|
|
| Строка 1: |
Строка 1: |
| '''Тригономе́трия''' (от {{lang-grc|τρίγωνον}} «[[треугольник]]» и {{lang-grc2|μετρέω}} «измеряю», то есть ''измерение треугольников'') — раздел [[математика|математики]], в котором изучаются [[тригонометрические функции]] и их использование в [[Геометрия|геометрии]]<ref>Советский энциклопедический словарь. М.: Советская энциклопедия, 1982.</ref>. Данный термин впервые появился в 1595 г. как название книги немецкого математика [[Питискус, Бартоломеус|Бартоломеуса Питискуса]], а сама наука ещё в глубокой древности использовалась для расчётов в [[Астрономия|астрономии]], архитектуре и [[Геодезия|геодезии]] для вычисления одних элементов треугольника по данным о других его элементах, заранее известных или более удобных для измерения.
| | {{wikipedia}} |
| | = {{-ru-}} = |
| | {{Лексема в Викиданных|L171354}} |
|
| |
|
| Тригонометрические вычисления применяются практически во всех областях [[геометрия|геометрии]], [[физика|физики]] и [[инженерное дело|инженерного дела]]. Например, большое значение имеет техника [[Триангуляция (геодезия)|триангуляции]], позволяющая измерять расстояния до недалёких [[звезда|звёзд]] в [[астрономия|астрономии]], между ориентирами в [[география|географии]], контролировать системы навигации спутников.
| | === Морфологические и синтаксические свойства === |
| | {{сущ ru f ina 7a |
| | |основа=тригономе́три |
| | |слоги={{по-слогам|три|го|но|ме́т|ри|.|я}} |
| | }} |
|
| |
|
| == История ==
| | {{морфо-ru|тр|-и-|гон|-о-|метр|-иj|+я|и=т}} |
| {{main|История тригонометрии}} | |
|
| |
|
| === Древняя Греция === | | === Произношение === |
| | {{transcriptions-ru|тригономе́трия|тригономе́трии|LL-Q7737 (rus)-Rominf-тригонометрия.wav}} |
|
| |
|
| Древнегреческие математики в своих построениях, связанных с измерением дуг круга, использовали технику хорд. Перпендикуляр к хорде, опущенный из центра окружности, делит пополам дугу и опирающуюся на неё хорду. Половина поделенной пополам хорды — это синус половинного угла (для единичной окружности), и поэтому функция синус известна также как «половина хорды». Благодаря этой зависимости, значительное число тригонометрических тождеств и теорем, известных сегодня, были также известны древнегреческим математикам, но в эквивалентной хордовой форме.
| | === Семантические свойства === |
| Хотя в работах Евклида и Архимеда нет тригонометрии в строгом смысле этого слова, их теоремы представлены в геометрическом виде, эквивалентном специфическим тригонометрическим формулам. Теорема Архимеда для деления хорд эквивалентна формулам для синусов суммы и разности углов. Для компенсации отсутствия таблицы хорд математики времен [[Аристарх Самосский|Аристарха]] иногда использовали хорошо известную теорему, в современной записи — sinα/sinβ < α/β < tgα/tgβ, где 0° < β < α < 90°, совместно с другими теоремами.
| |
|
| |
|
| Первые [[Тригонометрические функции#Значения тригонометрических функций для некоторых углов|тригонометрические таблицы]] были, вероятно, составлены [[Гиппарх]]ом Никейским (180—125 лет до н. э.). Гиппарх был первым, кто свёл в таблицы соответствующие величины дуг и хорд для серии углов. Систематическое использование полной окружности в 360° установилось в основном благодаря Гиппарху и его таблице хорд. Возможно Гиппарх взял идею такого деления у [[Гипсикл]]а, который ранее разделил день на 360 частей, хотя такое деление дня могли предложить и вавилонские астрономы.
