84.253.120.170: /* Функциональное уравнение */ орфография

2020-10-07T16:01:07Z

Функциональное уравнение: орфография

Новая страница

'''''L''-функция [[Лежён-Дирихле, Петер Густав|Дирихле]]''' <math>L_{\chi}(s)</math> — [[комплексное число|комплексная]] функция, заданная при <math>\operatorname{Re}\,s>0</math> (при <math>\operatorname{Re}\,s>1</math> в случае главного характера) формулой

: <math>L_{\chi}(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\chi(n)}{n^s}</math>,

где <math>\chi(n)</math> — некоторый [[Характер (теория чисел)|числовой характер]] (по модулю ''k''). <math>L</math>-функции Дирихле были введены для доказательства [[Теорема Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии|теоремы Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии]], центральным моментом которого является доказательство неравенства <math>L_\chi(1)\neq 0</math> для неглавных характеров.

== Произведение Эйлера для L-функций Дирихле ==

В силу мультипликативности числового характера <math>\chi</math> <math>L</math>-функция Дирихле представима в области <math>\operatorname{Re}\,s>1</math> в виде эйлерова произведения по [[Простое число|простым числам]]:

: <math>L_{\chi}(s)=\prod_{p}\left(1-\frac{\chi(p)}{p^s}\right)^{-1}</math>.

Эта формула обуславливает многочисленные применения <math>L</math>-функций в теории простых чисел.

== Связь с дзета-функцией ==

<math>L</math>-функция Дирихле, соответствующая [[Характер (теория чисел)|главному характеру]] по модулю ''k'', связана с [[Дзета-функция Римана|дзета-функцией Римана]] <math>\zeta(s)</math> формулой

: <math>L_{\chi_0}(s)=\zeta(s)\prod_{p|k}\left(1-\frac{1}{p^s}\right)</math>.

Эта формула позволяет доопределить <math>L_{\chi_0}(s)</math> для области <math>Re(s)>0</math> c простым полюсом в точке <math>s=1</math>.

== Функциональное уравнение ==

Аналогично [[дзета-функция Римана|функции Римана]], <math>L</math>-функция удовлетворяет похожему функциональному уравнению.

Определим <math>\Lambda(\chi, s)</math> следующим образом:
если <math>\Gamma</math> — [[гамма-функция]], <math>\chi(-1)=1</math> — чётный характер, то
:<math>\Lambda(\chi, s)=\pi^{-s/2}\Gamma(s/2)L(\chi,s)</math>
Если <math>\chi(-1)=-1</math> — нечётный характер, то
:<math>\Lambda(\chi, s)=\pi^{-(s+1)/2}\Gamma((s+1)/2)L(\chi,s)</math>
Пусть также <math>g(\chi)=\sum\limits_{k=1}^q\chi(k)\exp\frac{2\pi ik}{q}</math> — [[сумма Гаусса]] характера <math>\chi</math>, а <math>\varepsilon(\chi)=\frac{g(\chi)}{\sqrt{q}}</math> для чётного <math>\chi</math> и <math>\varepsilon(\chi)=-i\frac{g(\chi)}{\sqrt{q}}</math> для нечётного <math>\chi</math>. Тогда функциональное уравнение принимает вид:
:<math>\Lambda(\chi, s)=\varepsilon(\chi)q^{1/2-s}\Lambda(\bar{\chi},1-s)</math>

== См. также ==
* [[Ряд Дирихле]]

== Литература ==

* {{книга|автор=Галочкин А. И., [[Нестеренко, Юрий Валентинович|Нестеренко Ю. В.]], [[Шидловский, Андрей Борисович|Шидловский А. Б.]]|заглавие=Введение в теорию чисел|место=М.|издательство=Изд-во Московского университета|год=1984}}
* {{книга|автор=Карацуба А. А.|заглавие=Основы аналитической теории чисел|издание=3-е изд|место=М.|издательство=УРСС|год=2004}}

{{L-функции}}

[[Категория:Аналитическая теория чисел]]
[[Категория:Дзета- и L-функции]]

L-функция Дирихле - История изменений

84.253.120.170: /* Функциональное уравнение */ орфография