Внутренняя энергия: различия между версиями

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
imported>Alex NB OT
imported>VitalikBot
м Замена [Категория:...] на {{Категория|язык=..|...}}
 
imported>Alex NB OT
м замена имён и значений устаревшего неподдерживаемого InternetArchiveBot формата параметров доступности ссылок (1)
 
Строка 1: Строка 1:
= {{-ru-}} =
{{Энергия}}
{{Физическая величина
| Название    = Внутренняя энергия
| Символ      = <math>U</math>
| Размерность = L<sup>2</sup>MT<sup>−2</sup>
| СИ          = [[Джоуль|Дж]]
| СГС        = [[эрг]]
| СГСЭ        =
| СГСМ        =
| другие      =
| Примечания  =
}}
'''Вну́тренняя эне́ргия''' — [[энергия]] [[термодинамическая система|термодинамической системы]] в [[Система отсчёта|системе отсчета]] её [[Центр масс|центра масс]]. Принято в [[Физика конденсированного состояния|физике сплошных сред]], [[термодинамика|термодинамике]] и [[статистическая физика|статистической физике]] для той части полной [[энергия|энергии]] [[термодинамическая система|термодинамической системы]], которая не зависит от выбора [[Система отсчёта|системы отсчета]]{{sfn|Жилин|2012|с=84}} и которая в рамках рассматриваемой задачи может изменяться{{sfn|Физика. Большой энциклопедический словарь|1998|с=80}}. То есть для [[Равновесный процесс|равновесных процессов]] в системе отсчета, относительно которой [[центр масс]] рассматриваемого [[Макроскопический масштаб|макроскопического]] объекта покоится, изменения полной и внутренней энергии всегда совпадают. Перечень составных частей полной энергии, входящих во внутреннюю энергию, непостоянен и зависит от решаемой задачи. Иначе говоря, внутренняя энергия — это не специфический [[Энергия#Виды энергии|вид энергии]]{{sfn|Герасимов и др.|1970|с=31}}, а совокупность тех изменяемых составных частей полной энергии системы, которые следует учитывать в конкретной ситуации.
 
Внутренняя энергия как специфическое для [[Термодинамическая система|термических систем]] понятие, а не просто как термин для обозначения изменяемой части полной энергии, нужна постольку, поскольку с её помощью в [[Физика|физику]] вводят новые величины: термические ([[температура]], [[энергия Гельмгольца]], [[энтальпия]] и [[Энтропия в классической термодинамике|энтропия]]) и химические ([[Химический потенциал|химические потенциалы]] и [[масса|массы]] [[Компоненты (термодинамика)|составляющих систему веществ]], [[энергия Гиббса]])<ref>Более того, П. А. Жилин считает единственно правильным такой подход к построению/изложению физики сплошных сред, когда «…понятия энергии, температуры, энтропии и химического потенциала вводятся одновременно…» (''Жилин П. А.'' Рациональная механика сплошных сред, 2012, с. 48). «…Нельзя сначала определить внутреннюю энергию, а затем химический потенциал и энтропию. Все эти понятия могут быть введены только одновременно» (''Жилин П. А.'' Рациональная механика сплошных сред, 2012, с. 140)".</ref>.
 
Деление полной энергии системы на [[Потенциальная энергия|потенциальную]], [[кинетическая энергия|кинетическую]], внутреннюю и т. д. зависит от формальных определений этих понятий и поэтому достаточно условно{{sfn|Жилин|2012|с=111}}{{#tag:ref|…закон сохранения энергии, несмотря на кажущуюся ясность и простоту, в действительности нельзя считать ни простым, ни ясным. Этот закон выражает постоянство суммы трёх слагаемых: 1) кинетической энергии, 2) потенциальной энергии, зависящей от положения тела, и 3) внутренней молекулярной энергии в формах тепловой, химической или электрической. При этом, как указывает Пуанкаре{{sfn|''Пуанкаре А.'', О науке|1990|с =105—106}}, такое выражение закона не представляло бы затруднений, если бы между указанными слагаемыми можно было провести строгое различие, т. е. первое слагаемое зависело бы только от скоростей, второе не зависело бы от скоростей и внутреннего состояния тел, а третье зависело бы только от внутреннего состояния тел. На самом же деле это не так, ибо, например, в случае наэлектризованных тел их электростатическая энергия зависит и от состояния тел, и от их положения в пространстве: если же тела ещё и движутся, то их электродинамическая энергия зависит уже не только от состояния тел и их положения в пространстве, но и от их скоростей. Пуанкаре показывает, что в этих условиях выбор функции, которую мы называем «энергией», оказывается условным, и, следовательно, единственная возможная формулировка закона сохранения энергии гласит: «существует нечто, остающееся постоянным»{{sfn|''Шамбадаль П.'', Развитие и приложение понятия энтропии|1967|с =13}}.|group=K}}{{#tag:ref|Важно понимать, что физике сегодняшнего дня неизвестно, что такое энергия. <…> Просто имеются формулы для расчёта определённых численных величин, сложив которые, мы получаем <…> всегда одно и то же число. Это нечто отвлечённое, ничего не говорящее нам ни о механизме, ни о причинах появления в формуле различных членов{{sfn|''Фейнман Р. Ф. и др.'', Фейнмановские лекции по физике, вып. 1—2|2011|с =74}}.|group=K}}. Так, иногда во внутреннюю энергию не включают потенциальную энергию, связанную с [[Потенциальное векторное поле|полями внешних сил]]{{sfn|Физика. Большой энциклопедический словарь|1998|с=80}}{{sfn|Дырдин В. В. и др., Термодинамика|2005|с=14}}{{sfn|Глаголев, Морозов|2007|с=13–14}}. Важно, что правильность получаемых при решении конкретной задачи результатов зависит от корректности составления [[Закон сохранения энергии|уравнения энергетического баланса]], а не от терминологических нюансов.
 
Воспринимаемые органами чувств человека нагрев или охлаждение [[Макроскопический масштаб|макроскопического]] объекта при прочих равных условиях (например, при постоянстве давления) есть проявления изменения внутренней энергии этого объекта: при повышении температуры внутренняя энергия системы увеличивается, а при понижении температуры — уменьшается{{sfn|''Булер П.'', Физико-химическая термодинамика вещества| 2001|с =21}}. Обратное неверно: постоянство [[температура|температуры]] объекта не означает неизменность его внутренней энергии (например, температура системы неизменна при [[Фазовый переход первого рода|фазовых переходах первого рода]] — плавлении, кипении и др.).
 
== Свойства внутренней энергии ==
Непосредственно из определения внутренней энергии как части полной энергии вытекает, что
* внутренняя энергия есть индифферентный<ref>Не зависящий от системы отсчёта.</ref> [[Скалярная величина|скаляр]], то есть во внутреннюю энергию не входит кинетическая энергия системы как единого целого и кинетическая энергия среды внутри системы (энергия смещения элементарных областей<ref name="elemtelo">Элементарная область (она же элементарный объём, она же частица, она же элементарное тело) сплошной среды есть мысленно выделяемый объём сплошной среды (континуума), который бесконечно мал по сравнению с неоднородностями среды и бесконечно велик по отношению к размерам частиц (атомов, ионов, молекул и т. п.) сплошной среды.</ref> при [[Деформация|деформации]] [[Твёрдое тело|твёрдых тел]] и энергия потоков [[Жидкость|жидкостей]] и [[газ]]ов в среде);
* внутренняя энергия есть [[Аддитивность (математика)|величина аддитивная]]{{sfn|Жилин|2012|с=111}}<ref name ="add">В физике сплошных сред различают аддитивность по геометрическим параметрам (длине растягиваемой пружины, площади поверхности раздела фаз, объёму), аддитивность по массе (экстенсивность) и аддитивность по элементарным телам сплошной среды. Различие в типах аддитивности имеет значение, когда, например, плотность по массе и [[плотность]] по телам не выражаются одна через другую, то есть являются независимыми величинами (например, не все рассматриваемые элементарные тела обладают массой или имеет значение [[распад]] или [[агрегация]] элементарных тел сплошной среды). Так, при образовании трещин на линии разрыва происходит удвоение числа элементарных тел, хотя массовая плотность при этом не меняется. Кинетическая энергия аддитивна по массе, тогда как внутренняя энергия аддитивна по элементарным телам, составляющим систему, но не всегда может рассматриваться как аддитивная функция массы. Для [[Фотонный газ|фотонного газа]] имеет место аддитивность внутренней энергии по объёму.</ref>, то есть внутренняя энергия системы равна сумме внутренних энергий её [[Термодинамическая система|подсистем]];
* внутренняя энергия задаётся с точностью до постоянного слагаемого, зависящего от выбранного нуля отсчёта и не сказывающегося на экспериментальных замерах изменения внутренней энергии{{sfn|Базаров|2010|с=25}}.
 
== Составные части внутренней энергии ==
Термодинамика вопрос о природе внутренней энергии не рассматривает и энергетические превращения (подчас весьма сложные), происходящие внутри системы на микроуровне, не детализирует{{sfn|Герасимов и др.|1970|с=26}}. В статистической физике во внутреннюю энергию системы включают энергию разных видов движения и взаимодействия входящих в систему частиц: энергию [[Поступательное движение|поступательного]], [[Энергия вращательного движения|вращательного]] и [[Колебания|колебательного]] движений [[атом]]ов и [[Молекула|молекул]], энергию [[Внутримолекулярное взаимодействие|внутри-]] и [[Межмолекулярное взаимодействие|межмолекулярного взаимодействия]], энергию [[Электронная оболочка|электронных оболочек]] атомов и др.{{sfn|Базаров|2010|с=25}}
 
Во внутреннюю энергию не включают те составные части полной энергии, которые не меняются при изменении [[Макроскопический масштаб|макроскопического]] состояния системы. Так, при обычных температурах в состав внутренней энергии не включают энергию [[Атомное ядро|атомных ядер]], ибо она в этих условиях не меняется{{sfn|Путилов К. А., Термодинамика|1971|с=59}}. Но если речь идёт о температурах, при которых начинается термический распад атомных ядер, то эту энергию необходимо учитывать.
 