| | ==== Значение ==== |
| | # {{матем.|ru}} [[раздел]] [[математика|математики]], в котором изучаются зависимости между [[величина]]ми углов и [[длина]]ми сторон [[треугольник]]ов, а также функции углов {{пример|}} |
| | # |
|
| |
|
| [[Менелай Александрийский]] (100 н. э.) написал «Сферику» в трёх книгах. В первой книге он представил основы для [[Сферический треугольник|сферических треугольников]], аналогично I книге «Начал» [[Евклид]]а о плоских треугольниках. Он представил теорему, для которой нет аналога у Евклида, о том, что два сферических треугольника [[Конгруэнтность (геометрия)|конгруэнтны]], если соответствующие углы равны, но он не делал различия между конгруэнтными и симметричными сферическими треугольниками. Другая его теорема гласит о том, что сумма углов сферического треугольника всегда больше 180°. Вторая книга «Сферики» применяет сферическую геометрию к астрономии. Третья книга содержит «[[Теорема Менелая|теорему Менелая]]», известную также как «правило шести величин».
| | ==== Синонимы ==== |
| | # - |
| | # |
|
| |
|
| Позднее [[Клавдий Птолемей]] (90 — 168 г. н. э.) в «Альмагесте» расширил Гиппарховы «Хорды в окружности». Тринадцать книг «Альмагеста» — самая значимая тригонометрическая работа всей античности. Теорема, которая была центральной в вычислении хорд Птолемея, также известна сегодня как [[теорема Птолемея]], которая говорит о том, что сумма произведений противоположных сторон выпуклого вписанного четырёхугольника равна произведению диагоналей. Отдельный случай теоремы Птолемея появился как 93-е предложение «Данных» Евклида.
| | ==== Антонимы ==== |
| | # - |
| | # |
|
| |
|
| Теорема Птолемея влечёт за собой эквивалентность четырёх формул суммы и разности для синуса и косинуса. Позднее Птолемей вывел формулу половинного угла. Птолемей использовал эти результаты для создания своих тригонометрических таблиц, хотя, возможно, эти таблицы были выведены из работ Гиппарха.
| | ==== Гиперонимы ==== |
| | # [[геометрия]], [[математика]] |
| | # |
|
| |
|
| === Средневековая Индия === | | ==== Гипонимы ==== |
| Замена хорд синусами стала главным достижением средневековой Индии. Такая замена позволила вводить различные функции, связанные со сторонами и углами прямоугольного треугольника. Таким образом, в Индии было положено начало тригонометрии как учению о тригонометрических величинах.
| | # |
| | # |
|
| |
|
| Индийские учёные пользовались различными тригонометрическими соотношениями, в том числе и теми, которые в современной форме выражаются как
| | === Родственные слова === |
| | {{родств-блок |
| | |умласк= |
| | |имена-собственные= |
| | |существительные=тригонометр |
| | |прилагательные=тригонометрический |
| | |глаголы= |
| | |наречия= |
| | |полн=гон1 |
| | }} |
|
| |
|
| <math>\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1,</math>
| | === Этимология === |
| | Происходит от {{этимология:тригонометр|да}} |
|
| |
|
| <math>\sin\alpha = \cos(90^\circ - \alpha),</math>
| | === Фразеологизмы и устойчивые сочетания === |
|
| |
|
| <math>\sin (\alpha \pm \beta) = \sin\alpha \cos\beta \pm \cos\alpha \sin\beta.</math>
| | === Перевод === |
| | {{перев-блок|| |
| | |en=[[trigonometry]] |
| | |bg=[[тригонометрия]] |
| | |bs=[[trigonometrija]] |
| | |cy=[[trigonometreg]] |
| | |hu=[[trigonometria]] |
| | |gl=[[trigonometría]] |
