imported>LGB: отмена правки 137920705 участника Random7181 (обс.)

2024-05-21T06:56:19Z

отмена правки 137920705 участника Random7181 (обс.)

Новая страница

{|class="standard" align="right"
|+ Числители и знаменатели дроби чисел Бернулли составляют {{OEIS|id=A027641}} и {{OEIS|id=A027642}} соответственно;
|-
|<math>B_0 = 1</math>
|-
|<math>B_1 = -\frac12</math>
|-
|<math>B_2 = \frac16</math>
|-
|<math>B_3 = 0</math>
|-
|<math>B_4 = -\frac1{30}</math>
|-
|<math>B_5 = 0</math>
|-
|<math>B_6 = \frac1{42}</math>
|-
|<math>B_7 = 0</math>
|-
|<math>B_8 = -\frac1{30}</math>
|-
|<math>B_9 = 0</math>
|-
|<math>B_{10} = \frac5{66}</math>
|-
|<math>B_{11} = 0</math>
|-
|<math>B_{12} = -\frac{691}{2730}</math>
|-
|<math>B_{13} = 0</math>
|-
|<math>B_{14} = \frac76</math>
|-
|<math>B_{15} = 0</math>
|-
|<math>B_{16} = -\frac{3617}{510}</math>
|-
|<math>B_{17} = 0</math>
|-
|<math>B_{18} = \frac{43867}{798}</math>
|-
|<math>B_{19} = 0</math>
|-
|<math>B_{20} = -\frac{174611}{330}</math>
|-
|<math>B_{22}=\frac{854513}{138}</math>
|-
|<math>B_{24}=-\frac{236364091}{2730}</math>
|-
|<math>B_{26}=\frac{8553103}{6}</math>
|-
|<math>B_{28}=-\frac{23749461029}{870}</math>
|-
|<math>B_{30}=\frac{8615841276005}{14322}</math>
|-
|<math>B_{32}=-\frac{7709321041217}{510}</math>
|-
|<math>B_{34}=\frac{2577687858367}{6}</math>
|-
|<math>B_{36}=-\frac{26315271553053477373}{1919190}</math>
|-
|<math>B_{38}=\frac{2929993913841559}{6}</math>
|-
|<math>B_{40}=-\frac{261082718496449122051}{13530}</math>
|-
|<math>B_{42}=\frac{1520097643918070802691}{1806}</math>
|-
|<math>B_{44}=-\frac{27833269579301024235023}{690}</math>
|-
|<math>B_{46}=\frac{596451111593912163277961}{282}</math>
|-
|<math>B_{48}=-\frac{5609403368997817686249127547}{46410}</math>
|-
|<math>B_{50}=\frac{495057205241079648212477525}{66}</math>
|}

'''Чи́сла Берну́лли''' — последовательность рациональных чисел <math>B_0, B_1, B_2, \dots</math>, впервые рассмотренная [[Бернулли, Якоб|Якобом Бернулли]] в связи с вычислением суммы последовательных [[Натуральное число|натуральных чисел]], возведённых в одну и ту же [[Возведение в степень|степень]]:
: <math>\sum_{n=0}^{N-1} n^k = \frac1{k + 1} \sum_{s=0}^k \binom{k + 1}{s} B_s N^{k + 1 - s},</math>
где <math>\tbinom{k + 1}{s} = \tfrac{(k + 1)!}{s! \cdot (k + 1 - s)!}</math> — [[биномиальный коэффициент]].

Некоторые авторы указывают другие определения, однако в большинстве современных учебников даётся такое же определение, как и здесь. При этом <math>B_1 = -\tfrac 1 2</math>. Часть авторов (например, трёхтомник [[Фихтенгольц, Григорий Михайлович|Фихтенгольца]]) использует определение, которое отличается от этого только знаком <math>B_k</math>. Кроме того, так как за исключением <math>B_1</math> все числа Бернулли с нечётным номером равны 0, некоторые авторы используют обозначение «<math>B_n</math>» для <math>B_{2n}</math> или <math>|B_{2n}|</math>.