Энергию системы в поле внешних сил в состав её внутренней энергии не включают при условии, что термодинамическое состояние системы при перемещении в поле этих сил не изменяется{{sfn|Базаров|2010|с=25}}{{sfn|Путилов К. А., Термодинамика|1971|с=54}}. При изменении состояния системы под действием внешних полей во внутреннюю энергию системы включают потенциальную энергию системы в этих полях ([[Гравитационное поле|гравитационном]], [[Электромагнитное поле|электромагнитном]]){{sfn|Физическая энциклопедия, т. 1|1988|с=292}}{{sfn|Сычев|2009}}.
 
Влияние [[Поле тяготения|поля тяготения]] на внутреннюю энергию термодинамической системы учитывают тогда, когда высота рассматриваемого столба газа (жидкости) значительна, например, при анализе состояния атмосферы{{sfn|Сычев|2009}}.
 
Так как поверхность тела растет пропорционально квадрату размеров этого тела, а объём — пропорционально кубу этих размеров, то для больших тел [[Поверхность раздела фаз|поверхностными эффектами]] по сравнению с объёмными можно пренебречь{{sfn|Базаров|2010|с=223}}. Однако для [[Дисперсная система|дисперсных систем]] с развитыми поверхностями раздела между жидкими, твердыми и газообразными фазами ([[адсорбент]]ы и микрогетерогенные системы: [[Золи|коллоидные растворы]], [[Эмульсия|эмульсии]], [[туман]]ы, [[дым]]ы) пренебрежение поверхностными эффектами недопустимо, более того, они определяют многие своеобразные свойства таких систем и для них энергию поверхностных слоёв на границах раздела фаз (поверхностную энергию) учитывают как часть внутренней энергии{{sfn|Герасимов и др.|1970|с=19}}.
 
При решении задач, требующих учёта кинетической энергии (физика сплошных сред, [[Техническая термодинамика|техническая]] и [[релятивистская термодинамика]]), оперируют полной энергией, совместно рассматривая [[законы сохранения]] [[Закон сохранения массы|массы]], энергии, [[Закон сохранения электрического заряда|заряда]], законы механики и [[Начала термодинамики|законы термодинамики]]{{sfn|Пальмов|2008|с=141}}.
 
== Внутренняя энергия в равновесной термодинамике ==
 
=== Историческая справка ===
В термодинамику внутреннюю энергию ввёл [[Клаузиус, Рудольф Юлиус Эмануэль|Р. Клаузиус]] (1850), не озаботившийся присвоением специального наименования «функции <math>U</math>», использованной учёным в математической формулировке [[Первое начало термодинамики|первого начала (закона) термодинамики]]{{sfn|''Clausius R.'', Ueber die bewegende Kraft der Wärme (1)|1850|S =384}}{{sfn|''Кричевский И. Р.'', Понятия и основы термодинамики|1970|с =126}}{{sfn|Гельфер|1981|с =162}}{{sfn|''Крутов В.И. и др.'', Техническая термодинамика|1991|с =7}}
{{#tag:ref|Статью Р. Клаузиуса «О движущей силе теплоты и о законах, которые можно отсюда получить для теории теплоты (Ueber die bewegende Kraft der Wärme und die Gesetze, welche sich daraus für die Wärmelehre selbst ableiten lassen)», опубликованную в 1850 году, принято ныне рассматривать в качестве работы, положившей начало термодинамике как [[Наука|научной дисциплине]]{{sfn|''Мюнстер А.'', Химическая термодинамика|2002|с =12}}{{sfn|Гельфер|1981|с =159}}. Использованное в статье Клаузиуса не слишком удачное{{sfn|Гельфер|1981|с =161—162}} — по меркам сегодняшнего дня — понятие «Gesammtwärme (полное количество теплоты)» относится к трактовке смысла функции <math>U</math>, но не к названию этой функции.|group=K}}; впоследствии Клаузиус называл функцию <math>U</math> просто «энергией»{{sfn|Clausius|1887|S =33}}{{sfn|Второе начало термодинамики|2012|с =98}}. [[Томсон, Уильям (лорд Кельвин)|У. Томсон (лорд Кельвин)]] (1851) в статье «О динамической теории теплоты»{{sfn|''Thomson W.'', Mathematical and Physical Papers, vol. 1|1882|loc =Article «On the dynamical theory of heat» (1851)|pp =174—232}} дал этой новой [[Физическая величина (метрология)|физической величине]] принятую доныне трактовку{{sfn|Гельфер|1981|с =162}}{{sfn|Физика. Большой энциклопедический словарь|1998|с=80}} и название «механическая энергия»{{sfn|''Thomson W.'', Mathematical and Physical Papers, vol. 1|1882|loc =Article «On the dynamical theory of heat» (1851)|pp =174—232}}{{sfn|''Кричевский И. Р.'', Понятия и основы термодинамики|1970|с =126}}{{sfn|Второе начало термодинамики|2012|с =98}}{{#tag:ref|В некоторых изданиях указывают, что ''понятие'' «внутренняя энергия» введено У. Томсоном{{sfn|''Башкиров А. Г.'', Внутренняя энергия|2006}}{{sfn|Физика. Большой энциклопедический словарь|1998|с=80}}{{sfn|''Лопаткин А. А.'', Внутренняя энергия|1971}}. Ему же иногда приписывают авторство ''термина'' «внутренняя энергия»{{sfn|Гельфер|1981|с =162}}. Говоря о механической энергии, Томсон в статье «О динамической теории теплоты»{{sfn|''Thomson W.'', Mathematical and Physical Papers, vol. 1|1882|loc =Article «On the dynamical theory of heat» (1851)|pp =174—232}} не упоминает первую часть работы Клаузиуса «О движущей силе теплоты…»{{sfn|''Clausius R.'', Ueber die bewegende Kraft der Wärme (1)|1850}}, в которой Клаузиус ввёл в рассмотрение свою — пока ещё безымянную — функцию <math>U</math>, но даёт ссылку{{sfn|''Thomson W.'', Mathematical and Physical Papers, vol. 1|1882|loc =Article «On the dynamical theory of heat» (1851)|p =195}} на вторую часть указанной статьи Клаузиуса{{sfn|''Clausius R.'', Ueber die bewegende Kraft der Wärme (2)|1850}}, опубликованную в следующем номере журнала «[[Annalen der Physik]]». Иными словами, на момент сдачи в печать статьи «О динамической теории теплоты» Томсон знал об опередившей эту статью работе Клаузиуса. С точки зрения научного приоритета не имеет значения, представляет ли трактат Томсона опоздавшее с публикацией независимое исследование, либо же статья Клаузиуса послужила для Томсона отправной точкой для развития идей немецкого учёного.|group=K}}. Термин «внутренняя энергия (internal energy)» принадлежит [[Ренкин, Уильям Джон|У. Ренкину]]{{sfn|Rankine|1872|p =508}}{{sfn|Гельфер|1981|с =164}}.
 
=== Первое начало термодинамики ===
[[Первое начало термодинамики|Первое начало (закон) термодинамики]] представляет собой конкретизацию общефизического [[Закон сохранения энергии|закона сохранения энергии]] для термодинамических систем. В рамках традиционного подхода первое начало формулируют как соотношение, устанавливающее связь между внутренней энергией, [[Термодинамическая работа|работой]] и [[Теплота|теплотой]]: одна из этих физических величин задаётся с помощью двух других, которые, будучи исходными объектами теории, в рамках самой этой теории определены быть не могут просто потому, что не существует понятий более общих, под которые можно было бы подвести подлежащие определению термины{{sfn|Хазен|2000}}. В соответствии с интерпретацией У. Томсона первое начало трактуют как дефиницию внутренней энергии для закрытых систем{{sfn|''Thomson W.'', Mathematical and Physical Papers, vol. 1|1882|loc =Article «On the dynamical theory of heat» (1851)|pp =174—232}}{{sfn|''Kirchhoff G.'', Vorlesungen über die Theorie der Wärme|1894|S =63}}{{sfn|Физика. Большой энциклопедический словарь|1998|с=80}}. А именно, изменение внутренней энергии термодинамической системы <math> U </math> в каком-либо процессе полагают равным алгебраической сумме количества теплоты <math> Q </math>, которой система обменивается в ходе процесса с окружающей средой, и работы <math> A </math>, совершённой системой или произведённой над ней{{sfn|Физика. Большой энциклопедический словарь|1998|с=80}}:
{{EF|:|<math>\Delta U \equiv Q + A . </math>|style = |ref =Первое начало в формулировке Томсона|center=}}
В этом {{eqref|Первое начало в формулировке Томсона|выражении}} использовано «[[Первое начало термодинамики#Правило знаков для теплоты и работы|термодинамическое правило знаков для теплоты и работы]]».
 
