imported>InternetArchiveBot: Спасено источников — 1, отмечено мёртвыми — 0. Сообщить об ошибке. См. FAQ.) #IABot (v2.0.9.5

2024-01-08T16:17:07Z

Спасено источников — 1, отмечено мёртвыми — 0. Сообщить об ошибке. См. FAQ.) #IABot (v2.0.9.5

Новая страница

{{другие значения термина|Дирихле|Дирихле}}
'''Ядро Дирихле''' — <math>2\pi</math>-периодическая функция, задаваемая следующей формулой<ref>{{Книга|автор=|заглавие=Математическая энциклопедия|ответственный=Виноградов И.М.|издание=|место=М.|издательство=Советская энциклопедия|год=|том=2|страницы=194|страниц=|isbn=|isbn2=}}</ref><ref>{{Cite web|url=https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Dirichlet_kernel|title=Dirichlet kernel|author=|website=|date=|publisher=|access-date=2017-08-23|archive-date=2017-08-23|archive-url=https://web.archive.org/web/20170823121536/https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Dirichlet_kernel|url-status=live}}</ref>:

: <math>D_n(x)=\sum_{k=-n}^n
\frac{e^{ikx}}{2}
=\frac{1}{2}+\sum_{k=1}^n\cos(kx)=\frac{\sin\left(\left(n +\frac{1}{2}\right)x\right)}{2\sin(x/2)}.</math>

Функция названа в честь французско-немецкого математика [[Лежён-Дирихле, Петер Густав|Дирихле]]. Данная функция является [[ядро (интегральный оператор)|ядром]], [[Свёртка (математический анализ)|свёртка]] с которым даёт [[частичная сумма|частичную сумму]] тригонометрического [[ряд Фурье|ряда Фурье]]. Это позволяет аналитически оценивать соотношения между исходной функцией и её [[аппроксимация|приближениями]] в пространстве <math>L_2[-\pi,\pi]</math>.

== Соотношение с рядом Фурье ==
Пусть <math>f(x)</math> — интегрируема на <math>[-\pi, \pi]</math> и <math>2\pi</math>-периодическая, тогда <math>\forall x \in \mathbb{R}~\forall n \in \mathbb{N}</math>

<math>S_n(f;x) = \frac1{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x+u)\frac{\sin(n+\frac{1}{2})u}{2\sin\frac{u}{2}}du = \frac1{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x+u)D_n(u)du</math>

Эта формула является одной из важнейших в теории рядов Фурье.

=== Доказательство ===
Рассмотрим n-ную частичную сумму ряда Фурье.

<math>S_n(f;x) = \frac{a_0}{2}+\sum\limits_{k=1}^{n} (a_k\cos(kx) + b_k \sin(kx))\qquad(1)</math>

<math>S_n(f;x)=\frac1{2\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(t)dt + \sum_{k=1}^n\left[\left(\frac1{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(t)\cos(kt)dt\right)\cos(kx) + \left(\frac1{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(t)\sin(kt)dt\right)\sin(kx)\right]\qquad(2)</math>

<math>S_n(f;x)=\frac1{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(t)\left[\frac1{2} + \sum_{k=1}^n\left(\cos(kt)\cos(kx) + \sin(kt)\sin(kx)\right)\right]dt\qquad(3)</math>

Применяя формулу косинуса разности к выражению, стоящему под знаком суммы, получим:

<math>S_n(f;x)=\frac1{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(t)\left[\frac1{2} + \sum_{k=1}^n\left(\cos(k(t-x)\right)\right]dt\qquad(4)</math>

Рассмотрим сумму косинусов: <math>\frac1{2}+\cos\alpha+\cos(2\alpha)+...+\cos(n\alpha)</math>

Умножим каждое слагаемое на <math>2\sin(\frac\alpha{2})</math> и преобразуем по формуле <math> 2\sin \alpha \cos \beta = \sin ( \alpha + \beta) + \sin ( \alpha - \beta)</math>

<math>2\sin(\frac\alpha{2})\left(\frac1{2}+\cos\alpha+\cos(2\alpha)+...+\cos(n\alpha)\right) = \sin\frac\alpha{2} - \sin\frac\alpha{2} + \sin\frac{3\alpha}{2} - \sin\frac{3\alpha}{2} + ... + \sin(n+\frac{1}{2})\alpha = \sin(n+\frac{1}{2})\alpha</math>

Применяя это преобразование к формуле (4), получим:

<math>S_n(f;x)=\frac1{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(t)\frac{\sin(n+\frac{1}{2})(t-x)}{2\sin\frac{t-x}{2}}dt\qquad(5)</math>

Сделаем замену переменного <math>u = t - x</math>

<math>S_n(f;x)=\frac1{\pi}\int\limits_{-\pi - x}^{\pi - x}f(x+u)\frac{\sin(n+\frac{1}{2})u}{2\sin\frac{u}{2}}du = \frac1{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x+u)\frac{\sin(n+\frac{1}{2})u}{2\sin\frac{u}{2}}du\qquad(6)
</math>

== Свойства ядра Дирихле ==
* <math>D_n(x)</math> — функция <math>2\pi</math>-периодическая и четная.
* <math>\forall n \in \mathbb{N}~ \int\limits_{-\pi}^{\pi}D_n(u)du = {\pi}</math>

== Примечания ==
{{примечания}}

== См. также ==
* [[Сопряжённое ядро Дирихле]]
* [[Ядро Фейера]]
* [[Ядро Джексона]]

[[Категория:Математический анализ]]
[[Категория:Теория приближений]]

Ядро Дирихле - История изменений

imported>InternetArchiveBot: Спасено источников — 1, отмечено мёртвыми — 0. Сообщить об ошибке. См. FAQ.) #IABot (v2.0.9.5