| | |el=[[τριγωνομετρία]] |
| | |da=[[trigonometri]] |
| | |io=[[trigonometrio]] |
| | |ia=[[trigonometria]] |
| | |es=[[trigonometría]] |
| | |it=[[trigonometria]] |
| | |lv=[[trigonometrija]] |
| | |la=[[trigonometria]] |
| | |lt=[[trigonometrija]] |
| | |de=[[Trigonometrie]] |
| | |nl=[[goniometrie]], [[trigonometrie]] |
| | |no=[[trigonometri]] |
| | |pl=[[trygonometria]] |
| | |pt=[[trigonometria]] |
| | |uk=[[тригонометрія]] |
| | |tr=[[trigonometri]] |
| | |fi=[[trigonometria]] |
| | |fr=[[trigonométrie]] |
| | |hr=[[trigonometrija]] |
| | |cs=[[trigonometrie]] |
| | |sv=[[trigonometri]] |
| | |eo=[[trigonometrio]] |
| | |zh-cn=[[三角学]] |
| | }} |
|
| |
|
| Индийцы также знали формулы для кратных углов <math>\sin n\alpha,\qquad\cos n\alpha,</math> где <math>n = 2, 3, 4, 5.</math>
| | <!-- Служебное: --> |
| | | {{improve|ru|пример|семантика}} |
| Тригонометрия необходима для астрономических расчётов, которые оформляются в виде таблиц. Первая таблица синусов имеется в «[[Сурья-сиддханта|Сурья-сиддханте]]» и у [[Ариабхата|Ариабхаты]]. Позднее учёные составили более подробные таблицы: например, [[Бхаскара I|Бхаскара]] приводит таблицу синусов через 1°.
| | {{Категория|язык=ru|Тригонометрия}} |
| | | {{длина слова|13|ru}} |
| Южноиндийские математики в XVI веке добились больших успехов в области суммирования бесконечных числовых рядов. По-видимому, они занимались этими исследованиями, когда искали способы вычисления более точных значений числа {{math|π}}. [[Нилаканта Сомаяджи|Нилаканта]] словесно приводит правила разложения арктангенса в бесконечный степенной ряд. А в анонимном трактате «{{нп5|Каранападдхати|||Karanapaddhati}}» («Техника вычислений») даны правила разложения синуса и косинуса в бесконечные степенные ряды. Нужно сказать, что в Европе к подобным результатам подошли лишь в 17-18 вв. Так, ряды для синуса и косинуса вывел [[Ньютон, Исаак|Исаак Ньютон]] около 1666 г., а ряд арктангенса был найден [[Грегори, Джеймс|Дж. Грегори]] в 1671 г. и [[Лейбниц, Готфрид Вильгельм|Г. В. Лейбницем]] в 1673 г.
| |
| | |
| С VIII века учёные стран Ближнего и Среднего Востока развили тригонометрию своих предшественников. В середине IX века среднеазиатский учёный [[аль-Хорезми]] написал сочинение «[[Аль-Хорезми#Книга об индийском счёте|Об индийском счёте]]». После того как трактаты мусульманских ученых были переведены на латынь, многие идеи греческих, индийских и мусульманских математиков стали достоянием европейской, а затем и мировой науки.
| |
| | |
| == Определение тригонометрических функций ==
| |
| {{main|Тригонометрические функции}}
| |
| [[Файл:Circle-trig7.svg|frame|Тригонометрические функции угла θ внутри единичной окружности]]
| |
| Первоначально тригонометрические функции были связаны с соотношениями сторон в прямоугольном [[треугольник]]е. Их единственным аргументом является угол (один из острых углов этого треугольника).
| |
| * [[Синус]] — отношение противолежащего [[катет]]а к [[гипотенуза|гипотенузе]].
| |
| * [[Косинус]] — отношение прилежащего катета к гипотенузе.
| |
| * [[Тангенс]] — отношение противолежащего катета к прилежащему.
| |
| * [[Котангенс]] — отношение прилежащего катета к противолежащему.
| |
| * [[Секанс]] — отношение гипотенузы к прилежащему катету.
| |
| * [[Косеканс]] — отношение гипотенузы к противолежащему катету.