Термодинамика заимствует понятия энергии и работы из других разделов физики, тогда как определение количеству теплоты, наоборот, даётся только и именно в термодинамике. По этой причине логичнее сразу трактовать первое начало так, как это делали Клаузиус{{sfn|Clausius|1887|S =33}} и его последователи, а именно, как определение теплоты через внутреннюю энергию и работу{{sfn|Березин|2008|с=34}}{{sfn|Борн|1964|с=230–231}}. С использованием «теплотехнического правила знаков для теплоты и работы» математическое выражение для первого начала в формулировке Клаузиуса имеет вид:
{{EF|:|<math> Q \equiv \Delta U + A.</math>|style=|ref=Первое начало в формулировке Клаузиуса|center=}}
При использовании термодинамического правила знаков для теплоты и работы знак у <math> A </math> меняется на противоположный: <math> Q \equiv \Delta U - A</math>{{#tag:ref|Применение в одном разделе разных правил знаков для теплоты и работы призвано приблизить написание приводимых в разделе формул к их написанию в источниках, из которых эти формулы заимствованы.|group=K}}.
 
{{eqref|Первое начало в формулировке Томсона|Первое начало в формулировке Томсона}} вводит внутреннюю энергию как физическую характеристику системы, поведение которой определяется законом сохранения энергии, но не определяет эту величину как математический объект, то есть функцию конкретных параметров состояния{{sfn|Жилин|2012|с=140}}. Альтернативное определение внутренней энергии предложено К. Каратеодори (1909), который сформулировал первое начало термодинамики в виде аксиомы о существовании внутренней энергии — составной части полной энергии системы — как функции состояния, зависящей для простых систем<ref name="prst">Состояние простой термодинамической системы (газы и изотропные жидкости в ситуации, когда поверхностными эффектами и наличием внешних силовых полей можно пренебречь) полностью задано её объёмом, давлением в системе и массами составляющих систему веществ.</ref> от [[объём]]а системы <math>V</math>, давления <math>p</math> и [[масса|масс]] [[Компоненты (термодинамика)|составляющих систему веществ]] <math>m_1</math>, <math>m_2</math>, …, <math>m_i</math>, …{{sfn|Каратеодори К., Об основах термодинамики|1964|с=196}}:
{{EF|:|<math>U = U \left ( p, V, \left \{ m_i \right \} \right ).</math>|style=|ref=Первое начало в формулировке Каратеодори|center=}}
Важно, что данное определение внутренней энергии справедливо для открытых систем<ref>[[Гиббс, Джозайя Уиллард|Дж. У. Гиббс]] в своей работе «О равновесии гетерогенных веществ» (1875—1876) рассматривает внутреннюю энергию как функцию энтропии, объёма и масс компонентов.</ref>. В формулировке Каратеодори внутренняя энергия не представляет собой [[Характеристическая функция (термодинамика)|характеристическую функцию]] своих независимых переменных.
 
=== Постулат Тиссы ===
В аксиоматической системе [[Тисса, Ласло|Л. Тиссы]] набор постулатов термодинамики дополнен утверждением о том, что внутренняя энергия ограничена снизу, и что эта граница соответствует абсолютному нулю температуры{{sfn|Tisza|1966|p=125|}}.
 
=== Калорические уравнения состояния ===
Внутренняя энергия системы есть однозначная, непрерывная и ограниченная функция состояния системы{{sfn|Герасимов и др.|1970|с=31}}. Для определённости полагают внутреннюю энергию ограниченной снизу. За начало отсчёта внутренней энергии принимают её значения при абсолютном нуле температуры<ref name=autogenerated1>{{Cite web |url=http://allencyclopedia.ru/13918 |title=Внутренняя энергия // БСЭ (3-е изд.) |access-date=2016-03-10 |archive-date=2016-03-11 |archive-url=https://web.archive.org/web/20160311022402/http://allencyclopedia.ru/13918 |url-status=live }}</ref>. Уравнение, выражающее функциональную зависимость внутренней энергии от [[Термодинамические величины#Параметры состояния|параметров состояния]], носит название [[Уравнение состояния#калорическое уравнение состояния|калорического уравнения состояния]]{{sfn|Физическая энциклопедия, т. 5|1998|с=236}}{{sfn|Базаров|2010|с=30}}. Для простых однокомпонентных систем калорическое уравнение связывает внутреннюю энергию с любыми двумя из трёх параметров <math>p,</math> <math>V,</math> <math>T,</math> то есть имеется три калорических уравнения состояния:
 
{{EF|:|<math>U = U ( T, V ),</math>|style=|ref=Калорическое уравнение состояния с независимыми переменными ''T'' и ''V''|center=}}
 
{{EF|:|<math>U = U ( T, p ),</math>|style=|ref=Калорическое уравнение состояния с независимыми переменными ''T'' и ''p''|center=}}
 
{{EF|:|<math>U = U ( V, p ).</math>|style=|ref=Калорическое уравнение состояния с независимыми переменными ''V'' и ''p''|center=}}
 
Выбор независимых переменных для калорического уравнения состояния, теоретически не имеющий принципиального значения, важен с практической точки зрения: удобнее иметь дело с непосредственно измеримыми величинами типа температуры и давления.
 
Применение термодинамики для решения практических задач часто требует знания параметров, конкретизирующих свойства изучаемого объекта, то есть требуется [[модель|математическая модель]] системы, с необходимой точностью описывающая её свойства. К таким моделям, называемым в термодинамике [[уравнение состояния|уравнениями состояния]], относятся [[Уравнение состояния#термическое уравнение состояния|термическое]] и калорическое уравнения состояния. Для каждой конкретной термодинамической системы её уравнения состояния устанавливают по экспериментальным данным или находят методами статистической физики, и в рамках термодинамики они считаются заданными при определении системы{{sfn|Кубо Р., Термодинамика|1970|с=25}}. Если для системы известны её термическое и калорическое уравнения состояния, то тем самым задано полное термодинамическое описание системы и можно вычислить все её термодинамические свойства{{sfn|Базаров|2010|с=30}}.
 
=== Внутренняя энергия как характеристическая функция ===
{{main|Характеристическая функция (термодинамика)#Внутренняя энергия как характеристическая функция|l1=Внутренняя энергия как характеристическая функция}}
 
=== Условия равновесия и стабильности термодинамических систем, выраженные через внутреннюю энергию ===
{{main|Характеристическая функция (термодинамика)#Условия равновесия и стабильности термодинамических систем, выраженные через внутреннюю энергию|l1=Условия равновесия и стабильности термодинамических систем, выраженные через внутреннюю энергию}}
 
=== Экспериментальное определение внутренней энергии ===
В рамках термодинамики абсолютное значение внутренней энергии найдено быть не может, поскольку она задаётся с точностью до аддитивной постоянной. Экспериментально можно определить изменение внутренней энергии, а неопределённость, обусловленную аддитивной постоянной, устранить выбором [[Стандартные состояния|стандартного состояния]] в качестве состояния отсчёта{{sfn|Химическая энциклопедия, т. 4|1995|с=413}}. С приближением температуры к [[Абсолютный нуль температуры|абсолютному нулю]] внутренняя энергия становится независимой от температуры и приближается к определённому постоянному значению, которое может быть принято за начало отсчёта внутренней энергии<ref name=autogenerated1 />.
 
С [[Метрология|метрологической]] точки зрения нахождение изменения внутренней энергии есть [[Виды измерений|косвенное измерение]], поскольку это изменение определяют по результатам прямых измерений других физических величин, функционально связанных с изменением внутренней энергии. Основная роль при этом отводится определению температурной зависимости [[Теплоёмкость|теплоёмкости]] системы. Действительно, дифференцируя {{eqref|Калорическое уравнение состояния с независимыми переменными ''T'' и ''V''|калорическое уравнение состояния}}, получаем{{sfn|Полторак|1991|с=61}}:
{{EF|:|<math> dU = \left ( \frac{ \partial U}{ \partial T} \right )_V dT + \left ( \frac{ \partial U}{ \partial V} \right )_T dV = C_VdT + \left [ T \left ( \frac{ \partial p}{ \partial T} \right )_V - p \right ] dV = C_VdT + \left ( \frac{ \alpha }{ \chi } T - p \right) dV. </math>|style=|ref=|center=}}
 
Здесь <math>C_V</math> — теплоёмкость системы при постоянном объёме; <math>\alpha</math> — [[Уравнение состояния#Термические коэффициенты|изобарный коэффициент объёмного расширения]]; <math>\chi</math> — [[Уравнение состояния#Термические коэффициенты|изотермический коэффициент объёмного сжатия]]. Интегрируя это соотношение, получаем уравнение для вычисления изменения внутренней энергии по данным экспериментальных измерений:
{{EF|:|<math> \Delta U = U_2 - U_1 = \int\limits_{T_1}^{T_2} C_VdT + \int\limits_{V_1}^{V_2} \left ( \frac{ \alpha }{ \chi } T - p \right) dV, </math>|style=|ref=|center=}}


