imported>Д.Ильин: /* Трисектрисы */ иллюстрирование

2026-01-19T12:44:19Z

Трисектрисы: иллюстрирование

Новая страница

'''Чевиана''' — [[отрезок]] в [[треугольник]]е, соединяющий вершину треугольника с внутренней точкой на противоположной стороне{{sfn|Coxeter, Greitzer|1967|с=4}}. Часто рассматриваются три таких отрезка, пересекающихся в одной точке, которые совместно называются чевианами. Название «чевиана» происходит от имени итальянского инженера [[Чева, Джованни|Джованни Чевы]], доказавшего [[Теорема Чевы|известную теорему]] о чевианах, которая носит его имя{{sfn|Lightner|1975|с=612–615}}. [[Медиана треугольника|Медианы]], [[Биссектриса|биссектрисы]] и [[Высота треугольника|высоты]] треугольника являются специальными случаями чевиан.

== Длина ==
[[Файл:stewarts theorem.svg|right|thumb|Треугольник с чевианой длины ''d'']]

=== Теорема Стюарта ===
Длину чевианы можно найти по [[Теорема Стюарта|теореме Стюарта]] — длина чевианы {{math|''d''}} (см. рисунок) задаётся формулой

: <math>\,b^2m + c^2n = a(d^2 + mn).</math>

=== Медиана ===
Если чевиана является [[Медиана треугольника|медианой]] (то есть делит сторону пополам), длина может быть определена по формуле

: <math>m(b^2 + c^2) = a(d^2 + m^2)</math>

или

: <math>2(b^2 + c^2) = 4d^2 + a^2</math>

поскольку

: <math>a = 2m.</math>

Следовательно,

: <math>d= \frac {\sqrt{2 b^2 + 2 c^2 - a^2}}{2} .</math>

=== Биссектриса ===
Если чевиана является [[Биссектриса|биссектрисой]], её длина удовлетворяет формуле

: <math>\,(b + c)^2 = a^2 \left( \frac{d^2}{mn} + 1 \right),</math>

и {{sfn|Johnson|2007|с=70}}

: <math>d^2+mn = bc</math>

откуда

: <math>d= \frac{2 \sqrt{bcs(s-a)}}{b+c}</math>,

где [[полупериметр]] {{math|''s'' {{=}} (''a+b+c'')/2}}.

Сторона {{math|''a''}} делится в пропорции {{math|''b'':''c''}}.

=== Высота ===
Если чевиана является [[Высота треугольника|высотой]], а потому [[Перпендикулярность|перпендикулярна]] стороне, её длина удовлетворяет формулам

: <math>\,d^2 = b^2 - n^2 = c^2 - m^2</math>

и

: <math>d=\frac{2\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}}{a},</math>

где полупериметр ''s'' = (''a+b+c'') / 2.

== Свойства отношений ==
[[Файл:Ceva's theorem 1.svg|thumb|right|Три чевианы, проходящие через общую точку]]

Имеются различные свойства пропорций длин, образованных тремя чевианами, проходящими через одну общую внутреннюю точку{{sfn|Posamentier, Salkind|1996|с=177—188}}. Для треугольника на рисунке справа выполняются равенства

: <math>\frac{AF}{FB} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} = 1;</math> ([[Теорема Чевы]])

: <math>\frac{AO}{OD}=\frac{AE}{EC}+\frac{AF}{FB};</math> ([[Теорема Ван-Обеля о треугольнике]])

: <math>\frac{OD}{AD}+\frac{OE}{BE}+\frac{OF}{CF}=1;</math> (Теорема [[Жергонн, Жозеф Диас|Жергонна]])

: <math>\frac{AO}{AD}+\frac{BO}{BE}+\frac{CO}{CF}=2.</math> (Теорема [[Жергонн, Жозеф Диас|Жергонна]])

Два последних свойства эквивалентны, поскольку сумма этих двух уравнений даёт [[Тождество (математика)|тождество]] 1 + 1 + 1 = 3.

