imported>Mikhail Ryazanov: /* Коническое сечение в полярных координатах */ пунктуация

2025-03-31T10:12:12Z

Коническое сечение в полярных координатах: пунктуация

Новая страница

{{falseredirect|Директриса (геометрия)}}

[[Файл:Eccentricity.png|thumb|right|280px|Эллипс (''e=½''), парабола (''e=1'') и гипербола (''e=2'') с фиксированными фокусом <math>F</math> и директрисой: <math>FP = e \cdot PP'</math>]]

'''Эксцентрисите́т''' — числовая характеристика [[коническое сечение|конического сечения]], показывающая степень его отклонения от [[окружность|окружности]].
Обычно обозначается <math>e</math> или <math>\varepsilon</math>.

Эксцентриситет [[Инвариант (математика)|инвариантен]] относительно движений плоскости и [[Преобразование подобия|преобразований подобия]].

== Определение ==

Все [[Вырождение (математика)|невырожденные]] конические сечения, кроме [[Окружность|окружности]], можно описать следующим способом: выберем на плоскости точку <math>F</math> и прямую <math>L</math> и зададим вещественное число <math>e>0</math>; тогда [[геометрическое место точек]] <math>P</math>, для которых отношение расстояний до точки <math>F</math> и до прямой <math>L</math> равно <math>e</math>, является коническим сечением; то есть, если <math>P'</math> есть [[ортогональная проекция|проекция]] <math>P</math> на <math>L</math>, то
: <math>FP = e \cdot PP'</math>.
Это число <math>e</math> называется '''''эксцентриситетом''''' конического сечения. Эксцентриситет окружности по определению равен 0.

=== Связанные определения ===

* Точка <math>F</math> называется ''[[Коническое сечение#Эксцентриситет|фокусом]]'' конического сечения.

* Прямая <math>L</math> называется ''директрисой''.

=== Коническое сечение в [[Полярные координаты|полярных координатах]] ===
Коническое сечение, один из фокусов которого находится в полюсе, задаётся в полярных координатах уравнением
: <math>r = \frac{\ell}{1 - e\cos\varphi},</math>
где <math>e</math> — '''эксцентриситет''', а <math>\ell</math> — другой постоянный параметр (так называемый ''фокальный параметр'').

Легко показать, что это уравнение эквивалентно определению, данному выше.
В сущности, оно может быть использовано в качестве альтернативного определения эксцентриситета, быть может, менее фундаментального, но удобного с аналитической и прикладной точек зрения; в частности, из него хорошо видна роль эксцентриситета в классификации конических сечений и определённым образом дополнительно проясняется
его геометрический смысл.

== Свойства ==
[[Файл:Cubic surface.gif|thumb|right|300px|Эллипсы и гиперболы всех возможных эксцентриситетов (e) от нуля до бесконечности, составляющие одну поверхность третьего порядка (являясь её горизонтальными сечениями). Её верхняя часть («гиперболическая») «связана» с нижней частью («эллиптической») параболой с уравнением <math>z=1-x^2</math>, получающейся при сечении плоскостью y=0]]
* В зависимости от эксцентриситета, получится:
** при <math>e>1</math> — [[Гипербола (математика)|гипербола]]. Чем больше эксцентриситет гиперболы, тем больше две её ветви похожи на параллельные прямые линии;
** при <math>e=1</math> — [[парабола]];
** при <math>0\le e<1</math> — [[эллипс]];
** для окружности полагают <math>e=0</math>.

* Эксцентриситет эллипса и гиперболы равен отношению расстояния от фокуса до центра к большой полуоси. Это свойство иногда принимают за определение эксцентриситета. В прежние времена (например, в 1787 году<ref>{{книга |заглавие=An Introduction to Astronomy |год=1787 |место=London |страницы=90 |ссылка=https://books.google.com/books?id=qCVWAAAAYAAJ&pg=PA92 |автор=John Bonnycastle }}</ref>) на большую полуось не делили — эксцентриситетом эллипса называли расстояние от фокуса до центра<ref>{{книга |заглавие=[[Оксфордский словарь английского языка|The Oxford English Dictionary]] |издание=2nd ed |том=V |страницы=50 |год=1989 |издательство=[[Издательство Оксфордского университета|Oxford University Press]] |место=Oxford |язык=en}}</ref>.
* Эксцентриситет эллипса может быть также выражен через отношение малой (<math>b</math>) и большой (<math>a</math>) полуосей:
: <math>e = \sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}</math>.
* Эксцентриситет гиперболы может быть выражен через отношение мнимой (<math>b</math>) и действительной (<math>a</math>) полуосей:
: <math>e = \sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}</math>.
:* Эксцентриситет равносторонней гиперболы, являющейся графиком обратной [[пропорциональность|пропорциональности]] и задаваемой уравнением <math>f(x)={k\over x}, x\neq 0, k\neq 0</math>, равен <math>\sqrt{2}</math>.
* Для эллипса также может быть выражен через отношение радиусов [[Апоцентр и перицентр|пери-]] (<math>r_\mathrm{per}</math>) и [[Апоцентр и перицентр|апоцентров]] (<math>r_\mathrm{ap}</math>):
: <math>e=\frac{r_\mathrm{ap}-r_\mathrm{per}}{r_\mathrm{ap}+r_\mathrm{per}}=1-\frac{2}{\frac{r_\mathrm{ap}}{r_\mathrm{per}}+1}</math>.

== См. также ==
* [[Эксцентриситет орбиты]]
* [[Коническая константа]]

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
* ''Акопян А. В.'', ''Заславский А. А.'' [https://math.ru/lib/452 Геометрические свойства кривых второго порядка]. — М.: [[МЦНМО]], 2007. — 136 с.

== Ссылки ==
* «''[[s:МСЭ2/Эксцентриситет|Эксцентриситет]]''» — статья в [[Малая советская энциклопедия|Малой советской энциклопедии]]; 2 издание; 1937—1947 гг.

{{Внешние ссылки}}

[[Категория:Конические сечения]]
[[Категория:Небесная механика]]

Эксцентриситет - История изменений

imported>Mikhail Ryazanov: /* Коническое сечение в полярных координатах */ пунктуация