=== Тип и синтаксические свойства сочетания ===
где индексы ''1'' и ''2'' относятся к начальному и конечному состоянию системы. Для вычисления изменения внутренней энергии в [[Изохорный процесс|изохорных процессах]] <math>(V = \text{const})</math> достаточно знать зависимость теплоёмкости <math>C_V</math> от температуры:
{{phrase
{{EF|:|<math> \Delta U = U_2 - U_1 = \int\limits_{T_1}^{T_2} C_VdT. </math>|style=|ref=Изменение внутренней энергии в изохорном процессе|center=}}
|тип=термин
 
|роль=иг
=== Внутренняя энергия классического идеального газа ===
|слово1={{по-слогам|вну́тренняя}}
Из уравнения [[Уравнение состояния идеального газа|Клапейрона — Менделеева]] следует, что внутренняя энергия [[Идеальный газ|идеального газа]] зависит от его температуры и массы и не зависит от объёма{{sfn|Герасимов и др.|1970|с=51}} (закон [[Джоуль, Джеймс|Джоуля]]){{sfn|Глазов В. М., Основы физической химии|1981|с=146}}{{sfn|Базаров|2010|с=65}}:
|лемма1=внутренний
{{EF|:|<math> \left( \frac{\partial U}{\partial V} \right )_T = 0 . </math>|style=|ref=Закон Джоуля|center=}}
|слово2={{по-слогам|эне́ргия}}
 
|лемма2=энергия
Для [[Квантовый газ|классического (неквантового)]] идеального газа статистическая физика даёт следующее калорическое уравнение состояния{{sfn|Кубо Р., Термодинамика|1970|с=25}}:
|тип-кат=Устойчивые сочетания
{{EF|:| <math> U =k \frac{m}{M}RT, </math>|style=|ref=Внутренняя энергия идеального газа|center=}}
|lang=ru
 
}}
где <math>m</math> — масса газа, <math>M</math> — [[молярная масса]] этого газа, <math>R</math> — [[универсальная газовая постоянная]], а коэффициент <math>k</math> равен 3/2 для одноатомного газа, 5/2 для двухатомного и 3 для многоатомного газа; за начало отсчёта, которому присвоено нулевое значение внутренней энергии, принято состояние идеальногазовой системы при абсолютном нуле температуры. Из {{eqref|Внутренняя энергия идеального газа|данного уравнения}} следует, что внутренняя энергия идеального газа аддитивна по массе<ref name ="add"/>.
 
[[Уравнение состояния#Каноническое уравнение состояния|Каноническое уравнение состояния]] для внутренней энергии, рассматриваемой как [[Характеристическая функция (термодинамика)|характеристическая функция]] [[Энтропия в классической термодинамике|энтропии]] <math>S</math> и объёма <math>V</math> имеет вид{{sfn|Базаров|2010|с=111}}:
{{EF|:|<math>U ( S, V ) = \frac{ m C_V}{ M V_1^{\mathsf{ \gamma }-1}} \exp \left ( \frac{S}{C_V} \right ),</math>|style=|ref=Каноническое уравнение состояния для внутренней энергии|center=}}
 
где <math> C_V </math> — теплоёмкость при постоянном объёме, равная <math> \frac{3R}{2} </math> для одноатомных газов, <math> \frac{5R}{2} </math> для двухатомных и <math> 3R </math> для многоатомных газов; <math> V_1 </math> — безразмерная величина, численно совпадающая со значением <math> V </math> в используемой [[Единицы измерения|системе единиц измерения]]; <math> \gamma </math> — [[показатель адиабаты]], равный <math> \frac{5}{3} </math> для одноатомных газов, <math> \frac{7}{5} </math> для двухатомных и <math> \frac{4}{3} </math> для многоатомных газов.


=== Произношение ===
=== Внутренняя энергия фотонного газа ===
{{transcription-ru|вну́тренняя энэ́ргия|}}
В термодинамике [[Абсолютно чёрное тело#Чернотельное излучение|равновесное тепловое излучение]] рассматривают как [[Абсолютно чёрное тело#Термодинамика равновесного теплового излучения|фотонный газ]], заполняющий объём <math>V</math>. Внутренняя энергия такой системы [[Безмассовые частицы|безмассовых частиц]], даваемая [[закон Стефана — Больцмана|законом Стефана — Больцмана]], равна{{sfn|Гуггенгейм, Современная термодинамика|1941|с=165}}:
{{EF|:| <math> U = \frac{4 \sigma }{c} VT^4, </math>|style=|ref=Внутренняя энергия фотонного газа|center=}}


=== Семантические свойства ===
где <math> \sigma </math> — [[постоянная Стефана — Больцмана]], <math>c</math> — ''электродинамическая постоянная'' ([[скорость света]] в [[вакуум]]е). Из {{eqref|Внутренняя энергия фотонного газа|этого выражения}} следует, что внутренняя энергия фотонного газа аддитивна по объёму<ref name ="add"/>.


==== Значение ====
[[Уравнение состояния#Каноническое уравнение состояния|Каноническое уравнение состояния]] для внутренней энергии фотонного газа имеет вид{{sfn|Базаров|2010|с=157}}:
# ''физ.'' [[энергия]] [[тело|тела]], зависящая [[только]] от его [[внутренний|внутреннего]] [[состояние|состояния]]. ''При тепловом контакте тел внутренняя энергия одного из них может увеличиваться, а внутренняя энергия другого — уменьшаться.''
{{EF|:|<math>U(S, V) = \frac{4 \sigma}{c} V \left ( \frac{3 c S }{16 \sigma V } \right )^{\mathsf{ \frac{4}{3} }} . </math>|style=|ref=Каноническое уравнение состояния для внутренней энергии фотонного газа|center=}}
#
#


==== Синонимы ====
== Внутренняя энергия в физике сплошных сред ==
# —
В [[Физика конденсированного состояния|физике сплошных сред]], составной частью которой является [[неравновесная термодинамика]], оперируют ''полной энергией среды'', рассматривая её как сумму кинетической и внутренней энергии среды. Кинетическая энергия сплошной среды зависит от выбора системы отсчета, а внутренняя энергия — нет {{sfn|Жилин|2012|с=84}}. Образно говоря, внутренняя энергия элементарного тела<ref name="elemtelo"/> среды как бы «вморожена» в элементарный объём и перемещается вместе с ним, а кинетическая энергия связана с движением внутри непрерывной среды. Для внутренней энергии принимают справедливость всех соотношений, даваемых для неё [[Термодинамика|равновесной термодинамикой]] в локальной формулировке{{sfn|Дьярмати И., Неравновесная термодинамика|1974|с=111}}.
#
#