| |
| Данные определения позволяют вычислить значения функций для острых углов, то есть от 0° до 90° (от 0 до <math>\pi \over 2</math> радиан). В XVIII веке [[Леонард Эйлер]] дал современные, более общие определения, расширив область определения этих функций на всю [[числовая ось|числовую ось]]. Рассмотрим в [[Прямоугольная система координат|прямоугольной системе координат]] [[окружность]] единичного радиуса (см. рисунок) и отложим от горизонтальной оси угол <math>\theta</math> (если величина угла положительна, то откладываем против часовой стрелки, иначе по часовой стрелке). Точку пересечения построенной стороны угла с окружностью обозначим ''A''. Тогда:
| |
| * [[Синус]] угла <math>\theta</math> определяется как [[ордината]] точки ''A''.
| |
| * [[Косинус]] — [[абсцисса]] точки ''A''.
| |
| * [[Тангенс]] — отношение ординаты точки единичной окружности к её абсциссе, причём эта точка не принадлежит оси ординат.
| |
| * [[Котангенс]] — отношение абсциссы точки единичной окружности к её ординате, причём эта точка не принадлежит оси абсцисс.
| |
| * [[Секанс]] — величина, обратная косинусу.
| |
| * [[Косеканс]] — величина, обратная синусу.
| |
| Для острых углов новые определения совпадают с прежними.
| |
| | |
| Возможно также чисто аналитическое определение этих функций, которое не связано с геометрией и представляет каждую функцию её разложением в бесконечный ряд.
| |
| | |
| === Свойства функции синус ===
| |
| [[Файл:Bekesii Sinx.jpeg|thumb|right|150px|Синус]]
| |
| # Область определения функции — множество всех действительных чисел: <math>D(y) = R</math>.
| |
| # Множество значений — промежуток [−1; 1]: <math>E(y)</math> = [−1;1].
| |
| # Функция <math> y = \sin \left( \alpha \right) </math> является нечётной: <math> \sin \left( - \alpha \right) = - \sin \alpha</math>.
| |
| # Функция периодическая, наименьший положительный период равен <math>2\pi</math>: <math> \sin \left( \alpha + 2 \pi \right) = \sin \left( \alpha \right) </math>.
| |
| # График функции пересекает ось '''Ох''' при <math> \alpha = \pi n \,, n \in \mathbb{Z}</math>.
| |
| # Промежутки знакопостоянства: <math>y > 0</math> при <math> \left( 2\pi n + 0; \pi + 2\pi n \right) \,, n \in \mathbb{Z} </math> и <math> y < 0 </math> при <math>\left( \pi + 2\pi n; 2\pi + 2\pi n \right) \,, n \in \mathbb{Z} </math>.
| |
| # Функция непрерывна и имеет производную при любом значении аргумента: <math>( \sin \alpha )' = \cos \alpha</math>
| |
| # Функция <math> y = \sin \alpha </math> возрастает при <math> \alpha \in \left( - \frac{\pi}{2} + 2\pi n; \frac{\pi}{2} + 2\pi n \right) \,, n \in \mathbb{Z} </math>, и убывает при <math> \alpha \in \left( \frac{\pi}{2} + 2\pi n; 3\frac{\pi}{2} + 2\pi n \right) \,, n \in \mathbb{Z} </math>.
| |
| # Функция имеет минимум при <math> \alpha = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n \,, n \in \mathbb{Z} </math> и максимум при <math> \alpha = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \,, n \in \mathbb{Z} </math>.
| |
| | |
| === Свойства функции косинус ===
| |
| [[Файл:Bekesii Cosx.jpeg|thumb|right|150px|Косинус]]
| |
| # Область определения функции — множество всех действительных чисел: <math>D(y) = R</math>.
| |
| # Множество значений — промежуток [−1; 1]: <math>E(y)</math> = [−1;1].
| |
| # Функция <math> y = \cos \left( \alpha \right) </math> является чётной: <math> \cos \left( - \alpha \right) = \cos \alpha</math>.
| |
| # Функция периодическая, наименьший положительный период равен <math>2\pi</math>: <math> \cos \left( \alpha + 2 \pi \right) = \cos \left( \alpha \right) </math>.
