == Литература ==
| |
| {{Навигация}}
| |
| * {{книга |автор=[[Выгодский, Марк Яковлевич|Выгодский М. Я.]] |место=М. |издательство=Наука |год=1978
| |
| |заглавие=Справочник по элементарной математике |ref=Справочник по элементарной математике
| |
| |ссылка=http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Vygodskij1966ru.djvu }}
| |
| ** Переиздание: М.: АСТ, 2006, ISBN 5-17-009554-6, 509 стр.
| |
| * {{книга |автор=Зайцев В. В., Рыжков В. В., [[Сканави, Марк Иванович|Сканави М. И.]]
| |
| |заглавие=Элементарная математика. Повторительный курс |издание=Издание третье, стереотипное
| |
| |издательство=Наука |место=М. |год=1976 |страниц=591 |ref=Элементарная математика}}
| |
| * {{книга |автор=[[Клейн, Феликс|Клейн Ф.]] |заглавие=Элементарная математика с точки зрения высшей
| |
| |том=I. Арифметика. Алгебра. Анализ |место = М. |издательство=Наука |год=1987 |страниц=432
| |
| |ref=Элементарная математика с точки зрения высшей}}
| |
| * {{книга |автор=[[Нечаев, Василий Ильич|Нечаев В. И.]] |заглавие=Числовые системы
| |
| |место=М. |издательство=Просвещение |год=1975 |страниц=199 |ref=Числовые системы }}
| |
| * {{книга |заглавие=Энциклопедия элементарной математики (в 5 томах) |страницы=160—168 |том=1 |год=1951
| |
| |страниц=448 |место=М. |издательство=Физматгиз |ref=Энциклопедия элементарной математики }}
| |
| | |
| {{Числа}}
| |
| | |
| {{Внешние ссылки}}
| |
| {{хорошая статья|Математика}}
| |
| | |
| [[Категория:Целые числа| ]]
| |