==== Антонимы ====
== Комментарии ==
# —
{{примечания|group=K}}
#
#


==== Гиперонимы ====
== Примечания ==
# [[энергия]]
{{примечания}}
#
#


==== Гипонимы ====
== Литература ==
# —
* {{статья|автор =[[Клаузиус, Рудольф Юлиус Эммануэль|Clausius R.]]|заглавие =Ueber die bewegende Kraft der Wärme und die Gesetze, welche sich daraus für die Wärmelehre selbst ableiten lassen (Anfang des Artikels)|ссылка = https://booksc.org/book/364710/39a2a9|язык =de|издание =Annalen der Physik und Chemie|издательство = |год =1850|том =79|номер =3|страницы =368—397|doi= |ref =''Clausius R.'', Ueber die bewegende Kraft der Wärme (1)}}
#
* {{статья|автор =[[Клаузиус, Рудольф Юлиус Эммануэль|Clausius R.]]|заглавие =Ueber die bewegende Kraft der Wärme und die Gesetze, welche sich daraus für die Wärmelehre selbst ableiten lassen (Ende des Artikels)|ссылка = https://booksc.org/book/364708/26291d|язык =de|издание =Annalen der Physik und Chemie|издательство = |год =1850|том =79|номер =4|страницы =500—524|doi= |ref =''Clausius R.'', Ueber die bewegende Kraft der Wärme (2)}}
#
* {{книга|автор =[[Клаузиус, Рудольф Юлиус Эммануэль|Clausius R.]]|заглавие =Abhandlungen über die mechanische Wärmetheorie. Erste Abtheilung|ссылка = https://archive.org/details/abhandlungenber00claugoog/page/n9|издание = |место =Braunschweig|издательство= Druck und Verlag von Friedrich Vieweg und Sohn|год =1864|alleseiten =xviii + 351|ref =''Clausius R.'', Abhandlungen über die mechanische Wärmetheorie, Abt. 1}}
* {{статья|автор =[[Клаузиус, Рудольф Юлиус Эммануэль|Clausius R.]]|заглавие =Ueber verschiedene für die Anwendung bequeme Formen der Hauptgleichungen der mechanischen Wärmetheorie|ссылка = https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Clausius_R._Ueber_verschiedene_f%C3%BCr_die_Anwendung_bequeme_Formen_der_Hauptgleichungen_der_mechanischen_W%C3%A4rmetheorie_1865.pdf|язык =de|издание =Annalen der Physik und Chemie|издательство = |год =1865|том =125|номер =7|страницы =353—400|doi= |ref =''Clausius R.'', Ueber verschiedene für die Anwendung bequeme Formen der Hauptgleichungen der mechanischen Wärmetheorie}}
* {{книга|автор=[[Клаузиус, Рудольф Юлиус Эммануэль|Clausius R.]]|заглавие=Die mechanische Wärmetheorie. Band 1|ссылка = https://commons.wikimedia.org/wiki/File:R._Clausius._Die_mechanische_W%C3%A4rmetheorie._Band_1%E2%80%933_(1879%E2%80%941891).pdf|издание=3 Auflage|место=Braunschweig|издательство=Druck und Verlag von Friedrich Vieweg und Sohn|год=1887|alleseiten =xvi + 403|ref=Clausius}}
* {{книга|автор =[[Кирхгоф, Густав|Kirchhoff Gustav]]|заглавие =Vorlesungen über mathematische Physik. Band IV. Theorie der Wärme|ссылка = https://archive.org/details/vorlesungenberm00plangoog/page/n6|язык =de|издание =|место =Leipzig|издательство =Verlag von B. J. Teubner|год =1894 |том = |alleseiten =x + 210|серия = |isbn = |ref =''Kirchhoff G.'', Vorlesungen über die Theorie der Wärme}}
* {{книга|автор=[[Ренкин, Уильям Джон|Rankine W.J.M.]]|заглавие =A manual applied mechanics|ссылка = http://www.forgottenbooks.com/readbook/A_Manual_of_Applied_Mechanics_William_1000723272#0 |издание =6 ed|место =London|издательство =Charles Griffin and company|год =1872|страниц =XVI + 648|ref =Rankine}}
* {{книга|автор = [[Томсон, Уильям (лорд Кельвин)|Thomson William]]|заглавие = Mathematical and Physical Papers. Volume 1|ссылка = https://ia902607.us.archive.org/5/items/mathematicaland01kelvgoog/mathematicaland01kelvgoog.pdf|издание =|место = Cambridge|издательство = The Cambridge University Press|год = 1882|allpages =xii + 558|ref =''Thomson W.'', Mathematical and Physical Papers, vol. 1}}
* {{книга|автор=[[Тисса, Ласло|Tisza Laszlo]]|заглавие=Generalized Thermodynamics|ответственный= |издание= |место=Cambridge (Massachusetts) — London (England)|издательство=The M.I.T. Press|год=1966|том= |страниц= 384|серия= |isbn= |ref=Tisza}}
* {{книга|автор=Базаров И. П.|заглавие=Термодинамика|издание=5-е изд|место=СПб. — М. — Краснодар|издательство=Лань|год=2010|том= |страниц=384|серия=Учебники для вузов. Специальная литература|isbn=978-5-8114-1003-3|ref=Базаров}}
* {{статья|автор =Башкиров А. Г.|заглавие =Внутренняя энергия|ссылка = https://old.bigenc.ru/physics/text/1920845|язык =ru|издание =Большая российская энциклопедия|издательство =[[Большая Российская энциклопедия (издательство)|Большая Российская энциклопедия]]|год =2006|том =5|номер = |страницы =476|doi= |ref =''Башкиров А. Г.'', Внутренняя энергия}}
* {{книга|автор = [[Березин, Феликс Александрович|Березин Ф. А.]] |заглавие= Лекции по статистической физике |ответственный= Под ред. Д. А. Лейтеса |издание= |место= М. |издательство= МЦНМО |год= 2008 |том= |страниц= 197 |серия= |isbn= 978-5-94057-352-4 |ref= Березин|2008}}
* {{статья|автор=[[Борн, Макс|Борн М.]]|заглавие=Критические замечания по поводу традиционного изложения термодинамики|ссылка = https://b-ok.xyz/book/5153739/8add12|язык= ru|ответственный =Отв. ред. [[Кузнецов, Борис Григорьевич|Б. Г. Кузнецов]]|издание =Развитие современной физики|место =М.|издательство =Наука|год =1964|страницы =223—256|doi= |ref=Борн}}
* {{книга|автор =Булер П.|заглавие =Физико-химическая термодинамика вещества|издание = |место =СПб.|издательство =Янус|год =2001|том = |страниц =192|серия = |isbn =5-9276-0011-5|ref =''Булер П.'', Физико-химическая термодинамика вещества}}
* {{книга|автор=Гельфер Я. М.|заглавие=История и методология термодинамики и статистической физики|ответственный= |издание=2-е изд., перераб. и доп|место=М.|издательство=Высшая школа|год=1981|том= |страниц=536|серия= |isbn= |ref=Гельфер}}
* {{книга|автор=Герасимов Я. И., Древинг В. П., Еремин Е. Н. и др.|заглавие=Курс физической химии|ответственный=Под общ. ред. Я. И. Герасимова|издание=2-е изд|место=М.|издательство=Химия|год=1970|том=I|страниц=592|серия= |isbn= |ref=Герасимов и др.}}
* {{книга|автор=[[Гиббс, Джозайя Уиллард|Гиббс Дж. В.]]|заглавие=Термодинамика. Статистическая механика|ответственный=Отв. ред. Д. Н. Зубарев|издание= |место=М.|издательство=Наука|год=1982|том= |страниц=584|серия=Классики науки|isbn= |ref=Гиббс Дж. В., Термодинамика. Статистическая механика}}
* {{книга|автор=Глаголев К. В., Морозов А. Н.|заглавие=Физическая термодинамика|ответственный= |издание=2-е изд., испр|место=М.|издательство=Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана|год=2007|том= |страниц=270|серия=Физика в техническом университете|isbn=978-5-7038-3026-0|ref=Глаголев, Морозов}}
* {{книга|автор=Глазов В. М.|заглавие=Основы физической химии|ответственный= |издание= |место=М.|издательство=Высшая школа|год=1981|том= |страниц=456|серия= |isbn= |ref=Глазов В. М., Основы физической химии}}
* {{книга|автор=Гуггенгейм|заглавие=Современная термодинамика, изложенная по методу У. Гиббса|ответственный=Пер. под ред. проф. С. А. Щукарева|издание= |место=Л. — М.|издательство=Госхимиздат|год=1941|том= |страниц=188|серия= |isbn= |ref=Гуггенгейм, Современная термодинамика}}
* {{книга|автор=Дырдин В. В., Мальшин А. А., Янина Т. И., Ёлкин И. С.|заглавие=Термодинамика: Учебное пособие|ответственный= |издание= |место=Кемерово|издательство=Изд-во КузГТУ|год=2005|том= |страниц=148|серия= |isbn=5-89070-482-6|ref=Дырдин В. В. и др., Термодинамика}}
* {{книга|автор=Дьярмати И.|заглавие=Неравновесная термодинамика. Теория поля и вариационные принципы|ответственный= |издание= |место=М.|издательство=Мир|год=1974|том= |страниц=304|серия= |isbn= |ref=Дьярмати И., Неравновесная термодинамика}}
* {{книга|автор=Жилин П. А.|заглавие=Рациональная механика сплошных сред|ответственный= |издание=2-е изд|место=СПб.|издательство=Изд-во Политехн. ун-та|год=2012|том= |страниц=584|серия= |isbn=978-5-7422-3248-3|ref=Жилин}}
* {{статья|автор =[[Зубарев, Дмитрий Николаевич|Зубарев Д. Н.]]|заглавие =Внутренняя энергия|ссылка = http://www.femto.com.ua/articles/part_1/0528.html|язык =ru|издание =Физическая энциклопедия|издательство =[[Большая Российская энциклопедия (издательство)|Советская энциклопедия]]|год =1988|том =1|номер = |страницы =292|doi= |ref =''Зубарев Д. Н.'', Внутренняя энергия}}
* {{статья|автор=[[Каратеодори, Константин|Каратеодори К.]]|заглавие=Об основах термодинамики|ссылка= |язык=ru|издание=Развитие современной физики|издательство=Наука|год=1964|volume= |номер= |с=3—22|doi= |ref=Каратеодори К., Об основах термодинамики}}
* {{книга|автор =[[Карно, Сади|Карно С.]], [[Клаузиус, Рудольф Юлиус Эмануэль|Клаузиус, Р.]], [[Томсон, Уильям (лорд Кельвин)|Томсон У. (лорд Кельвин)]] и др.|заглавие =Второе начало термодинамики|ссылка = |ответственный =Под ред. [[Тимирязев, Аркадий Климентьевич|А. К. Тимирязева]]|издание =4-е изд|место =М.|издательство =Либроком|год =2012|том = |страниц =312|серия =Физико-математическое наследие: физика (термодинамика и статистическая механика)|isbn= 978-5-397-02688-8|ref =Второе начало термодинамики}}
* {{книга|автор=Квасников И. А.|заглавие=Термодинамика и статистическая физика. Т. 1: Теория равновесных систем: Термодинамика|издание=2-е изд., сущ. перераб. и доп|издательство=Едиториал УРСС|год=2002|место=М.|страниц=240|isbn=5-354-00077-7|ref=Квасников, Термодинамика и статистическая физика, т. 1}}
* {{книга|автор = [[Кричевский, Исаак Рувимович|Кричевский И. Р.]]|заглавие =Понятия и основы термодинамики|ответственный = |издание =2-е изд., пересмотр. и доп|место =М.|издательство =Химия|год =1970|том= |страниц =440|серия= |isbn= |ref =''Кричевский И. Р.'', Понятия и основы термодинамики}}
* {{книга|автор=[[Крутов, Виталий Иванович (теплотехник)|В. И. Крутов]], Исаев С. И., Кожинов И. А. и др.|заглавие =[[Техническая термодинамика]]|ответственный =Под. ред. [[Крутов, Виталий Иванович (теплотехник)|В. И. Крутова]]|издание =3-е изд., перераб. и доп|место =М.|издательство =[[Высшая школа (издательство)|Высшая школа]]|год =1991|том = |страниц =384|серия = |isbn =5-06-002045-2|ref =''Крутов В.И. и др.'', Техническая термодинамика}}
* {{книга|автор=[[Кубо, Рёго|Кубо Р.]]|заглавие=Термодинамика|издание= |место=М.|издательство=Мир|год=1970|том= |страниц=304|серия= |isbn= |ref=Кубо Р., Термодинамика}}
* {{статья|автор =Лопаткин А. А.|заглавие =Внутренняя энергия|ссылка = http://bse.uaio.ru/BSE/0501.htm|язык =ru|издание =[[Большая советская энциклопедия]], 3-е изд|издательство =[[Большая Российская энциклопедия (издательство)|Советская энциклопедия]]|год =1971|том =5|номер = |страницы =167|doi = |ref =''Лопаткин А. А.'', Внутренняя энергия}}
* {{книга|автор =Мюнстер А.|заглавие =Химическая термодинамика|ответственный =Пер. с нем. под. ред. чл.-корр. АН СССР [[Герасимов, Яков Иванович|Я. И. Герасимова]]|издание =2-е изд., стер|место =М.|издательство =УРСС|год =2002|страниц =296|isbn =5-354-00217-6|ref =''Мюнстер А.'', Химическая термодинамика}}
* {{книга|автор=Пальмов В. А.|заглавие=Фундаментальные законы природы в нелинейной термомеханике деформируемых тел|издание= |место=СПб.|издательство=Изд-во СПбГПУ|год=2008|том= |страниц=143|серия= |isbn= |ref=Пальмов}}
* {{книга|автор=Полторак О. М.|заглавие=Термодинамика в физической химии|издание= |место=М.|издательство=Высшая школа|год=1991|том= |страниц=320|серия= |isbn=5-06-002041-X|ref=Полторак}}
* {{книга|автор= [[Пуанкаре, Анри|Пуанкаре А.]]|заглавие =О науке|ссылка = |ответственный = Пер. с фр. Под ред. [[Понтрягин, Лев Семёнович|Л. С. Понтрягина]]|издание =2-е изд., стер|место = М.|издательство =[[Наука (издательство)|Наука]]|год =1990|том = |страниц =736|серия = |isbn =5-02-014328-6|ref =''Пуанкаре А.'', О науке}}
* {{книга|автор=Путилов К. А.|заглавие=Термодинамика|ответственный=Отв. ред. М. Х. Карапетьянц|издание= |место=М.|издательство=Наука|год=1971|том= |страниц=376|серия= |isbn= |ref=Путилов К. А., Термодинамика}}
* {{книга|автор=[[Сивухин, Дмитрий Васильевич|Сивухин Д. В.]]|заглавие=Общий курс физики. Т. II. Термодинамика и молекулярная физика|издание=5-е изд., испр|издательство=ФИЗМАТЛИТ|год=2005|место=М.|страниц=544|isbn=5-9221-0601-5|ref=Сивухин, Термодинамика и молекулярная физика}}
* {{книга|автор=Сычёв В. В.|заглавие=Сложные термодинамические системы|издание=5-е изд., перераб. и доп.|место=М|издательство=Издательский дом МЭИ|год=2009|том= |страниц=296|серия= |isbn=978-5-383-00418-0|ref=Сычев}}
* {{книга|автор= [[Фейнман, Ричард Филлипс|Фейнман Р. Ф.]], Лейтон Р. Б., Сэндс М.|заглавие =Фейнмановские лекции по физике. Вып. 1, 2. Современная наука о природе. Законы механики. Пространство. Время. Движение|ответственный =Пер. с англ. под ред. [[Смородинский, Яков Абрамович|Я. А. Смородинского]]|издание =8-е изд., сущ. испр|место =М.|издательство =[[Издательская группа URSS|УРСС]]; [[Издательская группа URSS|Либроком]]|год =2011|том = |страниц =439|серия = |isbn =978-5-453-00021-0 (УРСС), 978-5-397-02133-3 (Либроком)|ref=''Фейнман Р. Ф. и др.'', Фейнмановские лекции по физике, вып. 1—2}}
* {{книга|заглавие=Физика. Большой энциклопедический словарь|ответственный=Гл. ред. [[Прохоров, Александр Михайлович|А. М. Прохоров]]|издание= |место=М.|издательство=[[Большая Российская энциклопедия (издательство)|Большая Российская энциклопедия]]|год=1998|том= |страниц=944|серия= |isbn=5-85270-306-0|ref=Физика. Большой энциклопедический словарь}}
* {{книга|заглавие=Физическая энциклопедия|ответственный=Гл. ред. [[Прохоров, Александр Михайлович|А. М. Прохоров]]|издание= |место=М.|издательство=Советская энциклопедия|год=1988|том=1: Ааронова — Длинные|страниц=704|серия= |isbn= |ref=Физическая энциклопедия, т. 1}}
* {{книга|заглавие=Физическая энциклопедия|ответственный=Гл. ред. [[Прохоров, Александр Михайлович|А. М. Прохоров]]|издание= |место=М.|издательство=[[Большая Российская энциклопедия (издательство)|Большая Российская энциклопедия]]|год=1998|том=5: Стробоскопические приборы — Яркость|страниц=760|серия= |isbn=5-85270-101-7|ref=Физическая энциклопедия, т. 5}}
* {{книга|автор=Хазен А. М.|заглавие=Разум природы и разум человека|ответственный= |издание= |место=М|издательство=РИО «Мособлполиграфиздата»; НТЦ «Университетский»|год=2000|том= |страниц=600|серия= |isbn=5-7953-0044-6|ref=Хазен}}
* {{книга|автор=Хачкурузов Г. А.|заглавие=Основы общей и химической термодинамики|ответственный= |издание= |место=М.|издательство=Высшая школа|год=1979|том= |страниц=268|серия= |isbn= |ref=Хачкурузов Г. А., Основы общей и химической термодинамики}}
* {{книга|заглавие=Химическая энциклопедия|ответственный=Гл. ред. [[Зефиров, Николай Серафимович|Н. С. Зефиров]]|издание= |место=М.|издательство=[[Большая Российская энциклопедия (издательство)|Большая Российская энциклопедия]]|год=1995|том=4: Пол — Три|страниц=640|серия= |isbn=5-85270-092-4|ref=Химическая энциклопедия, т. 4}}
* {{книга|автор =Шамбадаль П.|заглавие =Развитие и приложение понятия энтропии|ответственный =Пер. с франц|издание = |место =М.|издательство =Наука|год =1967|том = |страниц =279|серия= |isbn= |ref =''Шамбадаль П.'', Развитие и приложение понятия энтропии}}