| |
| # График функции пересекает ось '''Ох''' при <math> \alpha = \frac{\pi}{2} + \pi n \,, n \in \mathbb{Z}</math>.
| |
| # Промежутки знакопостоянства: <math>y > 0</math> при <math> \left( -\frac{\pi}{2} + 2\pi n; \frac{\pi}{2} + 2\pi n \right) \,, n \in \mathbb{Z} </math> и <math> y < 0 </math> при <math>\left( \frac{\pi}{2} + 2\pi n; 3\frac{\pi}{2} + 2\pi n \right) \,, n \in \mathbb{Z} .</math>
| |
| # Функция непрерывна и имеет производную при любом значении аргумента: <math>( \cos \alpha )' = -\sin \alpha</math>
| |
| # Функция <math> y = \cos \alpha </math> возрастает при <math> \alpha \in \left( -\pi + 2\pi n; 2\pi n \right) \,, n \in \mathbb{Z} ,</math> и убывает при <math> \alpha \in \left( 2\pi n; \pi + 2\pi n \right) \,, n \in \mathbb{Z} .</math>
| |
| # Функция имеет минимум при <math> \alpha = \pi + 2\pi n \,, n \in \mathbb{Z} </math> и максимум при <math> \alpha = 2\pi n \,, n \in \mathbb{Z} .</math>
| |
| | |
| === Свойства функции тангенс ===
| |
| [[Файл:Graf tangens.png|thumb|right|150px|Тангенс]]
| |
| # Область определения функции — множество всех действительных чисел: <math>D(y) = R</math>, кроме чисел <math> \alpha = \frac{\pi}{2} + \pi n , n \in \mathbb{Z} \,. </math>
| |
| # Множество значений — множество всех действительных чисел: <math> E(y) = R . </math>
| |
| # Функция <math> y = \mathrm{tg} \left( \alpha \right) </math> является нечётной: <math> \mathrm{tg} \left( - \alpha \right) = - \mathrm{tg}\ \alpha</math>.
| |
| # Функция периодическая, наименьший положительный период равен <math>\pi</math>: <math> \mathrm{tg} \left( \alpha + \pi \right) = \mathrm{tg} \left( \alpha \right) </math>.
| |
| # График функции пересекает ось '''Ох''' при <math> \alpha = \pi n \,, n \in \mathbb{Z}</math>.
| |
| # Промежутки знакопостоянства: <math> y > 0 </math> при <math> \left( \pi n; \frac{\pi}{2} + \pi n \right) \,, n \in \mathbb{Z} </math> и <math> y < 0 </math> при <math>\left( -\frac{\pi}{2} + \pi n; \pi n \right) \,, n \in \mathbb{Z} </math>.
| |
| # Функция непрерывна и имеет производную при любом значении аргумента из области определения: <math>( \mathop{\operatorname{tg}}\, x )' = \frac{1}{\cos ^2 x}.</math>
| |
| # Функция <math> y = \mathrm{tg}\ \alpha </math> возрастает при <math> \alpha \in \left( -\frac{\pi}{2} + \pi n; \frac{\pi}{2} + \pi n \right) \,, n \in \mathbb{Z} </math>.
