Коллинеарность

Два коллинеарных противоположно направленных вектора

Коллинеа́рность (от лат. con — совместность и лат. linearis — линейный) — отношение параллельности векторов: два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на параллельных прямых или на одной прямой<ref name="math">Шаблон:Книга:Математическая энциклопедия</ref>. Допусти́м синоним — «параллельные» векторы.

Коллинеарные векторы могут быть одинаково направлены (сонаправлены) или противоположно направлены (в последнем случае их иногда называют антиколлинеарными, или антипараллельными).

Основное обозначение — <math>\vec{a}\parallel\vec{b}</math>; сонаправленные коллинеарные векторы обозначаются как <math>\vec{a}\upuparrows\vec{b}</math>, противоположно направленные — <math>\vec{a}\uparrow\downarrow\vec{b}</math>.

Свойства

• Отношение коллинеарности рефлексивно (<math>\vec{a}||\vec{a}</math>).
• Отношение коллинеарности симметрично (<math>\vec{a}||\vec{b}\Leftrightarrow\vec{b}||\vec{a}</math>).
• Отношение коллинеарности ненулевых векторов транзитивно: если <math>\vec{a}||\vec{b},\ \vec{b}||\vec{c}</math> и <math>\vec{b}\ne\vec{0}</math>, то <math>\vec{a}||\vec{c}</math>.
• Нулевой вектор коллинеарен любому вектору.
• Два вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарны.
• Если <math>\vec{a}||\vec{b}</math> и <math>\vec{b} \neq \vec{0}</math>, то существует действительное число <math>\lambda</math> такое, что <math>\vec{a} = \lambda\vec{b}\;</math> (причём <math>\lambda > 0</math>, если векторы сонаправлены, и <math>\lambda < 0</math>, если они противонаправлены). Это соотношение также может служить критерием коллинеарности.
• Тройка векторов, содержащая пару коллинеарных векторов, компланарна.
• Векторы на плоскости коллинеарны тогда и только тогда, когда их псевдоскалярное произведение равно 0. На плоскости два неколлинеарных вектора <math>\vec{a}</math> и <math>\vec{b}</math> образуют базис. Это значит, что любой вектор <math>\vec{c}</math> можно представить в виде: <math>\vec{c}=x_1\vec{a}+x_2\vec{b}</math>. Тогда <math>\;\{x_1, x_2\}</math> будут координатами <math>\vec{c}</math> в данном базисе.
• Скалярное произведение коллинеарных векторов равно произведению их длин (взятых со знаком «минус», если векторы противоположно направлены).
• Векторное произведение коллинеарных векторов равно 0 — необходимое и достаточное условие коллинеарности.

Обобщения

Критерии коллинеарности позволяют определить это понятие для векторов, понимаемых не в геометрическом смысле, а как элементы произвольного линейного пространства.

Иногда коллинеарными называют точки, которые лежат на одной прямой<ref name="math"/>.