== Рекуррентная формула ==
Для чисел Бернулли существует следующая [[рекуррентная формула]]:
: <math>B_0 = 1,</math>
: <math>B_n = \frac{-1}{n + 1} \sum_{k=1}^n \binom{n + 1}{k + 1} B_{n - k}, \quad n \in \mathbb{N}.</math>

== Свойства ==
[[Файл:JakobBernoulliSummaePotestatum.png|thumb|right|180px|Написана в 1713 году]]
* Все числа Бернулли с нечётными номерами, кроме <math>B_1</math>, равны нулю, а знаки чисел Бернулли с чётными номерами чередуются.
* Числа Бернулли являются значениями [[многочлен Бернулли|многочленов Бернулли]] <math>B_n(x)</math> при <math>x = 0</math>:
: <math>B_n = B_n(0).</math>
* Числа Бернулли часто входят в коэффициенты разложения [[Элементарные функции|элементарных функций]] в [[степенной ряд]]. Например:
** [[Производящая функция последовательности|Экспоненциальная производящая функция]] для чисел Бернулли:
**: <math>\frac x{e^x - 1} = \sum_{n=0}^\infty \frac{B_n}{n!} x^n, |x| < 2\pi,</math>
**: <math>x \operatorname{ctg} x = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n B_{2n} \frac{2^{2n}}{(2n)!} x^{2n}, |x| < \pi,</math>
**: <math>\operatorname{tg} x = \sum_{n=1}^\infty |B_{2n}| \frac{2^{2n}(2^{2n} - 1)}{(2n)!} x^{2n-1}, |x| < \pi/2.</math>
* [[Эйлер, Леонард|Эйлер]] установил связь между числами Бернулли и значениями [[дзета-функция Римана|дзета-функции Римана]] ζ(''s'') при чётных ''s'' = 2''k'':
*: <math>B_{2k} = 2(-1)^{k+1} \frac{\zeta(2k)\,(2k)!}{(2\pi)^{2k}}.</math>
: А также
:: <math>B_n = -n\zeta(1 - n)</math> для всех натуральных ''n'' > 1.
* <math>\int\limits_0^\infty \frac{x^{2n-1}\,dx}{e^{2\pi x} - 1} = \frac1{4n}|B_{2n}|, \quad n = 1, 2, \dots.</math>
* Порядок роста чисел Бернулли даётся следующей асимптотической формулой:
*: <math>|B_n| \sim \frac {2\cdot n!}{(2\pi)^n}</math> при чётных <math>n \to \infty</math>. Из формулы, написанной выше, следует равносильность этой асимптотики и равенства: <math>\lim\limits_{k\to \infty} {\zeta(2k)} =1 \; \text{по} \; k\in\mathbb{Z}</math>.
[[Файл:BernoulliNumbersByZetaLowRes.png|250px|thumb|right|Получение чисел Бернулли из [[Дзета-функция Римана|дзета-функции Римана]]]]
* '''Теорема Штаудта-Клаузена''' утверждает, что <math> B_{2n} + \sum_{(p-1)|2n} \frac1p \in \Z . </math>
** Из неё, в частности, следует, что знаменатель дроби <math>B_{2n}</math> есть произведение простых ''p'' таких, что ''p'' − 1 делит 2''n''.

== Литература ==
* {{ВТ-ЭСБЕ|Бернуллиевы числа}}
* {{статья |автор=Абрамович В. |заглавие=Числа Бернулли |издание=[[Квант (журнал)|Квант]] |номер=6 |год=1974 |страницы=10—14 |ссылка=http://kvant.mccme.ru/1974/06/chisla_bernulli.htm}}

== Ссылки ==
* [http://ru.numberempire.com/bernoullinumbers.php Генератор Чисел Бернулли]

{{math-stub}}

[[Категория:Ряды и последовательности]]

Числа Бернулли - История изменений

imported>LGB: отмена правки 137920705 участника Random7181 (обс.)