| |
| | |
| === Свойства функции котангенс ===
| |
| [[Файл:Graf kotangens.png|thumb|right|150px|Котангенс]]
| |
| # Область определения функции — множество всех действительных чисел: <math>D(y) = R,</math> кроме чисел <math> \alpha = \pi n , n \in \mathbb{Z} \,.</math>
| |
| # Множество значений — множество всех действительных чисел: <math> E(y) = R .</math>
| |
| # Функция <math> y = \mathop{\operatorname{ctg}} \left( \alpha \right) </math> является нечётной: <math> \mathop{\operatorname{ctg}} \left( - \alpha \right) = - \mathop{\operatorname{ctg}}\ \alpha \,.</math>
| |
| # Функция периодическая, наименьший положительный период равен <math>\pi</math>: <math> \mathop{\operatorname{ctg}} \left( \alpha + \pi \right) = \mathop{\operatorname{ctg}} \left( \alpha \right) .</math>
| |
| # График функции пересекает ось '''Ох''' при <math> \alpha = \frac{\pi}{2} + \pi n \,, n \in \mathbb{Z} \,.</math>
| |
| # Промежутки знакопостоянства: <math> y > 0 </math> при <math> \left( \pi n; \frac{\pi}{2} + \pi n \right) \,, n \in \mathbb{Z} </math> и <math> y < 0 </math> при <math>\left( \frac{\pi}{2} + \pi n; \pi \left( n + 1 \right) \right) \,, n \in \mathbb{Z} .</math>
| |
| # Функция непрерывна и имеет производную при любом значении аргумента из области определения: <math>( \mathop{\operatorname{ctg}}\, x )' = -\frac{1}{\sin ^2 x}.</math>
| |
| # Функция <math> y = \mathop{\operatorname{ctg}}\ \alpha </math> убывает при <math> \alpha \in \left( \pi n; \pi \left( n + 1 \right) \right) \,, n \in \mathbb{Z} .</math>
| |
| | |
| == Применение тригонометрии ==
| |
| [[Файл:Frieberger drum marine sextant.jpg|thumb|200px|[[Секстант]] — [[Навигация|навигационный]] измерительный инструмент, используемый для измерения высоты светила над горизонтом с целью определения [[Географические координаты|географических координат]] той местности, в которой производится измерение.]]
| |
| | |
| Существует множество областей, в которых применяются тригонометрия и [[тригонометрические функции]]. Например, метод [[Триангуляция (геодезия)|триангуляции]] используется в [[астроном]]ии для измерения расстояния до ближайших звезд, в [[географ]]ии для измерения расстояний между объектами, а также в [[Спутниковая система навигации|спутниковых навигационных системах]]. [[Синус]] и [[косинус]] имеют фундаментальное значение для теории [[Периодическая функция|периодических функций]], например при описании звуковых и световых волн.
| |
| | |
| Тригонометрия или тригонометрические функции используются в [[астроном]]ии (особенно для расчётов положения [[Астрономический объект|небесных объектов]], когда требуется [[сферическая тригонометрия]]), в морской и воздушной навигации, в [[Теория музыки|теории музыки]], в [[Акустика|акустике]], в [[Оптика|оптике]], в анализе [[Финансовый рынок|финансовых рынков]], в электронике, в [[Теория вероятностей|теории вероятностей]], в статистике, в [[Биология|биологии]], в медицинской визуализации (например, [[компьютерная томография]] и [[ультразвук]]), в аптеках, в химии, в [[Теория чисел|теории чисел]] (следовательно, и в [[Криптология|криптологии]]), в [[Сейсмология|сейсмологии]], в [[Метеорология|метеорологии]], в [[Океанология|океанографии]], во многих физических науках, в [[Межевание|межевании]] и [[Геодезия|геодезии]], в [[Архитектор|архитектуре]], в [[Фонетика|фонетике]], в [[Экономика (наука)|экономике]], в [[Электротехника|электротехнике]], в [[Машиностроение|машиностроении]], в гражданском строительстве, в [[Компьютерная графика|компьютерной графике]], в [[Картография|картографии]], в [[Кристаллография|кристаллографии]], в разработке игр и многих других областях. | |
| | |
| == Стандартные тождества ==
| |
| '''''Тождества''''' — это равенства, справедливые при любых <u>допустимых</u> значениях входящих в них переменных.