=== Перевод ===
{{Wikiquote|Термодинамика#Внутренняя энергия|Внутренняя энергия}}
{{перев-блок||
|en=[[internal energy]], [[intrinsic energy]]
|it=[[energia endogena]], [[energia interna]]
|de=[[innere Energie]], [[Energieinhalt]]
|fr=[[énergie caractéristique]]
}}


{{unfinished
{{Внешние ссылки}}
|m=
{{Термодинамические потенциалы}}
|p=
|s=
|e=
}}


{{Категория|язык=ru|Термодинамика}}
[[Категория:Термодинамические потенциалы]]
[[Категория:Энергия]]

Текущая версия от 13:12, 16 июля 2025

Шаблон:Энергия Шаблон:Физическая величина Вну́тренняя эне́ргия — энергия термодинамической системы в системе отсчета её центра масс. Принято в физике сплошных сред, термодинамике и статистической физике для той части полной энергии термодинамической системы, которая не зависит от выбора системы отсчетаШаблон:Sfn и которая в рамках рассматриваемой задачи может изменятьсяШаблон:Sfn. То есть для равновесных процессов в системе отсчета, относительно которой центр масс рассматриваемого макроскопического объекта покоится, изменения полной и внутренней энергии всегда совпадают. Перечень составных частей полной энергии, входящих во внутреннюю энергию, непостоянен и зависит от решаемой задачи. Иначе говоря, внутренняя энергия — это не специфический вид энергииШаблон:Sfn, а совокупность тех изменяемых составных частей полной энергии системы, которые следует учитывать в конкретной ситуации.

Внутренняя энергия как специфическое для термических систем понятие, а не просто как термин для обозначения изменяемой части полной энергии, нужна постольку, поскольку с её помощью в физику вводят новые величины: термические (температура, энергия Гельмгольца, энтальпия и энтропия) и химические (химические потенциалы и массы составляющих систему веществ, энергия Гиббса)<ref>Более того, П. А. Жилин считает единственно правильным такой подход к построению/изложению физики сплошных сред, когда «…понятия энергии, температуры, энтропии и химического потенциала вводятся одновременно…» (Жилин П. А. Рациональная механика сплошных сред, 2012, с. 48). «…Нельзя сначала определить внутреннюю энергию, а затем химический потенциал и энтропию. Все эти понятия могут быть введены только одновременно» (Жилин П. А. Рациональная механика сплошных сред, 2012, с. 140)".</ref>.

Деление полной энергии системы на потенциальную, кинетическую, внутреннюю и т. д. зависит от формальных определений этих понятий и поэтому достаточно условноШаблон:Sfn<ref group="K">…закон сохранения энергии, несмотря на кажущуюся ясность и простоту, в действительности нельзя считать ни простым, ни ясным. Этот закон выражает постоянство суммы трёх слагаемых: 1) кинетической энергии, 2) потенциальной энергии, зависящей от положения тела, и 3) внутренней молекулярной энергии в формах тепловой, химической или электрической. При этом, как указывает ПуанкареШаблон:Sfn, такое выражение закона не представляло бы затруднений, если бы между указанными слагаемыми можно было провести строгое различие, т. е. первое слагаемое зависело бы только от скоростей, второе не зависело бы от скоростей и внутреннего состояния тел, а третье зависело бы только от внутреннего состояния тел. На самом же деле это не так, ибо, например, в случае наэлектризованных тел их электростатическая энергия зависит и от состояния тел, и от их положения в пространстве: если же тела ещё и движутся, то их электродинамическая энергия зависит уже не только от состояния тел и их положения в пространстве, но и от их скоростей. Пуанкаре показывает, что в этих условиях выбор функции, которую мы называем «энергией», оказывается условным, и, следовательно, единственная возможная формулировка закона сохранения энергии гласит: «существует нечто, остающееся постоянным»Шаблон:Sfn.</ref><ref group="K">Важно понимать, что физике сегодняшнего дня неизвестно, что такое энергия. <…> Просто имеются формулы для расчёта определённых численных величин, сложив которые, мы получаем <…> всегда одно и то же число. Это нечто отвлечённое, ничего не говорящее нам ни о механизме, ни о причинах появления в формуле различных членовШаблон:Sfn.</ref>. Так, иногда во внутреннюю энергию не включают потенциальную энергию, связанную с полями внешних силШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn. Важно, что правильность получаемых при решении конкретной задачи результатов зависит от корректности составления уравнения энергетического баланса, а не от терминологических нюансов.