== Делители периметра ==
[[Полупериметр|Делители периметра]] треугольника — это чевиана, которая делит [[Периметр#Многоугольники|периметр]] пополам. Три таких делителя пересекаются в [[Точка Нагеля|точке Нагеля]] треугольника.

== Делители площади ==
Три делителя (пополам) площади треугольника — это его медианы.

== Трисектрисы ==
[[Файл:Morley triangle.svg|thumb|222px|Три разноцветных угла при каждой вершине большого треугольника равны.
Независимо от выбора большого треугольника маленький фиолетовый треугольник будет равносторонним.]]
Если в каждой вершине треугольника проведены две чевианы, делящие углы на три равные части, то шесть чевиан пересекаются попарно, образуя [[правильный треугольник]], называемый [[Теорема Морли|треугольником Морли]].

== Площадь внутреннего треугольника, образованного чевианами ==
[[Теорема Рауса]] определяет отношение площади заданного треугольника к площади треугольника, образованного попарным пересечением трёх чевиан, по одной из каждой вершины.

== См. также ==
* [[Биссектриса]]
* [[Высота треугольника]]
* [[Инцентр]]
* [[Симедиана]]
* [[Теорема Менелая]]
* [[Центроид]]

== Примечания ==
{{примечания|2}}

== Литература ==
{{refbegin|colwidth=30em}}
* {{книга
|автор= [[Коксетер, Гарольд|H. S. M. Coxeter]], [[Грейтцер, Самуэль|S. L. Greitzer]]
|ref=Coxeter, Greitzer
|год= 1967
|заглавие=Geometry Revisited
|ссылка= https://archive.org/details/geometryrevisite00coxe
|место= Washington, DC
|издательство= [[Mathematical Association of America]]
|isbn= 0-883-85619-0
|page= [https://archive.org/details/geometryrevisite00coxe/page/4 4]
}}
* {{статья
|автор=James E. Lightner
|ref=Lightner
|год= 1975
|заглавие=A new look at the 'centers' of a triangle
|ссылка=https://archive.org/details/sim_mathematics-teacher_1975-11_68_7/page/612
|издание= [[The Mathematics Teacher]]
|том= 68
|выпуск= 7
|страницы= 612–615
|jstor= 27960289
}}
* {{статья
|автор=Ross Honsberger
|ref=Honsberger
|год=1995
|заглавие=Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry
|ссылка=https://archive.org/details/episodesinninete0000hons
|страницы=[https://archive.org/details/episodesinninete0000hons/page/13 13], 137
|издание=Mathematical Association of America
}}
* {{статья
|автор= [[Карапетов, Владимир Мкртичевич|Vladimir Karapetoff]]
|ref=Karapetoff
|год=1929
|заглавие=Some properties of correlative vertex lines in a plane triangle
|издание=American Mathematical Monthly
|выпуск=36
|страницы=476–479
}}
* {{статья
|автор=Indika Shameera Amarasinghe
|ref=Amarasinghe
|год=2011
|заглавие=A New Theorem on any Right-angled Cevian Triangle
|издание=Journal of the World Federation of National Mathematics Competitions
|том=24 (02)
|страницы=29–37
}}
* {{книга
|автор=Roger A. Johnson
|ref=Johnson
|заглавие=Advanced Euclidean Geometry
|ссылка=https://archive.org/details/advancedeuclidea00john
|издательство=Dover Publ.
|год=2007
|страницы=[https://archive.org/details/advancedeuclidea00john/page/n83 70]
}} (оригинал — 1929),
* {{книга
|автор=Alfred S. Posamentier, Charles T. Salkind'
|ref=Posamentier, Salkind
|заглавие=Challenging Problems in Geometry
|издательство=Dover Publishing Co.,
|издание=2nd
|год=1996
}}
{{refend}}

[[Категория:Евклидова геометрия]]
[[Категория:Геометрия треугольника]]

Чевиана - История изменений

imported>Д.Ильин: /* Трисектрисы */ иллюстрирование