| |
| | |
| : <math>\sin^2 A + \cos^2 A = 1 \ .</math>
| |
| | |
| : <math>\sec^2 A - {\mathop{\operatorname{tg}}}^2 A = 1 \ .</math>
| |
| | |
| : <math>\csc^2 A - {\mathop{\operatorname{ctg}}}^2 A = 1 \ .</math>
| |
| | |
| == Формулы преобразования суммы углов ==
| |
| : <math>\sin (A \pm B) = \sin A \ \cos B \pm \cos A \ \sin B.</math>
| |
| | |
| : <math>\cos (A \pm B) = \cos A \ \cos B \mp \sin A \ \sin B.</math>
| |
| | |
| : <math>\mathop{\operatorname{tg}} (A \pm B) = \frac{ \mathop{\operatorname{tg}} A \pm \mathop{\operatorname{tg}} B }{ 1 \mp \mathop{\operatorname{tg}} A \ \mathop{\operatorname{tg}} B}.</math>
| |
| | |
| : <math>\mathop{\operatorname{ctg}} (A \pm B) = \frac{ \mathop{\operatorname{ctg}} A \ \mathop{\operatorname{ctg}} B \mp 1}{ \mathop{\operatorname{ctg}} B \pm \mathop{\operatorname{ctg}} A } .</math>
| |
| | |
| == Общие формулы ==
| |
| [[Файл:Triangle ABC with Sides a b c.png|thumb|240px|left|Треугольник со сторонами a, b, c и соответственно противоположными углами A, B, C]]
| |
| В следующих тождествах A, B и C являются углами треугольника; a, b, c — длины сторон треугольника, лежащие напротив соответствующих углов.
| |
| | |
| === Теорема синусов ===
| |
| '''Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов'''. Для произвольного [[треугольник]]а
| |
| : <math>\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R,</math>
| |
| где <math>R</math> — радиус [[описанная окружность|окружности, описанной вокруг]] треугольника.
| |
| : <math>R = \frac{abc}{\sqrt{(a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)(b+c-a)}}.</math>
| |
| | |
| === Теорема косинусов ===
| |
| Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:
| |
| : <math>c^2=a^2+b^2-2ab\cos C ,</math>
| |
| или:
| |
| : <math>\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}.</math>
| |
| | |
| === Теорема тангенсов ===
| |
| : <math>\frac{a-b}{a+b}=\frac{\mathop{\operatorname{tg}}\left[\tfrac{1}{2}(A-B)\right]}{\mathop{\operatorname{tg}}\left[\tfrac{1}{2}(A+B)\right]}</math>
| |
| | |
| === Формула Эйлера ===
| |
| Формула Эйлера утверждает, что для любого [[действительное число|действительного числа]] <math>x</math> выполнено следующее равенство:
| |
| : <math>e^{ix}=\cos x+i\sin x,</math>
| |
| где <math>e</math> — [[E (математическая константа)|основание натурального логарифма]], <math>i</math> — [[мнимая единица]].
| |
| Формула Эйлера предоставляет связь между [[математический анализ|математическим анализом]] и тригонометрией, а также позволяет интерпретировать функции синуса и косинуса как [[Весовая функция|взвешенные суммы]] экспоненциальной функции:
| |
| | |
| : <math>\cos x = \mathrm{Re}\{e^{ix}\} ={e^{ix} + e^{-ix} \over 2},</math>
| |
| : <math>\sin x = \mathrm{Im}\{e^{ix}\} ={e^{ix} - e^{-ix} \over 2i}.</math>
| |
| | |
| Вышеуказанные уравнения могут быть получены путём сложения или вычитания формул Эйлера:
| |
| | |
| : <math>e^{ix} = \cos x + i \sin x \;,</math>
| |
| | |
| : <math>e^{-ix} = \cos(- x) + i \sin(- x) = \cos x - i \sin x \;.</math>
| |
| | |
| с последующим решением относительно синуса или косинуса.
| |
| | |
| Также эти формулы могут служить определением тригонометрических функций комплексной переменной. Например, выполняя подстановку {{math|''x'' {{=}} ''iy''}}, получаем:
| |
| | |
| : <math> \cos iy = {e^{-y} + e^{y} \over 2} = \operatorname{ch} y ,</math>
| |
| | |
| : <math> \sin iy = {e^{-y} - e^{y} \over 2i} = -{1 \over i} {e^{y} - e^{-y} \over 2} = i\operatorname{sh} y. </math>
| |
| | |
| Комплексные экспоненты позволяют упростить тригонометрические расчеты, поскольку ими проще манипулировать, нежели синусоидальными компонентами. Один из подходов предусматривает преобразование синусоид в соответствующие экспоненциальные выражения. После упрощения результат выражения остается вещественным. Суть другого подхода в представлении синусоид в качестве вещественных частей комплексного выражения и проведения манипуляций непосредственно с комплексным выражением.