Воспринимаемые органами чувств человека нагрев или охлаждение макроскопического объекта при прочих равных условиях (например, при постоянстве давления) есть проявления изменения внутренней энергии этого объекта: при повышении температуры внутренняя энергия системы увеличивается, а при понижении температуры — уменьшаетсяШаблон:Sfn. Обратное неверно: постоянство температуры объекта не означает неизменность его внутренней энергии (например, температура системы неизменна при фазовых переходах первого рода — плавлении, кипении и др.).

Свойства внутренней энергии

Непосредственно из определения внутренней энергии как части полной энергии вытекает, что

  • внутренняя энергия есть индифферентный<ref>Не зависящий от системы отсчёта.</ref> скаляр, то есть во внутреннюю энергию не входит кинетическая энергия системы как единого целого и кинетическая энергия среды внутри системы (энергия смещения элементарных областей<ref name="elemtelo">Элементарная область (она же элементарный объём, она же частица, она же элементарное тело) сплошной среды есть мысленно выделяемый объём сплошной среды (континуума), который бесконечно мал по сравнению с неоднородностями среды и бесконечно велик по отношению к размерам частиц (атомов, ионов, молекул и т. п.) сплошной среды.</ref> при деформации твёрдых тел и энергия потоков жидкостей и газов в среде);
  • внутренняя энергия есть величина аддитивнаяШаблон:Sfn<ref name ="add">В физике сплошных сред различают аддитивность по геометрическим параметрам (длине растягиваемой пружины, площади поверхности раздела фаз, объёму), аддитивность по массе (экстенсивность) и аддитивность по элементарным телам сплошной среды. Различие в типах аддитивности имеет значение, когда, например, плотность по массе и плотность по телам не выражаются одна через другую, то есть являются независимыми величинами (например, не все рассматриваемые элементарные тела обладают массой или имеет значение распад или агрегация элементарных тел сплошной среды). Так, при образовании трещин на линии разрыва происходит удвоение числа элементарных тел, хотя массовая плотность при этом не меняется. Кинетическая энергия аддитивна по массе, тогда как внутренняя энергия аддитивна по элементарным телам, составляющим систему, но не всегда может рассматриваться как аддитивная функция массы. Для фотонного газа имеет место аддитивность внутренней энергии по объёму.</ref>, то есть внутренняя энергия системы равна сумме внутренних энергий её подсистем;
  • внутренняя энергия задаётся с точностью до постоянного слагаемого, зависящего от выбранного нуля отсчёта и не сказывающегося на экспериментальных замерах изменения внутренней энергииШаблон:Sfn.

Составные части внутренней энергии

Термодинамика вопрос о природе внутренней энергии не рассматривает и энергетические превращения (подчас весьма сложные), происходящие внутри системы на микроуровне, не детализируетШаблон:Sfn. В статистической физике во внутреннюю энергию системы включают энергию разных видов движения и взаимодействия входящих в систему частиц: энергию поступательного, вращательного и колебательного движений атомов и молекул, энергию внутри- и межмолекулярного взаимодействия, энергию электронных оболочек атомов и др.Шаблон:Sfn

Во внутреннюю энергию не включают те составные части полной энергии, которые не меняются при изменении макроскопического состояния системы. Так, при обычных температурах в состав внутренней энергии не включают энергию атомных ядер, ибо она в этих условиях не меняетсяШаблон:Sfn. Но если речь идёт о температурах, при которых начинается термический распад атомных ядер, то эту энергию необходимо учитывать.

Энергию системы в поле внешних сил в состав её внутренней энергии не включают при условии, что термодинамическое состояние системы при перемещении в поле этих сил не изменяетсяШаблон:SfnШаблон:Sfn. При изменении состояния системы под действием внешних полей во внутреннюю энергию системы включают потенциальную энергию системы в этих полях (гравитационном, электромагнитном)Шаблон:SfnШаблон:Sfn.

Влияние поля тяготения на внутреннюю энергию термодинамической системы учитывают тогда, когда высота рассматриваемого столба газа (жидкости) значительна, например, при анализе состояния атмосферыШаблон:Sfn.

Так как поверхность тела растет пропорционально квадрату размеров этого тела, а объём — пропорционально кубу этих размеров, то для больших тел поверхностными эффектами по сравнению с объёмными можно пренебречьШаблон:Sfn. Однако для дисперсных систем с развитыми поверхностями раздела между жидкими, твердыми и газообразными фазами (адсорбенты и микрогетерогенные системы: коллоидные растворы, эмульсии, туманы, дымы) пренебрежение поверхностными эффектами недопустимо, более того, они определяют многие своеобразные свойства таких систем и для них энергию поверхностных слоёв на границах раздела фаз (поверхностную энергию) учитывают как часть внутренней энергииШаблон:Sfn.

При решении задач, требующих учёта кинетической энергии (физика сплошных сред, техническая и релятивистская термодинамика), оперируют полной энергией, совместно рассматривая законы сохранения массы, энергии, заряда, законы механики и законы термодинамикиШаблон:Sfn.

Внутренняя энергия в равновесной термодинамике

Историческая справка

В термодинамику внутреннюю энергию ввёл Р. Клаузиус (1850), не озаботившийся присвоением специального наименования «функции <math>U</math>», использованной учёным в математической формулировке первого начала (закона) термодинамикиШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn <ref group="K">Статью Р. Клаузиуса «О движущей силе теплоты и о законах, которые можно отсюда получить для теории теплоты (Ueber die bewegende Kraft der Wärme und die Gesetze, welche sich daraus für die Wärmelehre selbst ableiten lassen)», опубликованную в 1850 году, принято ныне рассматривать в качестве работы, положившей начало термодинамике как научной дисциплинеШаблон:SfnШаблон:Sfn. Использованное в статье Клаузиуса не слишком удачноеШаблон:Sfn — по меркам сегодняшнего дня — понятие «Gesammtwärme (полное количество теплоты)» относится к трактовке смысла функции <math>U</math>, но не к названию этой функции.</ref>; впоследствии Клаузиус называл функцию <math>U</math> просто «энергией»Шаблон:SfnШаблон:Sfn. У. Томсон (лорд Кельвин) (1851) в статье «О динамической теории теплоты»Шаблон:Sfn дал этой новой физической величине принятую доныне трактовкуШаблон:SfnШаблон:Sfn и название «механическая энергия»Шаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn<ref group="K">В некоторых изданиях указывают, что понятие «внутренняя энергия» введено У. ТомсономШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn. Ему же иногда приписывают авторство термина «внутренняя энергия»Шаблон:Sfn. Говоря о механической энергии, Томсон в статье «О динамической теории теплоты»Шаблон:Sfn не упоминает первую часть работы Клаузиуса «О движущей силе теплоты…»Шаблон:Sfn, в которой Клаузиус ввёл в рассмотрение свою — пока ещё безымянную — функцию <math>U</math>, но даёт ссылкуШаблон:Sfn на вторую часть указанной статьи КлаузиусаШаблон:Sfn, опубликованную в следующем номере журнала «Annalen der Physik». Иными словами, на момент сдачи в печать статьи «О динамической теории теплоты» Томсон знал об опередившей эту статью работе Клаузиуса. С точки зрения научного приоритета не имеет значения, представляет ли трактат Томсона опоздавшее с публикацией независимое исследование, либо же статья Клаузиуса послужила для Томсона отправной точкой для развития идей немецкого учёного.</ref>. Термин «внутренняя энергия (internal energy)» принадлежит У. РенкинуШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Первое начало термодинамики

Первое начало (закон) термодинамики представляет собой конкретизацию общефизического закона сохранения энергии для термодинамических систем. В рамках традиционного подхода первое начало формулируют как соотношение, устанавливающее связь между внутренней энергией, работой и теплотой: одна из этих физических величин задаётся с помощью двух других, которые, будучи исходными объектами теории, в рамках самой этой теории определены быть не могут просто потому, что не существует понятий более общих, под которые можно было бы подвести подлежащие определению терминыШаблон:Sfn. В соответствии с интерпретацией У. Томсона первое начало трактуют как дефиницию внутренней энергии для закрытых системШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn. А именно, изменение внутренней энергии термодинамической системы <math> U </math> в каком-либо процессе полагают равным алгебраической сумме количества теплоты <math> Q </math>, которой система обменивается в ходе процесса с окружающей средой, и работы <math> A </math>, совершённой системой или произведённой над нейШаблон:Sfn: Шаблон:EF В этом Шаблон:Eqref использовано «термодинамическое правило знаков для теплоты и работы».

