91.232.39.11: Утверждение не соответствовало определениям из предыдущей секции.

2025-11-15T20:27:44Z

Утверждение не соответствовало определениям из предыдущей секции.

Новая страница

{{значения}}
[[Файл:Extrema of a function.gif|thumb|right|400px|Функция (синяя) и её производная (красная). Глобальный максимум функции обозначен символом <math>\star</math>, её глобальный минимум — ☐, локальный максимум — {{big|◇}}, локальный минимум — {{big|+}}, нуль производной без экстремума — ╳. Видно, что остальные нули производной соответствуют точкам экстремума функции.]]
'''Экстре́мум''' ({{lang-la|extremum}} — крайнее) в [[Математика|математике]] — ''максимальное'' или ''минимальное'' значение [[функция (математика)|функции]] на заданном [[множество|множестве]]. Точка, в которой достигается экстремум, называется ''точкой экстремума''. Соответственно, если достигается минимум — точка экстремума называется ''точкой минимума'', а если максимум — ''точкой максимума''. В [[математический анализ|математическом анализе]] выделяют также понятие ''локальный экстремум (соответственно минимум или максимум)''.

Задачи нахождения экстремума возникают во всех областях человеческого знания: [[теория автоматического управления]], [[:Категория:Экономические проблемы|проблемы экономики]], [[биология]], [[физика]] и т. д.{{sfn|Пшеничный|с=7|1969}}

== Определения ==
Пусть дана функция <math>f:M \subset \R \to \R,</math> и <math>x_0 \in M^0</math> — [[Внутренность|внутренняя точка]] области определения <math>f.</math> Тогда
* <math>x_0</math> называется точкой локального максимума функции <math>f,</math> если существует [[Окрестность#Проколотая окрестность|проколотая окрестность]] <math>\dot{U}(x_0)</math> такая, что
*: <math>\forall x \in \dot{U}(x_0) \quad f(x) \leqslant f(x_0);</math>
* <math>x_0</math> называется точкой локального минимума функции <math>f,</math> если существует проколотая окрестность <math>\dot{U}(x_0)</math> такая, что
*: <math>\forall x \in \dot{U}(x_0) \quad f(x) \geqslant f(x_0).</math>

* <math>x_0</math> называется точкой глобального (абсолютного) максимума, если
*: <math>\forall x\in M\quad f(x) \leqslant f(x_0);</math>
* <math>x_0</math> называется точкой глобального (абсолютного) минимума, если
*: <math>\forall x\in M\quad f(x) \geqslant f(x_0).</math>

Если неравенства выше строгие, то <math>x_0</math> называется точкой строгого локального или глобального максимума или минимума соответственно.

Значение функции <math>f(x_0)</math> называют соответственно (строгим) локальным или глобальным максимумом или минимумом. Точки, являющиеся точками (локального) максимума или минимума, называются точками (локального) экстремума.

== Замечание ==
Функция <math>f,</math> определённая на множестве <math>M,</math> может не иметь на нём ни одного локального или глобального экстремума. Например, <math>f(x) = x,\; x\in (-1,1).</math>

Функция, тождественно равная константе в любой точке, не имеет строгих экстремумов.

== Необходимые условия существования локальных экстремумов ==
* Из [[Лемма Ферма|леммы Ферма]] вытекает следующее<ref name=":0">{{Книга|автор=Кудрявцев Л. Д.|заглавие=Математический анализ|том=1|ответственный=|издание=2-е изд|место=М.|издательство=[[Высшая школа (издательство)|Высшая школа]]|год=1973|страницы=|страниц=|isbn=}}</ref>:
: Пусть точка <math>x_0</math> является точкой экстремума функции <math>f</math>, определенной в некоторой окрестности точки <math>x_0</math>.
: Тогда либо производная <math>f'(x_0)</math> не существует, либо <math>f'(x_0) = 0</math>.
Эти условия не являются достаточными, так, функция может иметь нуль производной в точке, но эта точка может не быть точкой экстремума, а являться, скажем, [[Точка перегиба графика функции|точкой перегиба]], как точка (0,0) у функции <math>f(x)=x^3</math>.

== Достаточные условия существования локальных экстремумов ==
* Пусть функция <math>f\in C(x_0)</math> непрерывна в <math>x_0\in M^0,</math> и существуют конечные или бесконечные односторонние производные <math>f'_+(x_0), f'_-(x_0)</math>. Тогда при условии
: <math>f'_+(x_0) < 0,\; f'_-(x_0) > 0</math>
<math>x_0</math> является точкой строгого локального максимума. А если
: <math>f'_+(x_0) > 0,\; f'_-(x_0) < 0,</math>
то <math>x_0</math> является точкой строгого локального минимума.

Заметим, что при этом функция не обязательно [[Дифференцируемая функция|дифференцируема]] в точке <math>x_0</math>.

* Пусть функция <math>f</math> непрерывна и дважды дифференцируема в точке <math>x_0</math>. Тогда при условии
: <math>f'(x_0)=0</math> и <math>f''(x_0) < 0</math>
<math>x_0</math> является точкой локального максимума. А если
: <math>f'(x_0)=0</math> и <math>f''(x_0) > 0</math>
то <math>x_0</math> является точкой локального минимума.
* Пусть функция <math>f</math> дифференцируема <math>n</math> раз в точке <math>x_0</math> и <math>f'(x_0)=f''(x_0)=\dots =f^{(n-1)}(x_0)=0</math>, а <math>f^{(n)}(x_0)\ne 0</math>.
Если <math>n</math> чётно и <math>f^{(n)}(x_0)<0</math>, то <math>x_0</math> — точка локального максимума.
Если <math>n</math> чётно и <math>f^{(n)}(x_0)>0</math>, то <math>x_0</math> — точка локального минимума.
Если <math>n</math> нечётно, то экстремума нет.

== См. также ==
* [[Критическая точка (математика)]]
* [[Математическое программирование|Методы оптимизации]]
* [[Условный экстремум]]

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
* {{книга | автор = [[Пшеничный, Борис Николаевич (математик)|Пшеничный Б.Н.]] | заглавие = Необходимые условия экстремума
| место = М. | издательство = Наука | год = 1969 | страниц = 150 | isbn = | ref = Пшеничный}}

[[Категория:Математический анализ]]

Экстремум - История изменений

91.232.39.11: Утверждение не соответствовало определениям из предыдущей секции.