| |
| | |
| == Решение простых тригонометрических уравнений ==
| |
| * <math> \sin x = a.</math>
| |
| :: Если <math>|a|>1</math> — вещественных решений нет.
| |
| :: Если <math>|a| \leqslant 1</math> — решением является число вида <math>x=(-1)^n \arcsin a + \pi n;\ n \in \mathbb Z.</math>
| |
| | |
| * <math> \cos x = a.</math>
| |
| :: Если <math>|a|>1</math> — вещественных решений нет.
| |
| :: Если <math>|a| \leqslant 1</math> — решением является число вида <math>x=\pm \arccos a + 2 \pi n;\ n \in \mathbb Z.</math>
| |
| | |
| * <math> \operatorname{tg}\, x = a.</math>
| |
| :: Решением является число вида <math>x=\operatorname{arctg}\, a + \pi n;\ n \in \mathbb Z.</math>
| |
| | |
| * <math> \operatorname{ctg}\, x = a.</math>
| |
| :: Решением является число вида <math>x=\operatorname{arcctg}\, a + \pi n;\ n \in \mathbb Z.</math>
| |
| | |
| == Сферическая тригонометрия ==
| |
| {{main|Сферическая тригонометрия}} | |
| Важным частным разделом тригонометрии, используемым в астрономии, геодезии, навигации и других отраслях, является сферическая тригонометрия, рассматривающая свойства углов между большими кругами на сфере и дуг этих больших кругов. Геометрия сферы существенно отличается от евклидовой планиметрии; так, сумма углов сферического треугольника, вообще говоря, отличается от 180°, треугольник может состоять из трёх прямых углов. В сферической тригонометрии длины сторон треугольника (дуги больших кругов сферы) выражаются посредством центральных углов, соответствующих этим дугам. Поэтому, например, [[Теорема синусов (сферическая геометрия)|сферическая теорема синусов]] выражается в виде
| |
| | |
| : <math>\frac{\sin a}{\sin A}=\frac{\sin b}{\sin B}=\frac{\sin c}{\sin C},</math>
| |
| | |
| и существуют две [[Теорема косинусов (сферическая геометрия)|теоремы косинусов]], двойственные друг другу.
| |
| | |
| == См. также ==
| |
| * [[Гониометрия (математика)|Гониометрия]] — раздел тригонометрии, где изучаются способы измерения углов, свойства тригонометрических функций и соотношения между ними.
| |
| * [[Решение треугольников]]
| |
| * [[Тригонометрические тождества]]
| |
| * [[Тригонометрические функции]]
| |
| | |
| == Примечания ==
| |
| {{примечания}}
| |
| | |
| == Литература ==
| |
| * {{книга
| |
| |заглавие = A History of Mathematics
| |
| |ссылка = https://archive.org/details/historyofmathema00boye
| |
| |издание = Second Edition
| |
| |издательство = [[John Wiley & Sons|John Wiley & Sons, Inc.]]
| |
| |год = 1991
| |
| |isbn = 0-471-54397-7
| |
| |ref = Boyer
| |
| |язык = en
| |
| |автор = [[Бойер, Карл|Boyer, Carl B.]] }}
| |
| * Christopher M. Linton (2004). From Eudoxus to Einstein: A History of Mathematical Astronomy. [[Cambridge University Press]].
| |
| * Weisstein, Eric W. «Trigonometric Addition Formulas». Wolfram MathWorld. Weiner.
| |
| | |
| {{Внешние ссылки}}
| |
| {{Разделы математики}}
| |
| {{Тригонометрия}}
| |
| | |
| [[Категория:Тригонометрия|*]]
| |