Термодинамика заимствует понятия энергии и работы из других разделов физики, тогда как определение количеству теплоты, наоборот, даётся только и именно в термодинамике. По этой причине логичнее сразу трактовать первое начало так, как это делали КлаузиусШаблон:Sfn и его последователи, а именно, как определение теплоты через внутреннюю энергию и работуШаблон:SfnШаблон:Sfn. С использованием «теплотехнического правила знаков для теплоты и работы» математическое выражение для первого начала в формулировке Клаузиуса имеет вид: Шаблон:EF При использовании термодинамического правила знаков для теплоты и работы знак у <math> A </math> меняется на противоположный: <math> Q \equiv \Delta U - A</math><ref group="K">Применение в одном разделе разных правил знаков для теплоты и работы призвано приблизить написание приводимых в разделе формул к их написанию в источниках, из которых эти формулы заимствованы.</ref>.

Шаблон:Eqref вводит внутреннюю энергию как физическую характеристику системы, поведение которой определяется законом сохранения энергии, но не определяет эту величину как математический объект, то есть функцию конкретных параметров состоянияШаблон:Sfn. Альтернативное определение внутренней энергии предложено К. Каратеодори (1909), который сформулировал первое начало термодинамики в виде аксиомы о существовании внутренней энергии — составной части полной энергии системы — как функции состояния, зависящей для простых систем<ref name="prst">Состояние простой термодинамической системы (газы и изотропные жидкости в ситуации, когда поверхностными эффектами и наличием внешних силовых полей можно пренебречь) полностью задано её объёмом, давлением в системе и массами составляющих систему веществ.</ref> от объёма системы <math>V</math>, давления <math>p</math> и масс составляющих систему веществ <math>m_1</math>, <math>m_2</math>, …, <math>m_i</math>, …Шаблон:Sfn: Шаблон:EF Важно, что данное определение внутренней энергии справедливо для открытых систем<ref>Дж. У. Гиббс в своей работе «О равновесии гетерогенных веществ» (1875—1876) рассматривает внутреннюю энергию как функцию энтропии, объёма и масс компонентов.</ref>. В формулировке Каратеодори внутренняя энергия не представляет собой характеристическую функцию своих независимых переменных.

Постулат Тиссы

В аксиоматической системе Л. Тиссы набор постулатов термодинамики дополнен утверждением о том, что внутренняя энергия ограничена снизу, и что эта граница соответствует абсолютному нулю температурыШаблон:Sfn.

Калорические уравнения состояния

Внутренняя энергия системы есть однозначная, непрерывная и ограниченная функция состояния системыШаблон:Sfn. Для определённости полагают внутреннюю энергию ограниченной снизу. За начало отсчёта внутренней энергии принимают её значения при абсолютном нуле температуры<ref name=autogenerated1>Шаблон:Cite web</ref>. Уравнение, выражающее функциональную зависимость внутренней энергии от параметров состояния, носит название калорического уравнения состоянияШаблон:SfnШаблон:Sfn. Для простых однокомпонентных систем калорическое уравнение связывает внутреннюю энергию с любыми двумя из трёх параметров <math>p,</math> <math>V,</math> <math>T,</math> то есть имеется три калорических уравнения состояния:

Шаблон:EF

Шаблон:EF

Шаблон:EF

Выбор независимых переменных для калорического уравнения состояния, теоретически не имеющий принципиального значения, важен с практической точки зрения: удобнее иметь дело с непосредственно измеримыми величинами типа температуры и давления.

Применение термодинамики для решения практических задач часто требует знания параметров, конкретизирующих свойства изучаемого объекта, то есть требуется математическая модель системы, с необходимой точностью описывающая её свойства. К таким моделям, называемым в термодинамике уравнениями состояния, относятся термическое и калорическое уравнения состояния. Для каждой конкретной термодинамической системы её уравнения состояния устанавливают по экспериментальным данным или находят методами статистической физики, и в рамках термодинамики они считаются заданными при определении системыШаблон:Sfn. Если для системы известны её термическое и калорическое уравнения состояния, то тем самым задано полное термодинамическое описание системы и можно вычислить все её термодинамические свойстваШаблон:Sfn.

Внутренняя энергия как характеристическая функция

Шаблон:Main

Условия равновесия и стабильности термодинамических систем, выраженные через внутреннюю энергию

Шаблон:Main

Экспериментальное определение внутренней энергии

В рамках термодинамики абсолютное значение внутренней энергии найдено быть не может, поскольку она задаётся с точностью до аддитивной постоянной. Экспериментально можно определить изменение внутренней энергии, а неопределённость, обусловленную аддитивной постоянной, устранить выбором стандартного состояния в качестве состояния отсчётаШаблон:Sfn. С приближением температуры к абсолютному нулю внутренняя энергия становится независимой от температуры и приближается к определённому постоянному значению, которое может быть принято за начало отсчёта внутренней энергии<ref name=autogenerated1 />.

С метрологической точки зрения нахождение изменения внутренней энергии есть косвенное измерение, поскольку это изменение определяют по результатам прямых измерений других физических величин, функционально связанных с изменением внутренней энергии. Основная роль при этом отводится определению температурной зависимости теплоёмкости системы. Действительно, дифференцируя Шаблон:Eqref, получаемШаблон:Sfn: Шаблон:EF

Здесь <math>C_V</math> — теплоёмкость системы при постоянном объёме; <math>\alpha</math> — изобарный коэффициент объёмного расширения; <math>\chi</math> — изотермический коэффициент объёмного сжатия. Интегрируя это соотношение, получаем уравнение для вычисления изменения внутренней энергии по данным экспериментальных измерений: Шаблон:EF

где индексы 1 и 2 относятся к начальному и конечному состоянию системы. Для вычисления изменения внутренней энергии в изохорных процессах <math>(V = \text{const})</math> достаточно знать зависимость теплоёмкости <math>C_V</math> от температуры: Шаблон:EF

Внутренняя энергия классического идеального газа

Из уравнения Клапейрона — Менделеева следует, что внутренняя энергия идеального газа зависит от его температуры и массы и не зависит от объёмаШаблон:Sfn (закон Джоуля)Шаблон:SfnШаблон:Sfn: Шаблон:EF

Для классического (неквантового) идеального газа статистическая физика даёт следующее калорическое уравнение состоянияШаблон:Sfn: Шаблон:EF

где <math>m</math> — масса газа, <math>M</math> — молярная масса этого газа, <math>R</math> — универсальная газовая постоянная, а коэффициент <math>k</math> равен 3/2 для одноатомного газа, 5/2 для двухатомного и 3 для многоатомного газа; за начало отсчёта, которому присвоено нулевое значение внутренней энергии, принято состояние идеальногазовой системы при абсолютном нуле температуры. Из Шаблон:Eqref следует, что внутренняя энергия идеального газа аддитивна по массе<ref name ="add"/>.

Каноническое уравнение состояния для внутренней энергии, рассматриваемой как характеристическая функция энтропии <math>S</math> и объёма <math>V</math> имеет видШаблон:Sfn: Шаблон:EF \exp \left ( \frac{S}{C_V} \right ),</math>|style=|ref=Каноническое уравнение состояния для внутренней энергии|center=}}

где <math> C_V </math> — теплоёмкость при постоянном объёме, равная <math> \frac{3R}{2} </math> для одноатомных газов, <math> \frac{5R}{2} </math> для двухатомных и <math> 3R </math> для многоатомных газов; <math> V_1 </math> — безразмерная величина, численно совпадающая со значением <math> V </math> в используемой системе единиц измерения; <math> \gamma </math> — показатель адиабаты, равный <math> \frac{5}{3} </math> для одноатомных газов, <math> \frac{7}{5} </math> для двухатомных и <math> \frac{4}{3} </math> для многоатомных газов.

Внутренняя энергия фотонного газа

В термодинамике равновесное тепловое излучение рассматривают как фотонный газ, заполняющий объём <math>V</math>. Внутренняя энергия такой системы безмассовых частиц, даваемая законом Стефана — Больцмана, равнаШаблон:Sfn: Шаблон:EF

где <math> \sigma </math> — постоянная Стефана — Больцмана, <math>c</math> — электродинамическая постоянная (скорость света в вакууме). Из Шаблон:Eqref следует, что внутренняя энергия фотонного газа аддитивна по объёму<ref name ="add"/>.

Каноническое уравнение состояния для внутренней энергии фотонного газа имеет видШаблон:Sfn: Шаблон:EF . </math>|style=|ref=Каноническое уравнение состояния для внутренней энергии фотонного газа|center=}}

Внутренняя энергия в физике сплошных сред

В физике сплошных сред, составной частью которой является неравновесная термодинамика, оперируют полной энергией среды, рассматривая её как сумму кинетической и внутренней энергии среды. Кинетическая энергия сплошной среды зависит от выбора системы отсчета, а внутренняя энергия — нет Шаблон:Sfn. Образно говоря, внутренняя энергия элементарного тела<ref name="elemtelo"/> среды как бы «вморожена» в элементарный объём и перемещается вместе с ним, а кинетическая энергия связана с движением внутри непрерывной среды. Для внутренней энергии принимают справедливость всех соотношений, даваемых для неё равновесной термодинамикой в локальной формулировкеШаблон:Sfn.

Комментарии

Шаблон:Примечания

Примечания

Шаблон:Примечания

Литература

{{#if:Термодинамика#Внутренняя энергияШаблон:Wikidata-link |Шаблон:Родственный проект}}{{#if:||{{#if:Ошибка скрипта: Модуля «Wikibase» не существует.||{{#ifeq:Шаблон:Str find|-1|}}}}{{#if:Термодинамика#Внутренняя энергияШаблон:Wikidata-link||}}}}

Шаблон:Внешние ссылки Шаблон:Термодинамические потенциалы

Источник — https://camokathomelab.servebeer.com/mediawiki/index.php?title=Внутренняя_энергия&oldid=11499